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1、2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学理科试卷2016.1 一填空题： (本题满分 56 分，每小题 4 分) 1设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x，则抛物线的标准方程是_2方程253log2x的解是 _3设)N(3*nann，则数列na的各项和为 _ 4函数2cos3sincosyxxx的最小值为 _5若函数)(xf的图像与对数函数xy4log的图像关于直线0yx对称，则)(xf的解析式为)(xf_6若函数2( )4f xxxa的零点个数为4，则实数a的取值范围为_7若Ryx,，且191xy，则xy的最小值是 _8若三条直线03yax,02yx和012yx相交于一点， 则行列式1
2、1221131a的值为 _9322134xxx展开后各项系数的和等于_10已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，3AB，2CD，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是_11 已知函数2( )1f xx的定义域为D， 值域为1,0,1,， 则这样的集合D最多有 _ 个12正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3 把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6 个数字之和恰好是9 的概率为 _13设12,x x是实系数一元二次方程20axbxc的两个根，若1x是虚数，212xx是实数，则24816321111112222221xxxxxxSxxxxxx=_精品资料 - - -
3、欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 14 已知O 是锐角ABC的外心，1tan2A若coscos2,sinsinBCABACm AOCB则实数m_二选择题：（本题满分20 分，每小题 5分）15已知向量a与b不平行，且0ab，则下列结论中正确的是-（）A向量ab与ab垂直B向量ab与a垂直C向量ab与a垂直D向量ab与ab平行16设,a b为实数，则“01ab”是“1ba”的 -（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C 充分必要条件D既不充分也不必要条件
4、17设x、y均是实数，i是虚数单位，复数(2 )(52)ixyxy的实部大于0，虚部不小于0，则复数zxyi 在复平面上的点集用阴影表示为下图中的-（）18设函数)(xfy的定义域为D，若对于任意1x、Dx2，当axx221时，恒有bxfxf2)()(21，则称点),(ba为函数)(xfy图像的对称中心研究函数3sin)(xxxf的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到1234030403120162016201620162016fffff的值为 - （）A4031B4031C8062D8062精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师
5、归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 三解答题：（本大题共5 题，满分 74分）19（本题满分12 分）在 三 棱 锥SA B C中 ，,SAAB SAAC ACBC且2,13,29ACBCSB. 求证SCBC并求三棱锥的体积SABCV20（本题满分14 分；第（ 1）小题分，第（2）小题分）已知实数x满足242111103339xxx且22( )loglog22xxf x（1）求实数x的取值范围；（2）求fx的最大值和最小值，并求此时x的值21（本题满分14 分；第（ 1）小题分，第（2）小题分）节能环保日益受到人们的重
6、视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题. 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，30ABkm，15BCkm，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO.设BAOx（弧度），排污管道的总长度为ykm（1）将y表示为x的函数；（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01 km）ABDPCOSABC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -
7、- - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 22（本题满分16 分；第（ 1）小题 3 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 2）小题 7 分）给定数列na，记该数列前i项12,ia aa中的最大项为iA，即12max,iiAa aa；该 数 列 后ni项12,iinaaa中 的 最 小 项 为iB， 即12min,iiinBaaa；(1,2,3,1)iiidAB in（1）对于数列： 3,4,7,1，求出相应的123,;d dd（2）若nS是数列na的前n项和，且对任意,nN有21(1),33nnSan其中为实数，0且1,13设2,3(1)nnba证明数列nb是等
8、比数列；若数列na对应的id满足1iidd对任意的正整数1,2,3,2in恒成立， 求实数的取值范围23（本题满分18 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 5 分，第（ 3）小题 9分）已知直线1l、2l与曲线22:10,0W mxnymn分别相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形（1）若直线1:lyxa和2:lyxb将单位圆22:1Wxy分成长度相等的四段弧，求22ab的值；（2）若直线12:210,:210lyxlyx与圆22:4Wxy分别交于点A、B和C、D，求证：四边形ABCD为正方形；（3）求证：椭圆22:12xWy的内接正方形有且只有一个，并求该
9、内接正方形的面积精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科（理科）参考答案及评分标准2016.1 三填空题： (本题满分 56 分，每小题 4 分) xy822x31241254xyxR604a 7 16 8 0 9 28 102311 9 12141321455二选择题：（本题满分20 分，每小题 5 分）15A1617A18四解答题：（本大题共5 题，满分 74 分）19（本题满分 12
