2022年六级奥数图形题.pdf

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1、六年级奥数图形题22、3、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 4、5、6、如果一个正方形的周长和一个圆的周长相等，那么正方形的面积是圆面积的（）% 解析： 设正方形边长为1，则正方形的周长为4，圆形周长也是4，那么圆形的半径=4（ 2） =2/ 正方形的面积 =1x1=1 圆形的面积 =x （2/ ）2 =4/ 正方形的面积是圆面积的：1（4/ ）=/4 4=% 答：正方形的面积大约是圆面积的% 。7、一、相加法：这种方法是将不规则

2、图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了（如图）。二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可（如图）。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 三、直接求法：这种方法是根据已知条件，

3、从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高 4 的三角形，就可以直接求面积了（如图）。四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4 个角处，这时采用相减法就可求出其面积了（如图）。五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形， 然后再采用相加、 相减法解决即可. 如右图， 求两个正方形中阴影部分的面积. 此题虽然可以用相减法解决，但不如添

4、加一条辅助线后用直接法作更简便（如图）。六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决. 例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半（如图）.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图

5、，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形（如图）。八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求上图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180，使 A与 C重合，从而构成如右图（ 2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积（如图）.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形. 原来图形面积就是这个新图形面积的一半. 例如，欲

6、求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形 CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积（如图）。十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SA BSA SB-SA B）解决。例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分（如图）.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 1、如图， AB

7、CG 是 的长方形， DEFG 是 的长方形。那么，三角形BCM 的面积与三角形DCM 面积之差是多少解答 ：长方形 ABCG 的面积是 28，长方形 DEFG的面积是 20，梯形 ABEF的面积是 51，从图中可以看出，三角形BCM 的面积与三角形 DCM 面积之差就等于梯形ABEF的面积减去长方形ABCG 的面积再减去长方形DEFG 的面积，得到结果。2、如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB= 8， AD=15四边形BFGO 的面积为 _解答 ：四边形 EFGO 的面积 =三角形 AFC+ 三角形 BDF- 白色部分的面积三角形AFC+ 三角形 BDF =长方形面积

8、的一半即 60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120-70=50 所以四边形的面积:60-50=103、4. 利用特殊规律等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。( 斜边的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面积)梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。圆的面积占外接正方形面积的% 。4、在三角形 ABC中，点 E是 BC边上的中点，点F是中线 AE上的点，其中 AE 3AF ，并且延长 BF与 AC相交于 D，如下图所示。若三角形ABC的面积为 48，请问三角形 AFD的面积为多少精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

9、 - - - - - - - - - -第 5 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

10、 - - - - - - - - - -第 8 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 六年级奥数下册：第五讲巧求面积习题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

11、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 简单的面积计算是小学数学的一项重要内容. 要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积. 如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算 .上面左图是边长为 4 的正方形， 它的面积是 4 4 16（格）；右图是 3 5 的长方形， 它的面积是 3 5 15（格） .上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是 4，面积是 5 42 10 （格）；右图是一个钝角三角形，底是 4，高也

12、是 4，它的面积是4428（格） . 这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.上面左图是一个平行四边形，底是5，高是 3，它的面积是 5 3 15 （格）；右图是一个梯形，上底是 4 ，下底是 7，高是 4，它的面积是（4+7）4222（格） .上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形. 如果小正方形边长是1 厘米， 1 格就是 1 平方厘米；如果小正方形边长是1 米，1 格就是 1 平方米 . 也就是说我们设定一个方格的边长是1 个长度单位， 1格就是一个面积单位 . 在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.精品资

13、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 一、三角形的面积用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积. 三角形面积的计算公式是：三角形面积 = 底高 2.这个公式是许多面积计算的基础. 因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.例 1 右图中 BD长是 4，DC长是 2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢解： 三角形 ABD与三角形 ADC的高相同 .三角形 ABD面积 =4高 2.三角形 ADC 面积=2高 2

