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1、精选优质文档-倾情为你奉上数列的综合问题 重 难 点 突 破 1、 教学重点：会利用函数相关知识以及函数的解题思想解决数列的问题。 掌握数列解题的基本思想及解题方法。2、 教学难点：会利用函数相关知识以及函数的解题思想解决数列的问题。 热 点 考 点 题 型 探 析例1、设数列满足,(1)求数列的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,例2、已知数列的前项和为，且满足：， N*，.（）求数列的通项公式； （）若存在 N*，使得，成等差数列，试判断：对于任意的N*，且，是否成等差数列，并证明你的结论.解：（）由已知：得，两式相减得，又所以当时数列为：，0，0，0，当时，由已知，所以，于是所以数列
2、成等比数列，即当时综上数列的通项公式为（）对于任意的，且，成等差数列，证明如下：当时由（）知，此时，成等差数列；当时，若存在 N*，使得，成等差数列，则2=+，由（）知数列的公比，于是对于任意的N*，且，；所以2=+即，成等差数列；综上：对于任意的，且，成等差数列。例3、已知两个等比数列，满足，.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.【解析】（1）设的公比为，则，由，成等比数列得，即，解得，所以的通项公式或.（2） 设的公比为，则由，得由得，故方程（*）有两个不同的实根.由唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得.例4、等比数列的各项均为正数，且（)求数列的通项公式；（）设
3、 求数列的前n项和.解：（）设数列an的公比为q，由得所以。由条件可知a0,故。由得，所以。故数列an的通项式为an=。（）=故所以数列的前n项和为例5、已知数列和的通项公式分别为，（.将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列（1）写出；（2）求证：在数列中，但不在数列中的项恰为；（3）求数列的通项公式.解： ； 任意，设，则，即 假设（矛盾）， 在数列中、但不在数列中的项恰为。 ， 当时，依次有， 例6、已知数列满足：且（）（）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（）证明：（）。解：（）由题得：an+1（an+n）=2（n+1）an ， 即 故 即数列为等比数列， 3分 ， 7分（）由
4、上知 8分。例7、已知公差不为0的等差数列的首项为，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）对，试比较与的大小 （）解：设等差数列的公差为，由题意可知即，从而因为 故通项公式 （）解：记所以从而，当时，；当例8、在各项均为负数的数列an中，已知点(an，an1)(nN*)在函数yx的图象上，且a2a5.(1)求证：数列an是等比数列，并求出其通项；(2)若数列bn的前n项和为Sn，且bnann，求Sn.解析(1)因为点(an，an1)(nN*)在函数yx的图象上，所以an1an，即，故数列an是公比q的等比数列，因为a2a5，则a1qa1q4，即a53，由于数列an的各项均为负数，则a1，所以
5、ann2.(2)由(1)知，ann2，bnn2n，所以Sn3n1.例9、(2011黑龙江)已知a12，点(an，an1)在函数f(x)x22x的图象上，其中n1,2,3，.(1)证明数列lg(1an)是等比数列；(2)设Tn(1a1)(1a2)(1an)，求Tn及数列an的通项解析(1)由已知an1a2an，an11(an1)2.a12，an11，两边取对数得：lg(1an1)2lg(1an)，即2.lg(1an)是公比为2的等比数列(2)由(1)知lg(1an)2n1lg(1a1)2n1lg3lg32n11an32n1(*)Tn(1a1)(1a2)(1an)32032132n1312222n
6、132n1.由(*)式得an32n11.例10、2011湖南长沙一中月考)已知f(x)mx(m为常数，m0且m1)设f(a1)，f(a2)，f(an)(nN)是首项为m2，公比为m的等比数列(1)求证：数列an是等差数列；(2)若bnanf(an)，且数列bn的前n项和为Sn，当m2时，求Sn；(3)若cnf(an)lgf(an)，问是否存在正实数m，使得数列cn中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解析(1)由题意f(an)m2mn1，即manmn1.ann1，an1an1，数列an是以2为首项，1为公差的等差数列(2)由题意bnanf(an)(n1)mn1
7、，当m2时，bn(n1)2n1，Sn222323424(n1)2n1式两端同乘以2得，2Sn223324425n2n1(n1)2n2并整理得，Sn2222324252n1(n1)2n222(2223242n1)(n1)2n24(n1)2n2422(12n)(n1)2n22n2n.(3)由题意cnf(an)lgf(an)mn1lgmn1(n1)mn1lgm，要使cncn1对一切nN*成立，即(n1)mn1lgm1时，lgm0，所以n1m(n2)对一切nN*恒成立；当0m1时，lgmm对一切nN*成立，因为1的最小值为，所以0m.综上，当0m1时，数列cn中每一项恒小于它后面的项例11、数列an的
