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1、精选优质文档-倾情为你奉上第4章 电力网络的数学模型现在，我们还有发电机和负荷的模型没有介绍。如果暂时将发电机模型看成电压源与阻抗串联的支路，而负荷看成为接地阻抗，那么我们就可以对整个系统进行计算了。今天，我们将进入电力网络的数学模型的学习。学习的内容大部分是我们已经学过的，小部分新知识将主要用于电力系统的计算机计算，也是之后潮流计算的基础。节点导纳矩阵节点阻抗矩阵电力网络模型形成意义修改求解形成意义我们主要对图4-1所示内容进行讲解。图4-1 第4章结构图专心-专注-专业4-1节点导纳矩阵将节点电压法应用于电力系统分析计算。电力网络的运行状态可用节点方程或回路方程来描述。节点方程以母线电压作
2、为待求量，母线电压能唯一地确定网络的运行状态。知道了母线电压，很容易算出母线功率、支路功率和电流。无论是潮流计算还是短路计算，节点方程的求解结果都极便于应用。下面将首先介绍节点方程。一 节点电压方程复习以系统中某一指定电压作为参考节点O。将节点i和j的电压表示为和，将它们之间的支路导纳表示为yij，则在此支路中从节点i流向j的电流为 yij ijkl (4-1) 图4-2 节点电压法根据基尔霍夫电流定律，注入节点i的电流等于离开节点i的电流之和，因此 (4-2)式中n为不包含参考点的网络节点数；下标0为参考点，V0=0。上式可以拆开为 (4-3)如令，-yij=Yij (4-4)则上式可以改写
3、为 (4-5)二 节点导纳矩阵1234在图4-2所示的简单电力系统中，若略去变压器的励磁功率和线路电容，负荷用阻抗表示，便可得到一个有5个节点(包含零电位点)和7条支路的等值网络如图4-3。进一步等效，得到等值网络如图4-4。图4-2 简单电力系统系统图以零电位点作为计算节点电压的参考点，根据节点电压方程，可以写出如下方程：3421y10y12y24y23y34y20y40+-+-图4-3 等效变换131y10y12y23y34y20y404y2420图4-4 等效变换2 (4-6)式中，。一般，对于有n个独立节点的网络，可以列写n个节点方程 (4-7)也可以用矩阵写成 (4-8)或缩记为YV
4、=I (4-9)矩阵Y称为节点导纳矩阵。它的对角线元素Yii称为节点i的自导纳，其值等于接于节点i的所有支路导纳之和。非对角线元素Yij称为节点i、j间的互导纳，它等于直接联接于节点i、j间支路导纳的负值。若节点i、j间不存在直接支路，则有Yij=0。三 节点导纳矩阵元素的物理意义如图4-5，当在节点i上加一单位值电压，而其它节点均接地，即 (4-10)代入节点电压方程，有： (4-11)yij ijklyik yil yi0 图4-5 节点导纳矩阵元素的物理意义可见，此时注入节点i的电流值即为自导纳的值。也就是说，自导纳是节点i以外所有节点都接地时，单位值电压作用下流入节点i的电流值。显然，
5、Yii应等于与节点i相接的各支路导纳之和。 (4-12)其中，yi0为节点i与零电位点之间的支路导纳；yij为节点i与节点j之间的支路导纳。同样，节点j的注入电流值为： (4-13)因为Ij为从节点j流入i的电流，所以支路导纳yij为负值。 显然，Yik=Yki。若节点k、i之间没有支路直接相联时，便有Yik=0。可见，节点导纳矩阵是稀疏矩阵。节点导纳矩阵的主要特点是：1) 导纳矩阵直观，编程简单；2) 稀疏矩阵，节省储存单元，提高计算速度。四 节点导纳矩阵的修改在电力系统的运行分析中，往往要计算不同接线方式下的运行状态。这些方式通常只是对局部区域或个别元件作一些变换，例如投入或切除一条线路或
