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1、精选优质文档-倾情为你奉上Bernstein多项式的性质及其应用作者：张* 指导教师：汪*摘要 Bernstein多项式的性质在Bzier曲线上的应用更加的广泛，鉴于此，必须先给出Bernstein多项式的性质，然后再得出Bzier曲线的性质和应用。在工程应用领域，从设计要求出发，人们希望使用某种逼近方法，而非传统的插值方法，该法能模仿曲线、曲面的设计过程，又便于设计者使用。Bzier于1962年提出了以逼近为基础的曲线曲面设计系统，名为UNISURF,随后，Forrest,Gordon和Riesenfeld等对Bzier方法作了深入研究，揭示了Bzier方法与Bernstein多项式的联系，
2、从而使其具有更坚实的理论基础。本文旨在介绍Bernstein多项式，给出其性质，结合Bzier曲线的性质，得出Bernstein多项式在Bzier曲线上的应用。关键词 Bernstein多项式 Bzier曲线 逼近 1 引言 用多项式一致逼近连续函数是函数逼近论中的重要结果，在科学与工程中有广泛的应用。而Bernstein多项式是不可缺少的重要工具。1.1 Bernstein多项式定义：设是上的函数,约定.称上的多项式函数 为的第个Bernstein多项式.应当将视为一个映射,它把上的函数映为上的多项式函数.称为第个Bernstein算子.命题 若是上的函数,是常数,是上的恒等映射,则(1)
3、的次数；(2) ；(线性性质)(3) .证明: (1),(2)显然成立,故只需证(3).,这说明.,这说明.再由(1),(2)便得到 .引理 设是上的函数.若引入上的辅助函数,则它们的Bernstein多项式之间满足关系 .证: .1.2 定理 ( Bernstein多项式的逼近性质) 设是上的连续函数(或函数).那么,使得当时,都成立 (或).证: (1) 记.,取,使得当时成立；再取,使得当时成立.于是,当时,都成立 .对以为自变量的函数求2阶导数,由Leibniz公式得到 ,或 .令便得到.于是, .(2).为了估计,只需估计出和即可.记,由引理得到 ., ().故 .,取,使得当,时成
4、立；再取满足,则当时,便有,故,成立.于是,当时,都成立.如果取更大一些,还可使得当时,都成立.于是,.2 下面介绍给出Bzier曲线的定义、性质及其应用21 Bzier曲线定义，。构成该曲线的特征多边形，是Bernstein多项式2.2 Bzier曲线的类型线性Bzier曲线给定点，线性Bzier曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：且其等同于线性插值二次方Bzier曲线二次方Bzier曲线的路径由给定点的函数追踪：TrueType字型就运用了以Bzier样条组成的二次Bzier曲线。三次方Bzier曲线、四个点在平面或在三维空间中定义了三次方Bzier曲线。曲线起始于走向，并从的方
5、向来到。一般不会经过或；这两个点只是在那里提供方向资讯。和之间的间距，决定了曲线在转而趋进之前，走向方向的“长度有多长”。曲线的参数形式为：现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以Bzier样条组成的三次Bzier曲线，用来描绘曲线轮廓。一般化阶Bzier曲线可如下推断。给定点，Bzier曲线即例如:。如上公式可如下递归表达：用表示由点所决定的Bzier曲线。则，为阶的Bzier曲线，即双阶Bzier曲线之间的插值。线性Bzier曲线函数中的会经过由至的所描述的曲线。例如当x=0.25时，即一条由点至路径的四分之一处。就像由0至1的连续，描述一条由
6、至的直线。（线性Bzier曲线的结构）二次曲线为建构二次Bzier曲线，可以中介点和作为由至的：由至的连续点，描述一条线性Bzier曲线。由至的连续点，描述一条线性Bzier曲线。由至的连续点，描述一条二次Bzier曲线。(二次Bzier曲线的结构)高阶曲线为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性Bzier曲线描述的中介点，和由二次曲线描述的点、所建构(三次Bzier曲线的结构)对于四次曲线，可由线性Bzier曲线描述的中介点，由二次Bzier曲线描述的点，和由三次Bzier曲线描述的点所建构：(四次Bzier曲线的结构)设、是一条抛物线上顺序三个不同的点。过和点的两切线
7、交于点，在点的切线交和于和，则抛物线的三切线定理 是当和固定，引入参数，令上述比值为, 当从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次Bzier曲线。将一、二式代入第三式得： , 当从0变到1时，它表示了由三顶点、三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P0,2可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier曲线P0,3可被定义为分别由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控制点P
8、i(i=0,1,.,n)定义的n次Bezier曲线可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0,n-1与P1,n-1的线性组合。利用Bezier曲线的性质，张量积形式的Bezier曲面的定义可以如下定义。两组正交的Bezier曲线的控制顶点可作为矩形网格。设Pij (i=0,n; j=0,m)为空间点列，这些点生成的n+1行、m+1列的矩形网格称为特征网格，其中在第i+1行、第j+1列的点是Pij。相应的mn次张量积形式的Bezier曲线为 其中，是k次Bernstein基函数。在一般实际应用中，n,m不大于4。Bezier曲线的变差缩小性质不能推广到曲面。但是，
