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1、精选优质文档-倾情为你奉上12.2古典概型会这样考1.考查古典概型概率公式的应用；2.考查古典概型与事件关系及运算的综合题；3.与统计知识相结合，考查解决综合问题的能力复习备考要这样做1.掌握解决古典概型的基本方法，列举基本事件、随机事件，从中找出基本事件的总个数，随机事件所含有的基本事件的个数；2.复习时要加强与统计相关的综合题的训练，注重理解、分析、逻辑推理能力的提升1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个
2、结果(2)每一个试验结果出现的可能性相等3如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A).4古典概型的概率公式 P(A). 5、有序与无序、有放回与无放回难点正本疑点清源1一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型2从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集故P(A).1甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在
3、中间的概率是_答案解析甲共有3种站法，故站在中间的概率为.2从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是_答案解析从6个数中任取2个数的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求的概率是.3从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a，从1,2,3中随机选取一个数为b，则ba的概率是_答案基本事件的个数有5
4、315，其中满足ba的有3种，所以ba的概率为.4从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是_答案D解析个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类(1)当个位为奇数时，有5420(个)符合条件的两位数(2)当个位为偶数时，有5525(个)符合条件的两位数因此共有202545(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P.题型一基本事件例1有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四
5、面体玩具出现的点数试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3”；(3)事件“出现点数相等”思维启迪：由于出现的结果有限，每次每颗只能有四种结果，且每种结果出现的可能性是相等的，所以是古典概型由于试验次数少，故可将结果一一列出解(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，
6、(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)探究提高基本事件的确定可以使用列举法和树形图法（1）同时抛掷两枚骰子，写出试验的基本事件。 答案：略 基本事件总数为36种，（2）一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，两个黑球， （1）从中一次摸出两个球，写出基本事件；（无序不放回）（2）从中摸出1个球，记下颜色后不放回；再摸出1个球，记下颜色，写出基本事件；（有序不放回）（3）从中摸出1个球，记下颜色后放回；再摸出1个球，记下颜色，写出基本事件；（有序有放回）（4）从中有
7、放回的抽取2个球，不计先后顺序，写出基本事件；（无序有放回）解答：记3个白球分别为：1、2、3号、2个黑球分别为：4、5号。（1）：1,2，1,3，（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10种，（2）（1,2），（1,3），（1,4），（1,5）； （2,1），（2,3），（2,4），（2,5）；（3,1），（3,2），（3,4），（3,5）； （4,1），（4,2），（4,3），（4,5）；（5,1），（5,2），（5,3），（5,4）；共20种，（3）（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5）； （2,1），（2,2
8、），（2,3），（2,4），（2,5）；（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5）； （4,1），（4,2），（4,3），（4,4）；（4,5），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5）；共25种，（3）用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求： (1)3个矩形颜色都相同的概率； (2)3个矩形颜色都不同的概率解所有可能的基本事件共有27个，如图所示(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图，知事件A的基本事件有133(个)，故P(A).(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图，可知事件B的基本事件有236(个)，故P(
9、B).题型二古典概型问题例2有编号为A1，A2，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间1.48,1.52内的零件为一等品(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个用零件的编号列出所有可能的抽取结果；求这2个零件直径相等的概率解(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，记“从10个零件中，随机抽取一个，这个零件为一等品”为事件A，则P(A).(2)一等品零件的编号为A1，A2
10、，A3，A4，A5，A6，从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共15种“从一等品零件中，随机抽取2个，这2个零件直径相等”记为事件B，则其所有可能结果有A1，A4，A1，A6，A4，A6，A2，A3，A2，A5，A3，A5，共6种，所以P(B).题型三古典概型的综合应用例3为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；
11、(2)估计该校学生身高在170185 cm之间的概率；(3)从样本中身高在180190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190 cm之间的概率解(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170185 cm之间的学生有141343135(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170185 cm之间的频率f0.5.故由f估计该校学生身高在170185 cm之间的概率p0.5.(3)样本中身高在180185 cm之间的男生有4人，设其编号为，样本中身高在185190 cm之间的男生有2人，设其编号为.从上述6人中任
12、选2人的树状图为故从样本中身高在180190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率p2.一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们
13、的得分如下：9.4；8.6； 9.2；9.6；8.7；9.3； 9.0；8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率解(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得，所以n2 000，则z2 000100300150450600400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得，则a2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，