14、.因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的 2 倍. 注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.例 2右图中， BD ，DE ，EC的长分别是2，4，是线段 AE的中点，三角形ABC的高为 4. 求三角形DFE的面积 .解：BC 2 4 2 8.三角形 ABC 面积= 8 4 216.我们把 A和 D连成线段，组成三角形ADE ，它与三角形ABC的高相同，而DE长是 4，也是 BC的一半，因此三角形 ADE面积是三角形ABC面积的一半 . 同样道理， EF是 AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半 .三角形

15、 DFE 面积 = 16 44.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 例 3右图中长方形的长是20，宽是 12，求它的内部阴影部分面积.解： ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长 .而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长 . 因此这三个三角形的面积之和是FE BE 2，它恰好是长方形ABEF面积的一半 .同样道理， FECD也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半.因此所有阴影

16、的面积是长方形ABCD 面积的一半，也就是20122120.通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解. 当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD 是由这若干个长方形拼成. 因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方形ABCD 面积的的一半.例 4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD （阴影部分）的面积是多少解： 把 A和 C连成线段，四边形ABCD 就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.对三角形 ABC来说， AB是底边，高是10，因此面积 =410 2 20.对三

17、角形 ADC来说， DC 是底边，高是 8 ，因此面积 =78 228.四边形 ABCD面积 = 20 28 48.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.例 5在边长为 6 的正方形内有一个三角形BEF ，线段 AE 3，DF 2，求三角形BEF的面积 .解： 要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积三角形 ABE 面积=362 9.

18、三角形 BCF 面积= 6 （ 6-2 ） 2 12.三角形 DEF 面积=2（6-3 ） 2 3.我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：三角形 BEF 面积=66-9-12-3 12.例 6 在右图中， ABCD 是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段 DE的中点，求四边形ABMD （阴影部分）的面积 .解： 四边形 ABMD 中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD 的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD 的面积 .把 M与 C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形. 三角形 DCE的面积是

19、7 227.因为 M是线段 DE的中点，三角形DMC 与三角形 MCE 面积相等，所以三角形MCE 面积是 7 2.因为 BE 8 是 CE 2 的 4 倍，三角形 MBE与三角形 MCE高一样，因此三角形MBE 面积是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 414.长方形 ABCD面积 =7（ 82）=70.四边形 ABMD面积 =70-7- 14 49.二、有关正方形的问题先从等腰直角三角形讲起.一个直角三角形， 它的两条直角边一

20、样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形. 它有一个直角 （ 90 度），还有两个角都是45 度，通常在一副三角尺中. 有一个就是等腰直角三角形.两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图（a）. 四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图（b）.一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图（a）知，它的面积是直角边长的平方2.当知道它的斜边长，从图（b）知，它的面积是斜边的平方 4例 7 右图由六个等腰直角三角形组成. 第一个三角形两条直角边长是8. 后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.解： 从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的

21、两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形 . 因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是88232.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 这一个图形的面积是3216 8 4 2 1 63.例 8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少解： 为了说明的方便，在图上标上英文字母 D，E，F，

22、G.三角形 ABC的面积 =2222.三角形 ABC ，ADE ，EFG都是等腰直角三角形.三角形 ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形 ADE面积 =ABC面积 24.三角形 EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长. 因此三角形EFG面积 =ABC面积 21.阴影部分的总面积是 4 15.例 9如右图，已知一个四边形ABCD 的两条边的长度AD 7，BC 3，三个角的度数：角 B 和 D是直角，角A是 45. 求这个四边形的面积.解： 这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE ，切掉一个等腰直角三角形BCE.因为A是 45，角 D是 90，角 E是180-45 -90

23、45 ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 所以 ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四边形 ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即772-3 3220.这是 1994 小学数学奥林匹克决赛试题. 原来试题图上并没有画出虚线三角形. 参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形. 因此做对这道题的人数不多. 但是有一些同学，用直线AC把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错

24、特错了. 这样做，角 A 是 45 ，这一条件还用得上吗图形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论 . 我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有 45和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.现在我们转向正方形的问题.例 10 在右图 11 15 的长方形内， 有四对正方形 （标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少解： 长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.长- 宽 =15-11 4是“三”