9、其它许多性质可推广到Bezier曲面。 2.3 Bzier曲线的性质从零次Bernstein多项式,一次Bernstein多项式立即可知，零次Bzier曲线就是一个顶点，一次Bzier曲线就是两顶点与的线性插值，即连接两顶点与的直线。二次及二次以上的Bzier曲线有如下性质。1.Bzier曲线的首末端点正好分别是Bzier多边形的首末顶点，即2.Bzier曲线在首末端点的阶导数与Bzier多边形的首末条边有关，与其他边无关。这表明曲线在首末端点分别与首末条边相切。性质1与2是Bzier曲线的基本性质。3.几何不变性与仿射不变性。4.“对称性”将Bzier多边形顺序取反，定义同一条曲线，仅曲线方
10、向取反。5.凸包(convex hull)性质：一个点集的凸包被定义为由该点集的元素形成的所有的凸组合的集合。可以这样来想象确定平面上点集的凸包：在点集的每一个元素位置上打上钉子，然后用一根封闭的橡皮绳套在所有钉子的外面，橡皮绳因弹性自然收缩形成封闭的多边形区域，略去钉子与橡皮绳的粗面，这个包括边界在内的多边形区域就是该点集的凸包。对于空间分布的点，则可想象一封闭的橡皮膜包住这些点，任其弹性收缩所形成的的空间区域即为其凸包。Bzier曲线的凸包性质是指Bzier曲线恒为于它的控制顶点的凸包内，这一性质确定了Bzier曲线的所在范围，使得设计人员预先就心中有数。它还被用于分割求交：如果用Bzie
11、r形式表示的两相交元素的控制顶点的凸包不相交，则可定义它们不相交。6.变差减少（variation diminishing） 性质（又称VD性质）：任一平面与Bzier曲线的交点数不会超过它与控制多边形的交点数，但包含整个控制多边形的平面除外。这一性质导致如下的凸性定理：如定义平面Bzier曲线的控制多边形是凸的（指连接首末顶点构成的封闭多边形为凸的，相重边情况除外），则所定义的平面Bzier曲线也是凸的。7.移动次Bzier曲线的第个控制顶点，将对曲线上参数为的那点处发生最大的影响。这是因为相应的Bernstein多项式处达到最大值。若使顶点引入偏移矢量，则由新Bzier多边形定义的Bzie
12、r曲线将是，在处发生的最大影响为.反之，欲使曲线在处移动，则必须使顶点引入偏移矢量.可见，这是一个对交互设计Bzier曲线很有用的性质。2.4 Bezier曲线的应用“Bezier”工具在photoshop中叫“钢笔工具”；在CorelDraw中翻译成“Bezier工具”；而在Fireworks中叫“画笔”。它是用来“画线”造型的一种专业工具。当然还有很多工具也可以完成画线的工作，例如大家常用的photoshop里的直线、喷枪、画笔工具，Fireworks里的直线、铅笔和笔刷工具，CorelDraw里的自由笔，手绘工具等等.用“Bezier”工具无论是画直线或是曲线，都非常简单，随手可得。其操
13、作特点是通过用鼠标在面板上放置各个锚点，根据锚点的路径和描绘的先后顺序，产生直线或者是曲线的效果。我们都知道路径由一个或多个直线段或曲线段组成。锚点标记路径段的端点。在曲线段上，每个选中的锚点显示一条或两条方向线，方向线以方向点结束。方向线和方向点的位置确定曲线段的大小和形状。移动这些元素将改变路径中曲线的形状，可以看右图。路径可以是闭合的，没有起点或终点（如圆圈），也可以是开放的，有明显的端点（如波浪线）。2.4.1Bezier曲线的应用更多的体现在作图上，下面介绍几种常见的Bezier曲线在MATLAB上实现的算法。1在MATLAB中键入下面程序：clear ,clc;format lon
14、gx=(0:0.01:20);y_0=besselj(0,x);plot(x,y_0);grid on;axis(0,20,-1,1);title(0阶贝塞尔函数曲线图);xlabel(Variable X);ylabel(Variable Y);得到下面的曲线 （0阶贝塞尔函数曲线图）2. 在MATLAB中键入下面程序：clear ,clc;format longx=(0:0.01:20);y_1=besselj(1,x);plot(x,y_1);grid on;axis(0,20,-1,1);title(一阶贝塞尔函数曲线图);xlabel(Variable X);ylabel(Varia
15、ble Y);得到下面的曲线（一阶贝塞尔函数曲线图）3. 在MATLAB中键入下面程序：clear ,clc;format longx=(0:0.01:20);y_2=besselj(2,x);plot(x,y_2);grid on;axis(0,20,-1,1);title(二阶贝塞尔函数曲线图);xlabel(Variable X);ylabel(Variable Y);得到下面的曲线（二阶贝塞尔函数曲线图）2.4.2Bezier广泛应用于外形设计的参数曲线逼近方法，它通过对一些特定点的控制来控制曲线的形状，我们称这些点为控制顶点。下面我们通过找控制点的方法绘制2次Bezier曲线，即的情
16、形。此时有3个顶点，为了在MATLAB中计算方便，我们将Bezier曲线的一般表示式改写为矩阵形式，我们得到：这样，对于确定的，我们取定区间中的值后，即可计算的值，注意，是与对应的，如果是平面上的点即2维坐标，则也是2维坐标，如果是空间的点即3维坐标，则也是3维坐标，因此，对于每一组确定的，即可绘制出一条2次Bezier曲线。完成平面2次Bezier曲线的MATLAB程序如下：先编制完成Bezier曲线计算和绘制的函数bezier2.m，其参数是控制顶点的坐标。% Bezier Square Curve Ploter% This file will create a Bezier square
17、 curve and dispay the plot. The parameter is the Vertex matrix.function X = bezier2(Vertex)BCon=1 -2 1;-2 2 0;1 0 0; % our 3 X 3 constant Matrixfor k = 1:1:50 % for loop 1 - 50 insteps of 1 par = (k - 1)/49; XY(k,:) = par2 par 1*BCon*Vertex; % yep! we have created our data end% we will display the v
