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1、精选优质文档-倾情为你奉上多项式函数的图形与多项式不等式主题一多项式函数的图形多项式函数的图形：(1)一次函数 f（x）axb 的图形是一条直线。(2)二次函数 f（x）ax2bxc 的图形是一条拋物线。(3)三次或三次以上函数的图形可以用描点法画出大略的图形。(4)多项式函数 f（x）anxnan1xn1a1xa0 的图形，若 an0，则图形的最右方会上升到无限大；若 an0，则图形的最右方会下降到负无限大。多项式函数的图形是一条连续不间断的曲线。例题1由多项式函数图形求方程式与不等式的解下图是函数 f（x）x36x211x6（x1）（x2）（x3）的图形，试就 x 讨论 f（x）值的正负号
2、。解观察函数图形可得(1)若 x1 或 2x3，则 f（x）0(2)若 x1，2 或 3，则 f（x）0(3)若 1x2 或 x3，则 f（x）0类题下图是函数 f（x）x3x22xx（x2）（x1）的图形，试就 x 讨论 f（x）值的正负号。解观察函数图形可得(1)若 x2 或 0x1，则 f（x）0(2)若 x2，0 或 1，则 f（x）0(3)若 2x0 或 x1，则 f（x）0主题二一次不等式（配合课本 P.123P.124）1.(1)设 f（x）为多项式，则 f（x）0（或 f（x）0，f（x）0，f（x）0）称为多项式不等式。(2)解多项式不等式的意思是求出使得不等式成立的所有 x
3、 值。2.(1)一次不等式形如 axb0（或 axb0，axb0，axb0）。(2)解一次不等式只要移项即可，但要注意同乘或同除一个负数时，不等号要改变方向。例题2解一元一次不等式配合课本 P.124 随堂练习(1)试解不等式 4x52x7。(2)設不等式 ax33x1 之解為 x2，試求 a 之值。解(1)4x52x7移项得 4x2x75 2x12 x6(2)ax33x1 （a3）x4（）因 x2 2x4与（）式比较 a32 a1类题(1)试解不等式x13。(2)設不等式 3x2ax4 之解為 x3，試求 a 之值。解(1)x13同乘 3 得3x3x9移项得3xx93 4x12 x3(2)3
4、x2ax4 （3a）x6（）因 x3 2x6与（）式比较 3a2 a1主题三二次不等式（配合课本 P.124P.126）1.二次不等式形如 ax2bxc0（或，），其中 a0。2.利用图形解二次不等式：(1)依判别式 b24ac 的正负，可得图形及相对应的函数值正负号如下表所示：b24ac0b24ac0b24ac0a0a0(2)解不等式时，可先由判别式 b24ac 得知概略的图形，然后依照题目的条件来选择相对应的正确范围。通常会调整让最高次方的系数为正，较容易思考。3.分析每个因式的正负号解二次不等式：(1)观察每个因式的正负变化，依正负号改变的点，分段讨论。(2)此法较适用于解高次不等式。例
5、题3b24ac0 的情形配合课本例题 2解下列二次不等式：(1)x23x100。(2) 2x25x120。解(1)原不等式分解为（x5）（x2）0在数在线标出5，2 两点（不等式没有等号，表不含此两点，以空心表示）将数线分成区间（，5），（5，2）及（2，）画出概略图形，标上正负号，表示如右得解为 x2 或 x5(2)将原不等式2x25x120 改写成 2x25x120 分解为（2x3）（x4）0在数在线标出 ，4 两点（不等式有等号，表包含此两点，以实心表示）将数线分成区间（，4），及画出概略图形，标上正负号，表示如右得解为4x类题解下列二次不等式：(1)x27x120。(2) 2x2x30
6、。解(1)原不等式分解为（x3）（x4）0在数在线标出 3，4 两点（不等式没有等号，表不含此两点，以空心表示）将数线分成区间（，3），（3，4）及（4，）画出概略图形，标上正负号，表示如右得解为 3x4(2)将原不等式改写成 2x2x30，不等式分解为（2x3）（x1）0在数在线标出 ，1 两点（不等式有等号，表包含此两点，以实心表示）将数线分成区间（，1），及画出概略图形，标上正负号，表示如右，得解为1x例题4b24ac0 的情形配合课本例题 2解下列二次不等式：(1)x26x90。(2) 9x26x10。解(1)如图（一），不等式配方得（x3）20对任意实数 x，（x3）20故此不等式的