6、一台变压器。由于改变一条支路的状态或参数只影响该支路两端节点的自导纳和它们之间的互导纳，因而对每一种运行方式不必重新形成导纳矩阵，只需对原有导纳矩阵作相应修改。现在就几种典型的接线变化，说明修改增量的计算方法。ikyik1 从网络的原有节点i引出一条导纳为yik的支路，同时增加一个节点k。如图4-6所示。图4-6 节点导纳矩阵的修改情况1由于节点数增加一个，导纳矩阵将增加一行一列。新增的对角线元素Ykk=yik。新增的非对角线元素中，只有Yik=Yki=-yik，其余的元素都为零。矩阵的原有部分，只有节点i的自导纳应增加Yii=yik。2 在网络的原有节点i、j之间增加一条导纳为yij的支路。
7、如图4-7所示。ijyij图4-7节点导纳矩阵的修改情况2由于只增加支路不增加节点，故导纳矩阵的阶次不变。因而只要对与节点i、j有关的元素分别增添以下的修改增量即可Yii=Yjj=yij，Yij=Yji=-yij (4-14)其余的元素都不必修改。3 在网络的原有节点i、j之间切除一条导纳为yij的支路。如图4-8所示。这种情况可以当作在节点i、j之间增加一条导纳为-yij的支路来处理，因此，导纳矩阵中有关元素的修正增量为Yii=Yjj=-yij，Yij=Yji=yij (4-15)ij-yij图4-8节点导纳矩阵的修改情况3五 支路间存在互感时的节点导纳矩阵在必须考虑支路之间的互感时，常用的
8、方法是采用一种消去互感的等值电路来代替原来的互感线路组，然后就像无互感的网络一样计算节点导纳矩阵的元素。zpqzrszmpqrs现在用两条互感支路为例来说明这种处理方法。如图4-9所示，假定两条支路分别接于节点p、q之间和节点r、s之间，支路的自阻抗分别为zpq和zrs，支路间的互感阻抗为zm，并以小黑点表示互感的同名端。这两条支路的电压方程可用矩阵表示如下：图4-9 互感支路示意图 (4-16)或者写成 (4-17)上式中的导纳矩阵是阻抗矩阵的逆，其元素为，将导纳矩阵展开，并作适当改写，可得 (4-18)因此可以得到消去互感后的等值电路如图4-10所示。这是一个有4个顶点6条支路的完全网形电
9、路。原有的两条支路其导纳值分别变为ypq和yrs(注意：ypq1/zpq，yrs1/zrs)。在原两支路的同名端点之间增加了导纳为-ym的新支路，异名端点之间则增加了导纳为ym的新支路。利用这个等值电路，就可以按照无互感的情况计算节点导纳矩阵的有关元素。pqrsypqyrsymym-ym-ym图4-10 互感支路等效电路对于有更多互感支路的情况也可以用同样的方法处理。在实际的电力系统中，互感线路常有一端接于同一条母线。若pq支路和rs支路的节点p和r接于同一条母线，则在消互感等值电路中，将节点p和r接在一起即可，所得的三端点等值电路如图4-11所示。p,rqsypq+ ym-ymyrs+ ym
10、图4-11 三端点互感支路等值电路六 用高斯消去法求解网络方程在电力系统分析中，网络方程常采用高斯消去法求解。对于导纳型的节点方程，高斯消去法还具有十分明确的物理意义。现在用按列消元的算法求解方程组，方程式的第二个式子减去第一个式子的倍，完成第一次消元后可得 其中，。可以证明，以上方程的第2n式恰好是消去节点1后的网络节点方程。对于n阶的网络方程，作完n-1次消元后方程组的系数矩阵将变为上三角矩阵，即 (4-20)其中，矩阵Y(n-1)的元素表达式为(4-21)公式右端各项具有十分明确的物理意义。当ij时，Yij表示网络在原始状态下节点i和节点j之间的互导纳；而在符号下的第k项则代表通过第k次
11、消元(即消去k号节点的星网变换)，在节点i、j间出现的新支路的导纳。当j=i时，Yii是网络在原始状态下节点i的自导纳；而在符号下的第k项，则表示通过第k次消元从节点i拆去支路的导纳同节点i新接入支路的导纳之差。新的方程式变为Y(n-1)V=I(n-1) (4-22)与原方程同解。回代过程可按行进行，逐次求得全解。4-2节点阻抗矩阵按上节所述，节点导纳矩阵的最大优点是容易根据网络接线和各支路参数，直接写出矩阵的各元素。同时导纳矩阵的稀疏性很大，可以大量节省计算机的内存容量。如果已知各节点的电压，运用节点导纳矩阵只要进行一次矩阵乘法运算，即可求得各节点的注入电流。但是在电力系统的实际运行中，节点