18、ertices and the curve using MATLABs built-in graphic functions clf % this will clear the figure plot(Vertex(:,1),Vertex(:,2),ro,XY(:,1),XY(:,2),b-) % this will create a plot of both the Vertices and curve, the vertices will be red o while the curve is blue line % if you are impatient you can save th
19、e file and run the script agin in MATLAB line(Vertex(:,1),Vertex(:,2),color,g) % add the control polygon. xlabel( x value) ylabel (y value) title(Square Bezier Curve) legend(Vertex,Curve,Control Polygon) % you can move the legend on the plot然后，在命令行定义Bez2Vertex= 0 0 ; 0.3 0.7 ; 1.0 0.2，即定义则可得到如下的图形：通
20、过改变控制顶点的坐标，即可得到所需要的2次Bezier曲线。接着我们讨论3次Bezier曲线，我们也采用将表达式改写为矩阵形式的方法，我们得到：这样，我们就可以用与前面几乎相同的程序来绘制3次Bezier曲线了。如设则可得到如下的3次Bezier曲线。注意：图中“0”表示控制顶点，直线表示控制多边形，曲线即为Bezier曲线。当我们需要的曲线较为复杂时，仅用一段Bezier曲线难以表示，此时，我们可以采用拼接的方法，通过重复使用较为简单的绘制方法来绘制出较为复杂的图形。在拼接时，我们首先要求曲线是连续的，我们以二段3次Bezier曲线的拼接为例来讨论。设控制顶点分别为和，则当与重合时，即能保证
21、曲线连续，我们称两段曲线这样的连续为零阶几何连续，在此基础上，如果我们保证与重合，且和均不为零且同向，则我们可以保证曲线在处是光滑的，此时，我们称该曲线在处为一阶几何连续。在稍微复杂一点的条件下，我们还可以使曲线在拼接处有相同的曲率。 结束语通过上述的探讨与分析，已经初步掌握了Bernstein多项式与Bezier曲线的性质以及其应用，这为学习自由曲面奠定了基础。参考文献1 郭存娣，Bernstein多项式与其所逼近的连续函数J.西北纺织工学院学报，2000年：第14卷，第3期 2 谢林森，关于Bernstein多项多的线性组合J.数学研究与评论，1995年，15卷，第4期3 严兰兰、宋来忠，
22、正则Bezier曲线的广义偏距曲线及其MATLAB实现J. 三峡大学学报（ 自然科学版），2006年：第28卷，第4期4 华东师范大学数学系主编，数学分析M，高等教育出版社，2001年版5 施法中，计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条M. 北京，高等教育出版社，20016 朱心雄等，自由曲线曲面造型技术M.北京，科学出版社，20007 H. Caglar and A. N. Akansu, IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 41, no. 7, pp.23142321, July 1993. 8Korovkin, P.P., , in H
23、azewinkel, Michiel, , , , 2001Properties and application of Bernstein polynomialsAuthor：ZHANG Yi Supervisor：WANG ZhihuaAbstract：The nature of the Bernstein polynomials in Bzier curve is more widely.Given this,must first be given the nature of the Bernstein polynomials.And then come to the nature and
24、 application of Bzier curves.In the field of engineering applications,from design requirements.People want to use some kind of approximation methods ,instead of the traditional interpolation method.The method is able to mimic the curves, surfaces of the design process, but also to facilitate the des
25、igners to use.Bessel is put forward curve and surface which design system based on approximations in 1962 ,called UNISURF.Subsequent,Forrest, Gordon and Riesenfeld made an in-depth study of the Bzier method.Reveals the Bezier method contact Bernstein polynomial.So that it has a solid theoretical foundation,This article aims to introduce Bernstein polynomial.Given its nature Combined with the nature of the Bzier curve ,draw the application of Bernstein polynomials on the Bezier curve.Key Words:Bernstein polynomial the bezier curve approximation专心-专注-专业