7、解为所有实数(2)将原不等式改写成 9x26x10如图（二），不等式配方得（3x1）20但对任意实数 x，（3x1）20故所有实数都不是此不等式的解即此不等式没有实数解图（一）图（二）类题解下列二次不等式：(1)4x24x10。(2)16x224x90。解(1)如图（一），不等式配方得（2x1）20对实数 x，（2x1）20 不满足此不等式故不等式的解是 x(2)如图（二），不等式先移项（或乘上1）得 16x224x90配方得（4x3）20对实数 x，（4x3）20 皆满足不等式故不等式的解是 xR，但 x图（一）图（二）例题5b24ac0 的情形配合课本例题 2解下列二次不等式：(1)x22
8、x20。(2)4x24x5。解(1)如图（一），由判别式 b24ac（2）241240且 x2 项的系数为 10，表示 x22x20 恒成立故此不等式的解为所有实数(2)如图（二），将不等式改写成 4x24x50由判别式 b24ac42445640且 x2 项的系数为 40，表示 4x24x50 恒成立故此不等式没有实数解图（一）图（二）类题解下列二次不等式：(1)x26x100。(2) 9x26x40解(1)如图（一），由判别式 b24ac（6）2411040且 x2 项的系数为 10，表示 x26x100 恒成立故此不等式没有实数解(2)如图（二），将不等式改写成 9x26x40由判别式
9、b24ac（6）24941080且 x2 项的系数为 90，表示 9x26x40 恒成立故此不等式的解为所有实数图（一）图（二）例题6解二次不等式（一）设 a，b 为实数，且二次不等式2x2axb0 的解是1x，试求 a，b 的值。注意先由1x 反推二次不等式 f（x）0，再利用 f（x）0 与2x2axb0 同义，求得 a，b 之值解以1x 为解的二次不等式为 k（x1）0，其中 k0即 2kx2kx3k0又给定的二次不等式可改写为 2x2axb0因 2kx2kx3k0 与 2x2axb0 同义，即系数成比例比较之下，得到 因此，a1，b3类题设 a，b 为实数，且二次不等式6x2axb0
10、的解是 x，试求 a，b 的值。解以 x 为解的二次不等式为 k0，其中 k0即 6kx25kxk0又给定的二次不等式可改写为 6x2axb0因 6kx25kxk0 与 6x2axb0 同义，即系数成比例比较之下，得到 ，因此，a5，b1例题7解二次不等式（二）设 a，b 为实数，且二次不等式x2axb0 的解为 x1 或 x2，试求 a，b 的值。解以 x1 或 x2 为解的二次不等式为 k（x1）（x2）0，其中 k0即 kx2kx2k0，k0又给定的二次不等式可改写为 x2axb0因 kx2kx2k0 与 x2axb0 同义，即系数成比例比较之下，得到 ，因此，a1，b2类题设 a，b
11、为实数，且二次不等式 ax23xb0 的解为 x2 或 x5，试求 a，b 的值。解以 x2 或 x5 为解的二次不等式为 k（x2）（x5）0，其中 k0展开得 kx23kx10k0又给定的二次不等式可改写为ax23xb0因 kx23kx10k0 与ax23xb0 同义，即系数成比例比较之下，得到 ，因此，a1，b10主题四高次不等式（配合课本 P.126P.128）解题原则：(1)先使多项式的首项系数为正。(2)再将多项式分解成实系数一次或二次的因式乘积。(3)将多项式方程式的实根标示在数在线。(4)画出概略函数图形。(5)依函数图形，讨论不等式的解。例题8解高次不等式配合课本例题 3解下
12、列不等式：(1)（x1）（x2）（x2x1）0。(2)（x1）（x2）2（x3）30。解(1)因 x2x10 恒成立，原不等式可转化为（x1）（x2）0令f（x）（x1）（x2）由右图可得原不等式的解为 x2 或 x1(2)令 f（x）（x1）（x2）2（x3）3由右图可得原不等式的解为 1x3类题解下列不等式：(1)（x2）（x3）（x2x3）0。(2)（x1）2（x2）（x3）0。解(1)因 x2x30 恒成立，原不等式可转化为（x2）（x3）0令 f（x）（x2）（x3）由右可得原不等式的解为 3x2(2)令 f（x）（x1）2（x2）（x3）由右图可得原不等式的解为 x3 或2x1 或
13、 x1例题9虚根成对应用于解高次不等式配合课本例题 4已知多项式方程式 f（x）x45x33x219x300 有一虚根 2i，试解 f（x）0。解因为实系数多项式方程式 f（x）0 有一虚根 2i，根据虚根成对定理，所以 2i 也是 f（x）0 的一根故 f（x）可被x（2i）x（2i）x24x5 整除利用长除法计算，可得f（x）x45x33x219x30（x24x5）（x2x6）再次分解 f（x）得f（x）（x24x5）（x3）（x2）因为 x24x5 的二次项系数 1 为正数，且判别式 b24ac（4）241540所以对任意实数 x，x24x50故 f（x）（x24x5）（x3）（x2）0
14、 的解为2x3类题设实系数多项式 f（x）x43x35x2axb，且 f（12i）0，试求：(1)a，b 的值。(2)f（x）0 的解。解(1)因 f（12i）0 且 f（x）是实系数多项式，根据虚根成对定理，得 f（12i）0即 f（x）可被x（12i）x（12i）x22x5 整除利用长除法计算如下：得 a54 且 b10解得 a1，b10(2)由(1)可得 f（x）（x22x5）（x2x2）（x22x5）（x2）（x1）因为二次函数 x22x5 的二次项系数 1 为正数，且判别式为（2）2415160所以对任意实数 x，x22x50得 f（x）0 的解与（x2）（x1）0 的解相同即 x2
15、 或 x1主题五简易分式不等式（配合课本 P.128P.131）解分式多项式不等式的原则：若 f（x），g（x）为多项式（g（x）0），则：1.0 的解与 f（x）g（x）0 的解相同。2.0 的解与 f（x）g（x）0 的解相同。3.0 的解与f（x）g（x）0 且 g（x）0的解相同。4.0 的解与f（x）g（x）0 且 g（x）0的解相同。5.不等式a，a 为常数，则先将不等式移项通分，再以上述方法求不等式的解。a a0 0故利用（f（x）ag（x）g（x）0 求不等式的解即可。例题10解分式不等式配合课本例题 5解下列不等式：(1)0。(2) 0。(3) 1。解(1)0 与 （x2）（
16、x1）0 的解相同由右图可得，不等式 （x2）（x1）0 的解为 x2 或 x1故不等式 0 的解为 x2 或 x1(2)0 与（x1）（x3）（x2）0，但 x20 的解相同由右图可知（x1）（x2）（x3）0，x2 的解为x1 或 2x3故不等式 0 的解为 x1 或 2x3(3)1 10 0 0原式与（x5）（x1）（x2）（x3）0 的解相同由右图可知（x5）（x1）（x2）（x3）0 的解为1x2 或 3x5故不等式 1 的解为 1x2 或 3x5类题解下列不等式：(1)0。(2) 0。(3) 1。解(1)0 与 x（x1）0 的解相同由右图可得，不等式 x（x1）0 的解为 0x1
17、故不等式 0 的解为 0x1(2)0 与（2x1）（x3）（x2）0，但（x3）（x2）0 的解相同由右图可得不等式（2x1）（x3）（x2）0，x3，2 的解为 x3 或 2x故不等式 0 的解为 x3 或 2x(3)1 10 0 0原式与 x（x1）（x3）（x2）0 的解相同由右图可得不等式 x（x1）（x3）（x2）0 的解为2x1 或 0x3故不等式 1 的解为2x1 或 0x3例题11不等式的应用配合课本例题 6设钝角三角形的三边长为 x2，x3，x4，试求 x 的范围。注意设三角形的三边长为 a、b、c 且 abc，则钝角三角形须满足 a2b2c2。解(1)边长为正数：x20，x
18、30，x40 x2(2)两小边之和大于最大边：（x2）（x3）（x4） 2x5x4 x1(3)两小边平方之和小于最大边平方：（x2）2（x3）2（x4）2（x24x4）（x26x9）x28x16 x22x30 （x3）（x1）0 3x1综合(1)、(2)、(3)，x 的范围为1x1类题直角三角形的两股长为 x 与 x5，若面积介于 7 与 18 之间，试求 x 的范围。解依题意，7 x（x5）18 14x25x36(1)14x25x x25x140（x7）（x2）0 x2 或 x7(2)x25x36 x25x360（x9）（x4）0 9x4(3)边长为正数：x0，x50 x0综合(1)、(2)