10、 分）解： 因为,SAAB SAAC，ABACA,所以SA平面ABC,所以SABC. 又ACBC. 所以BC平面SAC. 故SCBC.-6 分在ABC中，090 ,2,13ACBACBC, 所以17AB.-8分又在SAB中，,17,29SAAB ABSB, 所以2 3SA.-10分又因为SA平面ABC, 所以112 392132 3323S ABCV.-12 分20（本题满分 14 分；第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分）解：（ 1）设213xu，则上式化为291010uu，119u，即211193x，24x-6分SABC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -
11、- - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - （2）因为2222( )logloglog1log222xxf xxx2222231log3log2log24xxx， -10分当23log2x， 即22x时，min14y-12分当2log1x或2log2x，即2x或4x时，max0y-14分21（本题满分 16 分；第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分）解：（ 1）由已知得1521515tancosyxx，即2sin1515cosxyx（其中04x）-6分（2）记2sincosxpx，则sin
12、cos2xpx，则有2211p，解得3p或3p-10分由于0y，所以，当6x，即点O在CD中垂线上离点P距离为15 3153km处, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - y取得最小值1515 340.98（km） -14分22（本题满分 16 分；第（ 1）小题 3 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 2）小题 7 分）解： （1）1232,3,6.ddd-3分（2）当1n时，11(1)1,aa所以11a-4分当2n时，21(1),3
13、3nnSan1121(1),33nnSan两式相减得12,3nnaa所以12223(1)33(1)nnnbaa112,3(1)nnab又1123103(1)3(1)ba所 以 ， 数 列nb是 以313(1)为 首 项 、为 公 比 的 等 比 数列.-9分由知：13123(1)3(1)nna；又1212max,min,iiiinda aaaaa，112123max,min,iiiinda aaaaa由于1223min,min,iiniinaaaaaa所以由1iidd推得12121max,max,.iia aaa aa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -
14、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 所以1211max,iia aaa对任意的正整数1,2,3,2in恒成立 .-13分因为1112,iiiiiidaadaa所以121212131312(12 )(1) .3(1)3(1)iiiiiiiddaaa-14 分由10iidd，得1231(1)03(1)i，但0且1，所以3103(1)解得113，所以1(,1)3-16分23（本题满分 18 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 5 分，第（ 3）小题 9 分）解：（ 1）由于直线1:lyxa和2:lyxb将
15、单位圆22:1Wxy分成长度相等的四段弧，所以2ABCD，在等腰直角OAB中，圆心0,0O到直线1:lyxa的距离为2122ada，同理1b，222ab-4分（2）由题知，直线12,l l关于原点对称，因为圆22:4Wxy的圆心为原点O，所以ABDC，故四边形ABCD为平行四边形 .易知，O点在对角线,AC BD上. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 联立224210 xyyx解得254 1060 xx，由12124 106,55
16、xxx x得12121212210210OA OBx xy yx xxx12124 1052 101062 101005x xxx，所以OAOB，于是ACBD，因为4ACBD，所以四边形ABCD为正方形 .-9分（3）证明：假设椭圆22:12xWy存在内接正方形，其四个顶点为,A B C D. 当直线AB的斜率不存在时，设直线AB、CD的方程为,xm xn，因为,A B C D在椭圆上，所以2222,1,1,12222mmnnAmBmCnD， 由四边形ABCD为正方形，易知，66,33mn，直线AB、CD的方程为66,33xx，正方形ABCD的面积2 62 68333S.-12 分当 直 线A
17、B的 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线AB、CD的 方 程 分 别 为:,:0,0ABCDlykxm lykxn km，显然mn.设11223344,A x yB x yC xyD xy，联立2212xyykxm得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 2221 24220kxkmxm，所以2121222422,1212kmmxxx xkk代人222121214ABkxxx x，得222222218 112kmABkk，同理可得222
18、222218 112knCDkk，因为ABCD为正方形，所以22ABCD解得22mn因为mn，所以mn，因此，直线AB与直线CD关于原点O对称，所以原点O为正方形的中心（由mn知ABDC，四边形ABCD为平行四边形）由ABCD为正方形知OAOB，即221212121210OA OBx xy ykx xkm xxm代人得222322012mkk，解得22213km（注：此时四边形ABCD为菱形）由ABCD为 正 方 形 知A BA D， 因 为 直 线AB与 直 线CD的 距 离 为2,1mnADmnk，故22222214483113kmADkk但22222222221142188 131212
19、kkkmABkkk，由2222114112kkk得424224514410kkkkk即0k，与0k矛盾 .所以22ADAB，这与精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - ADAB矛盾 .即当直线AB的斜率0k存在时，椭圆内不存在正方形. 综上所述，椭圆22:12xWy的内接正方形有且只有一个，且其面积为83S.-18 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -