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1、精选优质文档-倾情为你奉上2019中考数学 几何图形探究拓展训练1(1)问题发现如图，在RtABC中，BAC90，AB 2，AC4，点D为BC的中点，过点D作射线DEDF，分别交AB，AC于点E，F，当DEAB，DFAC时，_；(2)类比探究若EDF绕着点D旋转到图的位置，(1)中其他条件不变，_；若改变点D的位置，当时，求的值，请就图的情形写出解答过程； 图 图第1题图(3)问题解决如图，AB2，AC4，连接EF，当CD_时，DEF为等腰直角三角形；当CD_时，DEF与ABC相似图第1题图解：(1)2；【解法提示】DEAB，DFAC，BAC90，DFAE，DEAC，BEDBAC，CDFCBA
2、，点D为BC的中点，AB2，AC4，DE2，DF1，2.(2)2；【解法提示】如解图，过点D作DMAB于点M，作DNAC于点N，ADMADNA90，MDN90，MDEEDNNDFEDN，MDENDF，又DMEDNF，DEMDFN，由(1)可得2，2.第1题解图如解图，过点D作DGAB于点G，作DHAC于点H，GDH90，EDGGDFFDHGDF90，EDGFDH，又DGEDHF90，第1题解图DGEDHF，BAC90，DGAC，DHAB，BDGBCA，CDHCBA，；(3)；或.【解法提示】EDF90，当DEF为等腰直角三角形时，DEDF，由(2)中的结论可知，1，a2b，BC3b，在RtAB
3、C中，AB2，AC4，由勾股定理得BC2，CDBC.EDFA90，DEF与ABC相似有两种情况：当DEFABC时，即，a4b，CDBC；当DEFACB时，即2，2，ab，CDBC.综上所述，当CD或时，DEF与ABC相似2在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF.(1)如图，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明；(2)当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE的长；(3)如图，当点E在AC的延长线上运动时， C
4、F、BE相交于点D，请你探求ECD的面积S1与DBF的面积S2之间的数量关系，并说明理由；(4)如图，当ECD的面积S1时，求AE的长 图 图第2题图解：(1)ABECBF.理由如下：ABC与EBF都是等边三角形，ABCB，BEBF，ABCEBF60，CBFABE60CBE，ABECBF(SAS)；(2)由(1)知点E在运动过程中始终有ABECBF.S四边形BECFSBCFSBCE，S四边形BECFSABC，ABC是边长为2的等边三角形，SABC22，S四边形BECF，又S四边形ABFC，SABES四边形ABFCS四边形BECF，在ABE中，A60，AB边上的高为AEsin60，则SABEAB
5、AEsin602AE，AE；(3)S2S1.理由如下：ABC与EBF都是等边三角形，ABCB，BEBF，ABCEBF60，CBFABE60CBE，ABECBF，SABESCBF，SFDBSECDSABC，SFDBSECDSABC，即S2S1；(4)由(3)知S2S1，即SFDBSECD，由SECD得SBDF，ABECBF，AECF，BAEBCF60，又BAEABC60，得ABCBCF，CFAB，则在BDF中，DF边上的高是ACsin60，DF，解得DF，设CEx，则2xCDDFCD，CDx，在ABE中，由CDAB得，即，化简得3x2x20，x1或x(舍)，即CE1，AE3.3如图，在菱形ABC
6、D中，ABC60，若点E在AB的延长线上，EFAD，EFBE，点P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G，连接FB.(1)过D点作DHAB，垂足为点H，若DH2，BEAB，求DG的长；(2)连接CP，求证：CPFP；(3)如图，若点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BEBF，连接DE，点P为DE的中点，连接FP，CP，那么第(2)问的结论成立吗？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由 图 图第3题图(1)解：四边形ABCD为菱形，ABC60，DABC，CDCB，CDGCBA60，DAHABC60，DHAB，DHA90，在RtADH中，sinDAH，AD4，又ABAD，BEA