19、、(3)，x 的范围为 2x4例题12统整应用配合课本例题 7若函数 yx2kx3 之图形恒在直线 yx1 上方，试求 k 的范围。解依题意，在相同的 x 值时，x2kx3x1 x2（k1）x40 对所有的实数 x 恒成立 函数 yx2（k1）x4 的图形如右图所示 判别式 b24ac0即（k1）24140 k22k150 （k5）（k3）0 3k5类题若对所有的实数 x，不等式 x22mx（2m3）0 均成立，试求 m 的范围。解因 x22mx（2m3）0 恒成立表示函数 yx22mx（2m3）的图形会是右图两者之一综合(1)、(2)，b24ac0即（2m）241（2m3）0 4m28m12
20、0 m22m30（m3）（m1）0 1m3 (1) b24ac0(2) b24ac0重要性：段考实力演练一、基础题1.设 yf（x）为四次多项式函数，且 yf（x）的函数图形如下，试求：(1)方程式 f（x）0 的 4 个根为何？(2)不等式 f（x）0 的解为何？(3)不等式 f（x）0 的解为何？答：(1) 4，2，2，5；(2) 4x2 或 2x5；(3) x4 或2x2 或 x52.已知 ax2x3 的解為 x1，試求實數 a 之值。答：43.二次函数 yax2bxc，a，b，c 为实数，则 a0，b24ac0 的图形为哪一个？(A)(B)(C)(D)(E)答：(C)4.试解下列不等式
21、：(1) x25x6。(2) 43xx20。(3) x24x40。(4) x2x10。答：(1) x1 或 x6；(2) 1x4；(3) 所有实数；(4) 无解5.设 a，b 为实数且二次不等式 ax26xb0 的解是6x3，试求 a，b 的值。答：a2，b366.设 a，b 为实数且二次不等式x2axb0 的解为 x1 或 x9，试求 a，b 的值。答：a10，b97.试解下列不等式：(1)（x1）（x2）2（x2）0。(2)（x1）3（x3）4（x5）50。答：(1) x2 或 x1，但 x2；(2) 1x5 但 x38.试解不等式（x1）2（x2）（x22x3）0。答：x29.设 a，b
22、 为实数，f（x）2x5x4x321x2axb，又 f（x）0 有两根为 12i 与1，则不等式 f（x）0 之解为何？答：2x1 或 x10.不等式 0 的整数解共有多少个？(A) 5 个(B) 6 个(C) 7 个(D) 8 个(E) 9 个答：(B)11.试解下列不等式：(1) x。(2) 1。答：(1) x1 或 2x3；(2)x2，但 x112.二次函数 yx2axa1 的图形恒在直线 yx2 上方，则实数 a 的范围为何？答：1a313.设 a 为实数，且二次不等式 x2（a2）x（a2）0 无实数解，试求 a 的范围。答：2a6二、进阶题14.下图为实系数三次多项式函数 f（x）
23、ax3bx2cxd 的图形。若 yf（x）之图形与 x 轴相交于（1，0），（2，0），（4，0）三点，则下列哪些选项是正确的？(A) a0(B) b0(C) cd0(D)不等式 f（x）0 之解为1x2 或 x4答：(B)(C)(D)15.设 f（x）为实系数四次多项式，若 f（i2）0，且 f（x）0 的解为 x3 或 x，则下列叙述哪些是正确的？(A) f（i2）0(B)若 a，b 為任意實數，且 f（abi）1，則 f（abi）1(C) yf（x）之图形与 x 轴没有交点(D) f（3x）0 之解为1x答：(B)(D)16.设 m 为实数，若二次函数 ymx26x（m9） 的图形恒在 y2x3 的下方，试求 m 的范围。答：m817.设三角形的三边长分别为 13、17、21，若每边均减少 x 后，三角形变成钝角三角形，试求 x 的范围。答：1x9历届试题抢先看试问不等式（x24x2）（2x5）（2x37）0 有多少个整数解？17 个先求出不等式的解，再从端点去估计近似值，即可确定整数解的个数。专心-专注-专业