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1、精选优质文档-倾情为你奉上第二章 矩阵补充习题1已知对于n阶方阵A，存在自由数k，使得，试证明矩阵EA可逆，并写出其逆矩阵的表达式（E为n阶单位阵）【详解】 由代数公式以及A与E可交换，有，而故有可知EA可逆，且有2设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量，b为常数记分块矩阵，其中是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵(1) 计算并化简PQ；(2) 证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是【分析】 本题的关键是对于含的计算或证明题，首先应联想到关系式另外，在进行矩阵乘法运算中要注意哪些是矩阵，哪些是向量，哪些是数，左乘还是右乘【详解】 （1）因，故 =（2）由（1）可得 ，而，故 由此可知，的充分必要条件为，
2、即矩阵Q可逆的充分必要条件是【评注】 本题综合考查了矩阵乘法运算、矩阵乘积行列式的性质以及伴随矩阵的性质要特别注意重要公式：，且A可逆时，有3设A和B均为矩阵，则必有 (A) (B) AB=BA. (C) . (D) . 【 】【详解】 矩阵的乘法运算不满足交换律，因此一般,但，而行列式是数，可交换，于是有，可见应选(C). 对于(A), (D)，主要考查行列式和矩阵的运算性质，均可通过反例说明不成立。4设，而为正整数，则 .【分析】 本题若分别计算出及，再代入求其值，则将问题弄复杂化了。一般而言，对于一个填空题，可先试算,找出规律后，在进行计算。【详解】 因为 ，故有 5设n维向量；E为n阶
3、单位矩阵，矩阵 ， ，其中A的逆矩阵为B，则a= .【分析】 这里为n阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有 = = = =,于是有 ，即 ，解得 由于A0 ,故a=-1. 6已知X=AX+B, 其中 ， ，求矩阵X.【详解】由X=AX+B,，有 (E-A)X=B, 于是. 而 =，故 =7 设 , , , ,其中A可逆，则等于(A) . (B) .(C) . (D) . 【详解】 因为是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵，而是交换第二、三列后所得的初等矩阵，于是有 ， 从而 .故正确选项为(C). 【评注】 设E为n阶单位矩阵，分别是将E交换第两
4、行、第行乘以非零的k倍、将第行的k倍加到第行上去所得到的初等矩阵，则有 ， 对于列变换的情形有类似的结果。8 设阶矩阵与等价, 则必有(A) 当时, . (B) 当时, .(C) 当时, . (D) 当时, . 【分析】 对A通过一系列初等变换后得矩阵B,则A,B等价. 因此矩阵与等价的充要条件是: 或存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=B.【详解】因为当时, , 又 与等价, 故, 即, 故选(D). 9. 设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（）.（）.（）. （）. 【 】【详解】由题设可得，而，则有.故应选（）. 10. 设矩阵A= 满足，其中是A的伴随
5、矩阵，为A的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为(A) . (B) 3. (C) . (D) . 【分析】 题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.【详解】 由及，有，其中为的代数余子式，且或 而，于是，且 故正确选项为(A).【评注】 涉及伴随矩阵的问题是常考题型，只需注意到两个重要思路：一是用行列展开定理，另一是用公式：11 设A是矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为，则(A) (B) (C) (D) r与的关系由C而定 【 】【分析】 利用左乘或右乘可逆矩阵不改变被乘矩阵的秩即得结果【详解】 由B=AC知两边同时右乘，得，于是，从而有12设矩阵 且秩(A)=3，则k= .【分析】 由A的秩为3知，A的行列式一定为零，从而可解出参数k. 不过应当注意的是若由得到的参数不唯一，则应将参数代回去进行检验，以便确定哪一个为正确答案，因为使得只是必要条件而非充分条件。【详解】 由题设秩(A)=3，知必有 解得k=1或k=-3. 显然k=1时，秩r(A)=1不符合题意，因此一定有k=-3.【评注】 在做此类填空题时，排除k=1后可立即得k= -3，不必真的将k= -3代入进行检验。不过若先检验k= -3为正确的时，仍应检验k=1的情形，因为可能两个k值均是正确的。另外，本题也可通过初等变换化A为阶梯形进行分析。专心-专注-专业