7、B41，EFAD，PDGPEF，P为DE的中点，PDPE，又DPGEPF，PDGPEF(ASA)，DGEF，又EFBE，DGEF1；(2)证明：如解图，连接CG，CF，第3题解图由(1)知PDGPEF，PGPF，EFAD，ADBC，EFBC，FEBCBA60，EFBE，BEF为等边三角形，BFEFBE，EBF60，DGEF，ABC60，BFDG，CBFABCCDG60，在CDG与CBF中，CDGCBF(SAS)，CGCF，PGPF，CPFP；(3)解：CPFP仍成立如解图，过D作EF的平行线，交FP的延长线于点G，连接CG，CF，第3题解图易证PEFPDG，DGEFBF，DGEF，GDPFEP
8、，DABC，ADPPEC，GDPADPFEPPEC，GDABEF60，CDGADCGDA120，CBF180ABC120，在CDG和CBF中，CDGCBF(SAS)，CGCF，DCGFCB，PGPF，CPPF，GCPFCP，DCB180ABC120，DCGGCE120，FCEGCE120，即GCF120，FCPGCF60，在RtCPF中，tanFCPtan60.4已知点O是ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AEOA，以OB，OC为邻边作OBFC，连接OF，与BC交于点H，再连接EF.(1)如图，若ABC为等边三角形，求证：EFBC；EFBC；(2)如图，若ABC为等腰直角三角形(BC
9、为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请说明理由；(3)如图，若ABC是等腰三角形，且ABACkBC，求EF与BC之间的数量关系 图 图 图第4题图(1)证明：如解图，连接AH，第4题解图四边形OBFC是平行四边形，BHHCBC，OHHF，ABC是等边三角形，ABBC，AHBC，又OAAE，OHHF，AH是OEF的中位线，AHEF，AHEF，EFBC；由得AHBC，AHEF，在RtABH中，AH2AB2BH2，AHBC，BCEF，EFBC；(2)解：EFBC仍然成立，EFBC；【解法提示】如解图，连接AH，第4题解图四边形OBFC是平行四边形，BHHCB
10、C，OHHF，又ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，AHBC，AHBHBC，又OAAE，OHHF，AH是OEF的中位线，AHEF，AHEF，EFBC，EF2AHBC，(1)中的结论EFBC仍成立，但结论不成立，EF 与BC的关系应为EFBC；(3)解：如解图，连接AH，第4题解图四边形OBFC是平行四边形，BHHCBC，OHHF，又ABC是等腰三角形，ABkBC，AHBC，在RtABH中，AH2AB2BH2(kBC)2(BC)2(k2)BC2，AHBC，又OAAE，OHHF，AH是OEF的中位线，AHEF，BCEF，EF BC.5如图，在ABC中，ABC45，AHBC于点H，点D在AH上，且
11、DHCH，连接BD.(1)求证：BDAC；(2)将BHD绕点H旋转，得到EHF(点B，D分别与点E，F对应)，连接AE.如图，当点F落在AC上(F不与C重合)时，若BC4，tanC3，求AE的长；如图，EHF是由BHD绕点H逆时针旋转30得到的，设射线CF与AE相交于点G，连接GH.试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由 图 图 图第5题图(1)证明：ABC45，AHBC，ABH是等腰直角三角形，BHAH，在BHD和AHC中，BHDAHC(SAS)，BDAC；(2)解：如解图，过点H作HMAE交AE于点M，第5题解图在RtAHC中，tanC3，3，BHAH3CH，又BC4，BCBH
12、HC4CH4，CH1，BH3，由旋转的性质可以得到，HEBH3，HFDHHC1，EHFAHBAHC90，EHAFHC，EAHCAEH，AMEM，tanEAHtanC3，设AMx，则HMAMtanEAH3x，在RtAHM中，由AH2AM2HM2，得32x2(3x)2，x，AE2AM2x；EF2GH.理由：设AH交CG于点N，如解图，由旋转的性质可得，HEHBHA，HFHDHC，旋转角度为30，FHDBHE30，EHAFHC120，第5题解图FCHGAH30，又ANGHNC，ANGCNH，AGNCHN90，又GNHANC，GNHANC，由(1)可知，BHDAHC.EHFAHC，EFAC，2，EF2