8、前n项和为Sn，且Snn(n1)(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：an，求数列bn的通项公式；解析(1)当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1n(n1)(n1)n2n，知a12满足该式数列an的通项公式为an2n.(2)an(n1)an1得，an1an2，bn12(3n11)，故bn2(3n1)(nN)(3)cnn(3n1)n3nn，Tnc1c2c3cn(13232333n3n)(12n)令Hn13232333n3n，则3Hn132233334n3n1得，2Hn332333nn3n1n3n1Hn，数列cn的前n项和Tn.3)令cn(nN*)，求数列cn的前n项
9、和Tn.综合练习一、 选择题1在等差数列an中，已知a12，a2a313，则a4a5a6等于()A40 B42 C43 D452.已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足1，则数列an的公差是()A. B1 C2 D33.已知数列an满足log3an1log3an1(nN*)且a2a4a69，则log(a5a7a9)的值是()A5 B C5 D.4.已知an为等差数列，bn为正项等比数列，公式q1，若a1b1，a11b11，则()Aa6b6 Ba6b6Ca60，b0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是()AabAG BabAGCabAG D不能确定6.各项
10、都是正数的等比数列an的公比q1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为()A. B. C. D.或7.已知数列an满足a11，a21，an1|anan1|(n2)，则该数列前2011项的和等于()A1341 B669 C1340 D13398.数列an是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列bn的连续三项，则数列bn的公比为()A. B4 C2 D.9.已知数列an为等差数列，若0的最大值n为()A11 B19 C20 D2110.在等差数列an中，其前n项和是Sn，若S150，S16b6，求n的取值范围2.已知数列an的前n项和Sn2n22n，数列bn的前n项和Tn3bn.求数
11、列an和bn的通项公式； 设cnanbn，求数列cn的前n项和Rn的表达式3.数列an的前n项和记为Sn，a11，an12Sn1(n1)(1)求an的通项公式； (2)等差数列bn的各项为正数，前n项和为Tn，且T315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求Tn.4.已知数列bn前n项和为Sn，且b11，bn1Sn.(1)求b2，b3，b4的值； (2)求bn的通项公式； (3)求b2b4b6b2n的值5. 数列bn的通项为bnnan(a0)，问bn是否存在最大项？证明你的结论6. 已知数列an和等比数列bn满足：a1b14，a2b22，a31，且数列an1an是等差数列，nN*. 求
12、数列an和bn的通项公式数列练习题答案选择：1、B 2.C 3.A 4、B 5.C 6、C 7、A 8、C 9.B 10.B11、A 12.C 13、C 14.A 15、A 16.A填空：1、xy70 2、ann 3 、 4、255 5.22解答题：1、解析(1)由题意得，an3(n1)n2.(2)Pn，b6226164.由64n25n1280n(n5)128，又nN*，n9时，n(n5)126，当n10时，Pnb6.2.解析由题意得anSnSn14n4(n2)而n1时a1S10也符合上式an4n4(nN)又bnTnTn1bn1bn，bn是公比为的等比数列，而b1T13b1，b1，bnn13n
13、(nN)Cnanbn(4n4)3n(n1)n，RnC1C2C3Cn22334(n1)nRn324(n2)n(n1)n1Rn23n(n1)n1，Rn1(n1)n.3.解析(1)由an12Sn1可得an2Sn11(n2)，两式相减得an1an2an，an13an(n2)，又a22S112a113，a23a1，故an是首项为1，公比为3的等比数列，an3n1.(2)设bn的公差为d，由T315得，b1b2b315，可得b25，故可设b15d，b35d，又a11，a23，a39，由题意可得(5d1)(5d9)(53)2，解得d2或10.等差数列bn的各项均为正数，d2，b13，Tn3n2n22n.4.
14、解析(1)b2S1b1，b3S2(b1b2)，b4S3(b1b2b3).(2)解bn1bnbn，bn1bn，b2，bnn2(n2) bn.(3)b2，b4，b6b2n是首项为，公比2的等比数列，b2b4b6b2n()2n15.解析bn1bn(n1)an1nanan(n1)anan(a1)na(1)当a1时，bn1bn0，故数列不存在最大项；(2)当a1时，bn1bn1，数列也不存在最大项；(3)当0a1时，bn1bnan(a1)，即bn1bn与n有相反的符号，由于n为变量，而为常数，设k为不大于的最大整数，则当n0，当nk时，bn1bn0，当nk时，bn1bn0.即有b1b2b3bk1，故对任意自然数n，bnbk.0a1时，bn存在最大值6.解析易知bn4n1n3，a2a12，a3a21，an1an2(n1)n3.anan1(n1)3，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a13(n1)4.专心-专注-专业