12、电压往往是未知的待求量，如果已知节点电流，用节点导纳矩阵求解节点电压时要进行求解方程组的运算。电力系统计算中有时也用节点阻抗矩阵进行计算。一 节点阻抗矩阵由节点导纳矩阵YV=I (4-23)可得ZI=V (4-24)式中，是n阶方阵，称为网络的节点阻抗矩阵。上式展开后写成 (4-25)或者写成 (4-26)节点阻抗矩阵的对角线元素Zii称为节点i的自阻抗或输入阻抗，非对角线元素Zij称为节点i和节点j之间的互阻抗。二 节点阻抗矩阵元素的物理意义现在讨论自阻抗和互阻抗的物理意义。当在节点i上注入一单位值电流，而其它节点均开路，即 (4-27)代入节点阻抗矩阵，有 ijkl (4-28)图4-12
13、 节点阻抗矩阵元素的物理意义由此可见，此时加在节点i上的电压值即为自阻抗Zii的值，而节点j上的电压值即为节点i和节点j之间的互阻抗Zij。一般情况下，此时其它节点上测得的电压都将小于节点i的电压，即ZijZii。另外，在一个网络内各节点之间总是有一定的电和磁的联系。这样在节点i注入单位电流时，其它任一节点j上总有电压出现。也就是说，在一般情况下互阻抗Zij并不等于零，因而阻抗矩阵是一个满矩阵，这是一个很重要的特点。依次在各个节点单独注入电流，计算出网络中的电压分布，从而可求得阻抗矩阵的全部元素。由此可见，节点阻抗矩阵元素的计算是相当复杂的，不可能从网络的接线图和支路参数直观地求出。目前常用的
14、求取阻抗矩阵的方法主要有两种：一种是以上述物理概念为基础的支路追加法；另一种是从节点导纳矩阵求取逆阵。三 支路追加法支路追加法是根据系统的接线图，从某一个与地相连的支路开始，逐步增加支路，扩大阻抗矩阵的阶次，最后形成整个系统的节点阻抗矩阵。现以图4-13的网络为例，按每次增加一条支路的顺序依次求出相应的节点矩阵：形成一阶阻抗矩阵，阻抗矩阵增为二阶的；修改二阶阻抗矩阵，阻抗矩阵扩大为三阶的；修改三阶阻抗矩阵，阻抗矩阵扩大为四阶的，修改四阶矩阵，再一次修改四阶矩阵。这样便得到了整个网络的节点阻抗矩阵。在支路追加过程中，阻抗矩阵元素的计算和修正始终是以自阻抗和互阻抗的定义作依据的。12340z12z
15、10z40z20z24z23z3410z10120z12z10120z12z10z200123z12z10z20z2312340z12z10z20z24z23z2412340z12z10z20z23z3412340z12z10z40z20z24z23z34图4-13 支路追加法追加步骤在实际计算中，第一条支路必须是接地支路，以后每次追加的支路必须至少有一个端点同已出现的节点相接。只要遵循这样的条件，支路追加的顺序可以是任意的。但是每一条支路的追加必属于下述两种情况之一：一种是新增支路引出一个新节点，这种情况称为追加树支；另一种是在已有的两个节点间增加新支路，这种情况称为追加连支。追加树支时节点
16、数增加一个，阻抗矩阵便相应地扩大一阶。追加连支时网络的节点数不变，阻抗矩阵阶次不变。该方法的特点是：矩阵形成的规律性很强，易于理解和记忆，且编程方便。下面以图4-14的具有3个独立节点的网络为例进行说明。已知节点的电压、电流关系为 (4-29)1302图4-14 3独立节点网络(1) 追加接地树支(0,4)由于网络增加了一个节点4(如图4-15)，所以原网络矩阵增加一阶，但由于新增节点4与原网络的3个节点无电气直接联系，所以原来3个方程不受影响，只是新增了一个方程，其中z是新增支路的阻抗。这样，节点方程修改为式(4-30)。130204z 图4-15 支路追加法步骤1 (4-30)(2) 追加