13、GH.6我们定义：如图，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转(0180)得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到AC，连接BC.当180时，我们称ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”特例感知(1)在图，图中，ABC是ABC的“旋补三角形”，AD是ABC的“旋补中线”如图，当ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD_BC；如图，当BAC90，BC8时，则AD长为 _；猜想论证(2)在图中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明；拓展应用(3)如图，在四边形ABCD中，C90，D150，BC12，CD2，DA
14、6.在四边形内部是否存在点P，使PDC是PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由 图 图 图 图第6题图解：(1) ； 4；【解法提示】由旋转可得到ABABACAC， BAC60，BAC120，ABC30，又AD为BC上的中线，ADBC，ADABABBC；由“旋补三角形”定义可得：BAC90，易证ABCABC，BCBC，点D为BC的中点，ADBC4.(2)ADBC.证明：如解图，延长AD至E，使DEAD.第6题解图AD是ABC的“旋补中线”，BDCD.四边形ABEC是平行四边形，ECBA，ECBA，ACEBAC180.由定义可知BACBAC180
15、，BABA，ACAC，ACEBAC，ECBA，ACECAB，AEBC，ADAE，ADBC；(3)存在；证明：如解图，作PE垂直平分BC，且使PECD，连接PA，PB，PC，PD，可得PCPB，DCECEP90，PECD；四边形PECD为矩形；PECD2，PDCEAD6，PDC90；tanPCE，PCEPBE 30，即BPC120，又由ADC150，可得ADP60，PAD为等边三角形，第6题解图PDPA，APD60.BPCDPA12060180，PCD是PAB的“旋补三角形”；取CD的中点M，连接PM，可得DM，PD6.由勾股定理得PM，PAB的“旋补中线”长为.7如图，在ABC中，矩形EFGH
16、的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I，若CI4，HI3，AD，矩形DFGI恰好为正方形(1)求正方形DFGI的边长；(2)如图，延长AB至P，使得ACCP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？第7题图解：(1)四边形EFGH为矩形，HGEF，即，解得CD6，IDCDCI2，即正方形DFGI的边长为2；(2)移动后的矩形与CBP重叠部分的形状是三角形理由如下：如解图，设在移动过程中，当点G刚好落在CP上时，矩形EFGH移动到矩形EFGH，ACPC，CDAB
17、，AP，ADPD，在AEH和PFG中，第7题解图AEHPFG(AAS)，AEPF，ADPD，ADAEPDPF，即DEDF3，HGAB，CHGCAB，即，解得AB，DBABAD3，DBDF，即点F与点B重合，也就是说在移动过程中，当点G刚好落在CP上时，矩形EFGH的F点刚好运动到点B，移动后的矩形与CBP重叠部分的形状是三角形8如图，在ABCD中，DHAB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB6，DH4，BFFA15.(1)如图，作FGAD于点G，交DH于点M，将DGM沿DC方向平移，得到CGM，连接MB.求四边形BHMM的面积；直线EF上有一动点N，求DNM周长的最小值(2
