高中数学数列通项公式的常用求法(共6页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目例1等差数列是递增数列,前n项和为,且成等比数列,求数列的通项公式.点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。二、公式法 若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式求解。例2已知数列的前项和满足求数列的通项公式。点评:利用公式求解时,要注意对n分类讨论,但若能合写时一定要合并三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转

2、化方法与特殊数列。类型1 递推公式为 解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。已知数列中,其中,求数列的通项公式。(高考题)例3. 已知数列满足,求。类型2 (1)递推公式为 解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。已知数列an,满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2),则an的通项(高考题) 例4. 已知数列满足,求。(2)由和确定的递推数列的通项可如下求得:由已知递推式有, ,依次向前代入,得,简记为 ,这就是叠(迭)代法的基本模式。(3)递推式: 解法:只需构造数列,消去带来的差异例5设数列:,求.说明:(1)若为的二次式,则可设;

3、(2)本题也可由 ,()两式相减得转化为求之.例6已知, ,求。类型3 递推公式为(其中p,q均为常数,)。解法:把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。在数列中,若,则该数列的通项 (高考题) 例7. 已知数列中,求.类型4 递推公式为(其中p,q均为常数,)。 (或,其中p,q, r均为常数)设数列的前项的和, 求首项与通项;(高考题) 解法:该类型较类型3要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再应用类型3的方法解决。例8. 已知数列中,,,求。类型5 递推公式为(其中p,q均为常数)。解法:先把原递推公式转化为 其中s,t满足,

4、再应用前面类型3的方法求解。已知数列满足求数列的通项公式;(高考题)例9. 已知数列中,,,求。类型6 递推公式为与的关系式。(或) 解法:利用进行求解。已知正项数列an,其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列an的通项an (高考题) 例10. 已知数列前n项和.(1)求与的关系;(2)求通项公式.类型7 双数列型 解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例11. 已知数列中,;数列中,。当时,,,求,.四、待定系数法(构造法)求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要

5、求较高。通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。1、通过分解常数,可转化为特殊数列a+k的形式求解。一般地,形如a=p a+q(p1,pq0)型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法:设a+k=p(a+k)与原式比较系数可得pkk=q,即k=,从而得等比数列a+k。例12、数列a满足a=1,a=a+1(n2),求数列a的通项公式。说明:这个题目通过对常数1的分解,进行适当组合,可得等比数列 a2,从而达到解决问题的目的。例13、数列a满足a=1,,求数列a的通项公式。例1

6、4已知数列满足,且,求点评:求递推式形如(p、q为常数)的数列通项,可用迭代法或待定系数法构造新数列来求得,也可用“归纳猜想证明”法来求,这也是近年高考考得很多的一种题型例15已知数列满足, ,求点评:递推式为(p、q为常数)时,可同除,得,令从而化归为(p、q为常数)型2、通过分解系数,可转化为特殊数列的形式求解。这种方法适用于型的递推式,通过对系数p的分解,可得等比数列:设,比较系数得,可解得。已知数列满足(I)证明:数列是等比数列;(II)求数列的通项公式;(高考题)例16、数列满足=0,求数列a的通项公式。分析:递推式中含相邻三项,因而考虑每相邻两项的组合,即把中间一项的系数分解成1和

7、2,适当组合,可发现一个等比数列。例17、数列中,求数列的通项公式。说明:若本题中取,则有即得为常数列, 故可转化为例13。例18已知数列满足,求点评:递推式为(p、q为常数)时,可以设,其待定常数s、t由,求出,从而化归为上述已知题型五、特征根法1、设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程则当时,为常数列,即,其中是以为公比的等比数列,即.例19已知数列满足:求2、对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关

8、于A、B的方程组)。例20:已知数列满足,求数列的通项公式。3、如果数列满足下列条件:已知的值且对于,都有(其中p、q、r、h均为常数,且),那么,可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时,则是等比数列。数列求数列的通项公式.(高考题) 例21、已知数列满足性质:对于且求的通项公式. 例22已知数列满足:对于都有(1)若求(2)若求(3)若求(4)当取哪些值时,无穷数列不存在?说明:形如:递推式,考虑函数倒数关系有令则可归为型。(取倒数法)例23:六、构造法: 构造法就是在解决某些数学问题的过程中,通过对条件与结论的充分剖析,有时会联想出一种适当的辅助

9、模型,如某种数量关系,某个直观图形,或者某一反例,以此促成命题转换,产生新的解题方法,这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式,此类题通常较难,但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.1、构造等差数列或等比数列:由于等差数列与等比数列的通项公式显然,对于一些递推数列问题,若能构造等差数列或等比数列,无疑是一种行之有效的构造方法.例24: 设各项均为正数的数列的前n项和为,对于任意正整数n,都有等式:成立,求的通项an.解:, ,. 即是以2为公差的等差数列,且.例25: 数列中前n项的和,求数列的通项公式.解:当n2时,令,则,且是以为公比的等比数列,.

10、2、构造差式与和式:解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差,然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.例26: 设是首项为1的正项数列,且,(nN*),求数列的通项公式an.解:由题设得.,.例27: 数列中,且,(nN*),求通项公式.解:(nN*)例27: 数列中,且,(nN*),求通项公式.3、构造商式与积式:构造数列相邻两项的商式,然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.例28: 数列中,前n项的和,求.解: ,4、构造对数式或倒数式:有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以解决.例29: 设正项数列满足,(n2).求数列的通项公式.解:两边取对数得:,设,则是以2为公比的等比数列,.,例30: 已知数列中,n2时,求通项公式.解:,两边取倒数得. 可化为等差数列关系式. 专心-专注-专业

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