17、树支(2,4)由于网络增加了一个节点4(如图4-16)，所以原网络矩阵增加一阶，设从节点4的注入电流为，从原网络看进去，节点2的注入电流变为，而其它节点注入电流不变，且新增了一个方程：，所以节点方程修改为：(4-31)写成矩阵形式为13024z 图4-16 支路追加法步骤2 (4-32)可见，追加树支时，矩阵增加一阶，新增的行、列元素分别等于树支所接的原网络节点2所对应的行、列元素，新对角元素等于树支所接的节点2的对角元素加上新增支路的阻抗值。(3) 追加接地连支(0,2)由于追加接地连支，网络的节点数没有变化，故矩阵的阶次不变。对原网络来说，节点2的注入电流变为。其它节点注入电流不变，则各节
18、点电压方程变为： (4-33)1302z 图4-17 支路追加法步骤3写成矩阵形式为 (4-34)可见，矩阵可暂时增加一阶，原矩阵元素不变，新行、列元素分别等于该追加连支的非零点所对应的行、列元素的负值；新对角元素等于该点的自阻抗加上连支阻抗z。形成了暂时增加一阶的节点阻抗矩阵以后，用高斯消去法消去矩阵的暂增行与列。(4) 追加连支(2,3)由于追加接地连支，故矩阵的阶次不变。与采用追加接地连支同样的处理方法，矩阵可暂时增加一阶。设连支电流为，由节点3流向节点2。从原网络看进去，节点2的注入电流变为，节点3的注入电流变为。则节点电压方程可修改变为：1302z 图4-18支路追加法步骤4(4-3
19、5)可见，追加连支后，原矩阵的元素不变，暂时增加的行、列元素分别等于该追加连支的两个节点所对应的行元素之差和列元素之差；新增对角元素等于这两个节点的自阻抗之和减去相互间的互阻抗之和再加上该连支阻抗。形成了暂时增加一阶的节点阻抗矩阵以后，用高斯消去法消去矩阵的暂增行与列即得到追加连支的节点阻抗矩阵。四 追加变压器支路用追加支路法形成节点阻抗矩阵时，对于变压器支路，若变压器变比等于1,则与一般支路的处理方法相同；若变压器变比不等于1，如果采用变压器的II形等值电路当成3条支路进行追加，显然增加了运算量，因此变压器一般用一个等值阻抗同一个理想变压器相串联的支路来表示。在追加变压器支路时，也可以区分为
20、追加树支和追加连支两种情况。因为变压器支路不会是接地支路，所以不考虑接地情况。(1) 追加变压器树支 如下图，追加变压器树支(2,4)1:k13024z 图4-19追加变压器树支网络增加了一个节点4，设其注入电流为，从原网络看，节点2的注入电流为，所以有(4-36)写成矩阵形式为 (4-37)可见，追加变压器树支和追加普通树支支路相似，只是在新增行、列的非对角线元素分别乘变比k，新对角元素乘以变比k2。(2) 追加变压器连支下图中，追加变压器连支(2,3)。设由节点3流入理想变压器的电流为，则由变压器支路流入节点2的电流为，从原网络看，节点2的注入电流变为，节点3的注入电流变为，则：1302z
21、 1:k 图4-20追加变压器连支 (4-38)经过整理后，可以得到(4-39)五 导纳矩阵求逆法节点导纳矩阵同节点阻抗矩阵互为逆矩阵，即YZ=I (4-40)展开为(4-41)将阻抗矩阵和单位矩阵都按列进行分块，并记： (4-41) (4-42)Zj是由阻抗矩阵的第j列元素组成的列向量，ej是第j个元素为1，其余所有元素为零的单位列向量。这样，就可将方程组分为n组方程组，其形式为YZj=ej (j=1,2,n) (4-43)方程组具有明确的物理意义：若把ej当作节点注入电流的列向量，Zj就是节点电压的列向量，当只有节点j注入单位电流，其余节点的电流都等于零时，网络各节点的电压在数值上就同阻抗矩阵的第j列的对应元素相等。导纳矩阵很容易形成，因此，在电力系统计算中常采用对导纳矩阵求逆的方法来得到阻抗矩阵。通常使用三角分解法。