18、)如图，延长CB交EF于点Q，过点Q作QKAB，过CD边上的动点P作PKEF，并与QK交于点K，将PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K恰好落在直线AB上，求线段CP的长 图 图 图 备用图第8题图解：(1)在ABCD中，AB6，直线EF垂直平分CD，EFCD，CDAB，EFBH，又DHAB，四边形EFHD为矩形，DEFH3，又BFFA15，AH2，第8题解图RtAHDRtMHF，即，HM1.5，根据平移的性质，MMCD6，如解图，连接BM，四边形BHMM的面积为(64)1.57.5；如解图，连接CM交直线EF于点N，连接DN，第8题解图直线EF垂直平分CD，CNDN，MH1.5，DM2.5，
19、在RtCDM中，MC2DC2DM2，MC262(2.5)2，解得MC6.5，MNDNMNCNMC，DNM周长的最小值为DMMC9；(2)BFCE，QF2，PKPK6，如解图，过点K作EFEF，分别交CD于点E，交QK于点F，第8题解图当点P在线段CE上时，在RtPKE中，PE2PK2EK2，PE2，RtPEKRtKFQ，即，解得QF，第8题解图PEPEEE2，CP，同理可得，如解图，当点P在线段DE上时，CP，综上所述，CP的长为或.9问题发现(1)如图，在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，AOBCOD40，连接AC，BD交于点M.填空：的值为_；AMB的度数为_类比探究(2)如图，在OA
20、B和OCD中，AOBCOD90，OABOCD30，连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及AMB的度数，并说明理由；拓展延伸(3)在(2)的条件下，将OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M.若OD1，OB，请直接写出当点C与点M重合时AC的长 图 图 备用图第9题图解：(1)1；40；(2)，AMB90；理由如下：AOBCOD90，OABOCD30，CODAODAOBAOD，即AOCBOD，AOCBOD，CAODBO.AOB90，DBOABDBAO90.CAOABDBAO90，AMB90；(3)点C与点M重合时，如解图，同理得：AOCBOD，AMB90，设BDx，则ACx，Rt
21、COD中，OCD30，OD1，CD2，BCx2，RtAOB中，OAB30，OB，AB2OB2，在RtAMB中，由勾股定理得：AC2BC2AB2，(x)2(x2)2(2)2，解得x13，x22(舍去)，AC3；点C与点M重合时，如解图，同理可得：AMB90，设BDx，则ACx，在RtAMB中，由勾股定理得：AC2BC2AB2，(x)2(x2)2(2)2解得x13(舍去)，x22，AC2，综上所述，AC的长为3或2. 图 图第9题解图10如图，已知BAD和BCE均为等腰直角三角形，BADBCE90，点M为DE的中点，过点E作ENAD交AM的延长线于点N.(1)当A，B，C三点在同一条直线上时(如图
22、)，直接写出线段AD与NE的数量关系为_(2)将图中的BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图)，判断ACN是什么特殊三角形并说明理由(3)将图中BCE绕点B旋转到图位置，此时A，B，M三点在同一直线上求证：若AC3，AD1，则四边形ACEN的面积为. 图 图 图第10题图(1)解：ADNE.【解法提示】ENAD，MADMNE，ADMNEM.点M为DE的中点，DMEM.ADMNEM(AAS)ADNE；(2)解：ACN为等腰直角三角形理由如下：BAD和BCE均为等腰直角三角形，ABAD，CBCE，CBECEB45.ADNE，DAENEA180.DAE90，NEA90.NEC135.
23、A，B，E三点在同一条直线上，ABC180CBE135.ABCNEC.ADMNEM，ADNE.ADAB，ABNE，ABCNEC.ACNC，ACBNCE.ACNBCE90.ACN为等腰直角三角形；(3)证明：如解图，连接CM.第10题解图ADNE，M为DE的中点，易得ADMNEM，ADNE.ADAB，ABNE，ADNE，ANNE，在四边形BCEN中，BCEBNE90，NBCNEC360180180，NBCABC180，ABCNEC，ABCNEC.ACNC，ACBNCE.ACNBCE90.ACN为等腰直角三角形，由(1)可知，AMDNME，AMMN，ADNE1，CMAN，AMCMMN，AC3，AMCMMN3，S四边形ACENSAMCS直角梯形MNEC33(31)3.专心-专注-专业