14、(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个故P(E)，即所求概率为.(3)样本平均数(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9.设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P(D)，即所求概率为.例4：一个
15、袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概率规范解答 解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1,2，1,3两个因此所求事件的概率P.6分(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，
16、(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个8分又满足条件nm2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件nm2的事件的概率为P1.10分故满足条件nm2的事件的概率为1P11.12分温馨提醒(1)本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4等；第(2)问，有次序(2)在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏同时要注意细节，如用列举法，第(1)问应写成1,2的
17、形式，表示无序，第(2)问应写成(1,2)的形式，表示有序(3)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件在第(2)问中，由于不能将事件n90的概率是()A. B. C. D.答案A解析(m，n)(1,1)mnn.基本事件总共有6636(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)，共1234515(个)P，故选A.3、四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面
18、朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为（A） （B） （C） （D）答案：.B二、解答题1近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率(2)试估计生活垃圾投放错误的概率(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为
19、a，b，c，其中a0，abc600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值(注：s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中为数据x1，x2，xn的平均数)解(1)厨余垃圾投放正确的概率约为.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()0.7，所以P(A)约为10.70.3.(3)当a600，bc0时，s2取得最大值因为(abc)200，所以s2(600200)2(0200)2(0200)280 000.即
20、s2的最大值为80 000.2在某中央商务区的街道,有一中年人吆喝“送钱”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黄色、2只白色的乒乓球(其体积,质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得统一颜色的3个球，摊主送个摸球者10元钱；若摸得非同一颜色的3个球。摸球者付给摊主2元钱。(1)摸出的3个球中至少有1个白球的概率是多少?(2)假定一天中有100人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱?【解析】试题分析：(1)由题意列出所有可能的基本事件，然后结合古典概型公式可得摸出的3个球中至少有1个白球的概率是多少是；(2)由概率知识计算可得
21、这个摊主一个月(按30天计)能赚2400元钱.试题解析：(1)设黄球为A1，A2，A3 ；白球为B1，B2。由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共10个：（A1，A2，A3），（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A3，B1），（A1，A3，B2）（A2，A3，B1），（A2，A3，B2），（A1，B1，B2），（A2，B1，B2），（A3，B1，B2）摸出的3个球中至少有1个白球的事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为P=(2)设事件A=摸出的3个球为同一颜色，则P(A)=0.1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件A发生有10次
22、，不发生90次。则一天可赚902-1010=80，故这个摊主一个月(按30天计)可赚2400元。3一个盒子中装有2个红球，4个白球，除颜色外，它们的形状、大小、质量等完全相同（1）采用不放回抽样，先后取两次，每次随机取一个球，求恰好取到1个红球，七个白球的概率；（2）采用放回抽样，每次随机抽取一球，连续取3次，求至少有1次取到红球的概率.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）不放回的先后取两次，第一次有6种不同的取法，第二次有5种不同的取法，所以一共有65=30种不同的取法种数，若恰第一次取红球，第二次取白球共有24=8种，若第一次取白球，第二次取红球，共有42=8种，所以恰好取到一个红
23、球的种数为16种，所以概率为 ；（2）若放回抽取，每次取一球，连续3次，则不同的取法种数为666=216种，若3次都取到白球，共有 444=64种，所以根据对立事件概率加法公式可知，至少有1次取得红球的概率为.试题解析：（1）恰好取到1个红球，1个白球的概率为（2）采用放回抽样，每次取到红球的概率，至少有1次取到红球的概率为.4春节期间某超市搞促销活动，当顾客购买商品的金额达到一定数量后可以参加抽奖活动，活动规则为：从装有个黑球， 个红球， 个白球的箱子中（除颜色外，球完全相同）摸球.（）当顾客购买金额超过元而不超过元时，可从箱子中一次性摸出个小球，每摸出一个黑球奖励元的现金，每摸出一个红球奖
24、励元的现金，每摸出一个白球奖励元的现金，求奖金数不少于元的概率；（）当购买金额超过元时，可从箱子中摸两次，每次摸出个小球后，放回再摸一次，每摸出一个黑球和白球一样奖励元的现金，每摸出一个红球奖励元的现金，求奖金数小于元的概率.试题解析：() 个黑球依次为黑,黑,黑,个红球依次为红,红,白球为白,从箱子中一次性摸出个小球的基本事件为(黑黑),(黑黑),(黑黑),(黑红),(黑红),(黑红),（黑红），（黑红），（黑红），（红红），（黑白），（黑白），（黑白），（红白），(红白)基本事件总数为，奖金数恰好为元基本事件为（红红），（黑白），（黑白），（黑白），其基本事件数为，记为事件，奖金数恰好为元
25、的概率奖金数恰好为元基本事件为（红白），（红白），其基本事件数为，记为事件，奖金数恰好为元的概率奖金数恰好不少于元的概率（） 个黑球依次为黑，黑，黑， 个红球依次为红，红，从箱子中摸两次，每次摸出个小球后，放回再摸一次的基本事件为（黑黑）（黑黑），（黑黑），（黑红），（黑红），（黑白），（黑黑）（黑黑），（黑黑），（黑红），（黑红），（黑白），（黑黑）（黑黑），（黑黑），（黑红），（黑红），（黑白），（红黑）（红黑），（红黑）， （红红），（红红），（红白），（红黑）（红黑），（红黑），（红红），（红红），（红白），（白黑）（白黑），（白黑），（白红），（白红），（白白），基本事件总数为，奖金数最高为元，奖金数恰好为元的基本事件为（红红），（红红），（红红），（红红），基本事件总数为,设奖金数元的事件为则奖金数小于元的概率专心-专注-专业