25、正方形的边长.宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此中间小正方形边长=11-4 23.中间小正方形面积=33 9.如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.例 11从一块正方形土地中，划出一块宽为1 米的长方形土地（见图），剩下的长方形土地面积是平方米. 求划出的长方形土地的面积.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 解： 剩下的长方形土地，我们已知道长- 宽=1（米） .还知道它的面积是平方米，那么能否从这一面积求

26、出长与宽之和呢如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.我们把长和宽拼在一起，如右图.从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.可是这个大正方形的中间还有一个空洞. 它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1 米.现在，我们就可以算出大正方形面积：4+11 64 （平方米） .64 是 88，大正方形边长是 8 米，也就是说长方形的长+宽=8（米） .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -

27、 - - - - - - -第 19 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 因此长=（81） 2 （米） .宽=（米） .那么划出的长方形面积是14. 5 （平方米） .例 12 如右图 . 正方形 ABCD与正方形 EFGC 并放在一起 . 已知小正方形EFGC 的边长是6，求三角形 AEG （阴影部分）的面积 .解： 四边形 AECD 是一个梯形 . 它的下底是AD ，上底是 EC ，高是 CD ，因此四边形 AECD面积=（小正方形边长+大正方形边长）大正方形边长2三角形 ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG= （小正方形边长+大正方形边长），因此三角形 ADG面

28、积 =（小正方形边长+大正方形边长）大正方形边长2.四边形 AECD与三角形 ADG面积一样大 . 四边形 AHCD 是它们两者共有，因此，三角形AEH与三角形HCG 面积相等，都加上三角形EHG 面积后，就有阴影部分面积 =三角形 ECG 面积=小正方形面积的一半= 6 6218.十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.三、其他的面积这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧. 有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会 .例 13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形（如右图），求它的面积.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

29、 - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.周围小正方形有3 个，面积为1 的三角形有5 个，面积为的三角形有1 个，因此围成面积是4 .例 6 与本题在解题思路上是完全类同的.例 14 下图中 ABCD是 6 8 的长方形， AF长是 4，求阴影部分三角形AEF的面积 .解：三角形AEF中，我们知道一边AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形 AEB ，底边 AB，就是长方形的

30、长，高是长方形的宽，即BC的长，面积就可以求出. 三角形 AEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积. 因此三角形 AEF面积（三角形 AEB 面积） - （三角形 AFB 面积）862-4 82 8.这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地解决了问题 . 前面例 9 的解法，也是这种思路.例 15 下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是 10. 中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大精品资料 - - - 欢迎下载 -

31、 - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 解：我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大. 平行四边形的面积是底高. 从图上可以看出，底是2，高恰好是长方形的宽度. 因此这个平行四边形的面积与 10 2 的长方形面积相等.可以设想，把这个平行四边形换成 10 2 的长方形，再把横竖两条都移至边上（如前页右图），草地部分面积（阴影部分）还是与原来一样大小，因此草地面积 =（16-2 ）（ 10-2 ） 112.例 16 右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.解

32、：实际上，阴影部分是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接来求它的面积.阴影部分与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形. 你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形. 因此，梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大. 梯形 ABCD的上底 BC，是直角边AD的长减去 3，高就是DC的长 . 因此阴影部分面积等于梯形 ABCD面积=（88-3 ） 52 .上面两个例子都启发我们，如何把不容易算的面积，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形. 要想有这种 “换”的本领，首先要提高对图形的观察能力.例 17 下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形. 已知

33、AF，FE ，EC都等于 3， CB， BD 都等于 4. 求这个图形的面积 .解：两个直角三角形的面积是很容易求出的.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 三角形 ABC面积 =（333） 4218.三角形 CDE面积 =（44） 3 212.这两个直角三角形有一个重叠部分- 四边形 BCEG ，只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出.因为 AF FE EC3，所以 AGF， FGE， EGC是三个面积相等的三角形.因为

34、 CB BD 4，所以 CGB ，BGD是两个面积相等的三角形.2三角形 DEC面积= 2 2（三角形 GBC面积） 2（三角形 GCE面积） .三角形 ABC面积= （三角形 GBC面积） 3（三角形GCE面积） .四边形 BCEG 面积=（三角形 GBC面积）（三角形GCE 面积）=（21218） 5.所求图形面积 =12 18- .例 18 如下页左图， ABCG 是 47 长方形， DEFG 是 2 10 长方形 .求三角形 BCM与三角形 DEM面积之差 .解：三角形BCM 与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形 DEM 与非阴影部分合起来是两个长方形的和.（三角形BCM 面积）

35、- （三角形 DEM 面积）=（梯形 ABEF面积） - （两个长方形面积之和=（710）（ 42）2- （47 2 10）=3.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 例 19 上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49. 那么图中阴影部分的面积是多少解：所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形 CDE的公共部分，而面积为13，49，35 这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分，

36、因此（三角形 ABC面积） +（三角形CDE面积）（ 134935）（长方形面积）（阴影部分面积）.三角形 ABC ，底是长方形的长，高是长方形的宽；三角形CDE ，底是长方形的宽，高是长方形的长. 因此，三角形 ABC面积，与三角形CDE面积，都是长方形面积的一半，就有阴影部分面积=13 49 35 97.一、四种常见几何体的平面展开图1. 正方体沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图 61。图 6l 只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。2. 长方体沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这

37、一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图62。图 62 只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 3. （直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图63 就是圆柱的平面展开图。4. （直）圆锥体沿圆锥体的一条母线

38、和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图 64。二、四种常见几何体表面积与体积公式1. 长方体长方体的表面积=2（ ab+bc+ca）长方体的体积 =ab c（这里 a、b、c 分别表示长方体的长、宽、高）。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 2. 正方体正方体的表面积=6a2正方体的体

39、积 =a3（这里 a 为正方体的棱长）。3. 圆柱体圆柱体的侧面积=2Rh圆柱体的全面积=2Rh+2 R2=2R （h+R）圆柱体的体积 =R2h（这里 R表示圆柱体底面圆的半径，h 表示圆柱的高）。4. 圆锥体圆锥体的侧面积=Rl圆锥体的全面积=Rl+ R2母线长与高）。三、例题选讲例 1 图 65 中的几何体是一个正方体，图66是这个正方体的一个平面展开图，图67（a）、（ b）、（ c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。分析与解： 从图 65 和图 66中可知：与；与；与互相处于相对面的位置上。只要在图 67精品资料 - - - 欢迎下载

40、- - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 33 页 - - - - - - - - - - （a）、（ b）、（ c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。先看图 67 中的（ a），仔细观察可知，1 与 4，3 与处在互为对面的位置上。再看图 67 中的（ b），同上， 1 与 3，2 与处在互为对面的位置上。最后再看图67 中的（ c），同上， 1 与，2 与 4 处在互为对面的位置上。图 67（a）、（ b）、（ c）标有数字的空白面上的图案见图68 中的（ a

41、）、（ b）、（ c）。例 2图 69 中的几何体是一个长方体，四边形APQC 是长方体的一个截面（即过长方体上四点A、P、Q 、C的平面与长方体相交所得到的图形），P、Q分别为棱 A1B1、B1C1的中点，请在此长方体的平面展图上，标出线段AC 、CQ 、QP 、PA来。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 分析与解： 只要能正确画出图69 中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图610 中的粗实线，就是题目中所要标出的线段AC

42、 、CQ 、QP 、PA 。例 3 在图 611 中，M 、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短分析与解： 沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图612，从 M点绕圆柱体的侧面到达 N点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N。而两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图6 12 和图 613。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 28 页，共

43、 33 页 - - - - - - - - - - 例 4 图 614 中的几何体是一棱长为4 厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 厘米，深为 1 厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（=）分析与解： 因为正方体的棱长为2 厘米，而孔深只有1 厘米，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为 1 厘米。正方体的表面积为426=96（平方厘米）一个圆柱的侧面积为211=（平方厘米）几何体的表面积为96+6=（平方厘米）答：（略）例 5 图 615 是由 1

44、8 个边长为 1 厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少分析与解： 从图 615 中可以看出， 18 个小正方体一共摆了三层，第一层2 个，第二层7 个，因为18-7-2=9 ，所以第三层摆了9 个。另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积也是分别相同的。因为小正方体的棱长是1 厘米，所以上面的表面积为129=9（平方厘米）前面的表面积为128=8（平方厘米）左面的表面积为127=7（平方厘米）几何体的表面积为92+82+72= 答：（略）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

45、- - - - - -第 29 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 例 6 图 616 中所示图形， 是一个底面直径为20 厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 厘米，高 20 厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米（=）分析与解： 因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度。因为圆锥形铅锤的体积为设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为x（202）2 x=100 x（立方厘米）

46、所以有下列方程：60=100 x，解此方程得：x=（厘米）答：铅锤取出后，杯中水面下降了厘米。例 7 横截面直径为2 分米的一根圆钢， 截成两段后， 两段表面积的和为平方分米，求原来那根圆钢的体积是多少（=）分析与解： 根据圆柱体的体积公式，体积 =底面积高。 假设圆钢长为x，因为将圆钢截成两段后，两段表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面式子：2（ 22）x+4（ 22）2=2x+4根据题目中给出的已知条件，可得下面方程：2x+4=解方程：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

47、-第 30 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 圆钢的体积为（22）210（立方分米）答：（略）。例 8 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10 厘米、圆心角为216的扇形，求此圆锥的体积是多少（=）分析与解： 要想求出圆锥的体积，就要先求出它的底面圆的半径与高。按题意画图6 17。在图 617 中，字母 R、h 分别表示底面圆的半径和圆锥体的高，根据弧长公式：弧长=2Rn360（这里 R是圆的半径， n 为弧所对圆心角的度数），便可求出弧长来。这个弧长就是底面圆的周长，再利用周长公式，就可求出底面圆的半径R。另外从图 617 中可以看出：圆锥的高、母线、底面圆的半径正好构

48、成一个直角三角形，利用勾股定理便可求出圆锥的高h。所以 2 R=12，得 R=6（厘米）在直角三角形中，根据勾股定理有：102=h2+R2，即 h2=102-R2 =100-36=64 ，h=8（厘米）答：（略）例 9 图 618 中的图形是一个正方体，H、G、F 分别是棱 AB 、AD 、AA1的中点。现在沿三角形GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体积的几分之几精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 31 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 分

49、析与解： 因为锯掉的是立方体的一个角，所以HA与 AG 、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面， H为顶点的一个三棱锥，如果我们假设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3。三棱锥的底面是直角三角形AGF ，而角 FAG为 90， G 、F 又分别为AD 、而三棱锥的体积等于底面积与高的乘积再除以3，所以锯掉的那一角的体积为答：（略）例 10 图 619 是一个里面装有水的三棱柱封闭容器，图 620 是这个三棱柱的平面展开图。当以 A面作为底面放在桌面上时，水高2 厘米，如果以B面与 C面分别作为底面放在桌面上时，水面高各为多少厘米

50、分析与解： 我们先求以A面作为底面放在桌面上时容器内的水的体积。此时水的体积，与以梯形FJQP为底面、 JI为高的棱柱的体积相等。棱柱的体积等于底面积乘以高，从图 6 20 可以看出， 此棱柱的高JI 为 12 厘米，梯形 FJQP的下底 FJ 为 3 厘米，高 QJ为 2 厘米。因为 PTJQ是个长方形，所以QJ=PT=2厘米，而 Q点是 GJ的中点， PQ平行于FJ，这样可以推算出QP为 FJ 的一半，为厘米，这一来梯形FJQP的面积为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 32 页，共 33