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1、班级： 10 级 2 班姓名：黄取美学号： 201015010232 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 一中小学数学中常见的数学思想方法1. 特殊与一般的数学思想：对于在一般情况下难以求解的问题，可运用特殊化思想， 通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解。常见情形为：用字母表示数；特殊值的应用；特殊图形的应用；用特殊化方法探求结论；用一般规律解题等。2. 整体的数学思想：所谓整体思想，
2、就是当我们遇到问题时， 不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。用整体思想解题时，是把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理，一定要善于把握求值或求解的问题的内在结构、 数与形之间的内在结构， 要敏锐地洞察问题的本质，有时也不要放弃直觉的作用， 把注意力和着眼点放在问题的整体上。常见的情形为：整体代入；整式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形； 整体改造与合并； 整体构造与操作等。3. 分类讨论的数学思想：也称分情况讨论， 当一个数学问题在一定
3、的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解， 最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。分类讨论是根据问题的不同情况分类求解，它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 法。运用分类讨论思想解题的关键是如何正确的进行分类，即确定分类的标准。分类讨论的原则是：（1）完全性原则，就是说分类后各子类别涵盖的范围之和
4、， 应当是原被分对象所涵盖的范围，即分类不能遗漏；（2）互斥性原则，就是说分类后各子类别涵盖的范围之间，彼此互相独立，不应重叠或部分重叠，即分类不能重复；（3）统一性原则，就是说在同一次分类中， 只能按所确定的一个标准进行分类，即分类标准统一。 分类的方法是：明确讨论的对象， 确定对象的全体，确立分类标准，正确进行分类，逐步进行讨论，获取阶段性结果，归纳小结，综合得出结论。常见的情形为：由字母系数引起的讨论；由绝对值引起的讨论；由点、线的运动变化引起的讨论；由图形引起的讨论；由边、点的不确定引起的讨论；存在特殊情形而引起的讨论；应用问题中的分类讨论等。4. 转化的数学思想：将未知解法或难以解决
5、的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程， 选择恰当的方法进行变换， 化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题。 解题的过程实际就是转化的过程。常见的情形为：高次转化为低次、多元转化为一元、式子转化为方程、次元转化为主元、正面转化为反面、分散转化为集中、未知转化为已知、动转化为静、部分转化为整体、还有一般与特殊、数与形、相等与不等之间的相互转化。5. 数形结合的数学思想：数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页
6、- - - - - - - - - - 结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。数、式能反映图形的准确性，图形能增强数、式的直观性，“数形结合”可以调动和促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。数形结合是研究数学问题的有效途径和重要策略，它体现了数学的和谐美、统一美。华罗庚先生曾用“数缺形时少直觉，形少数时难入微”作高度的概括。常见的情形为：利用数轴、函数的图象和性质、几何模型、方程与不等式以及数式特征可以将代数问题转化为集合问题；利用代数计算、 几何图形特征可以将几何问题转化为代数问题；利用三角知识解决几何问题；利用统计图表让
7、统计数据更形象更直观等。6. 函数与方程的思想：函数的思想就是利用运动与变化的观点、集合与对应的思想， 去分析和研究数学中的等量关系，建立和构造函数关系， 再运用函数的图象和性质去分析问题， 达到转化问题的目的， 从而使问题获得解决。方程的思想就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型方程或方程组，通过解方程或方程组， 或者运用方程的性质去分析、 转化问题使问题获得解决。 函数与方程的思想实际是就是一种模型化的思想。 常见的情形为： 数字问题、面积问题、几何问题方程化；应用函数思想解方程问题、不等问题、几何问题、实际问题；利用方程作判断；构建方程模型探求实际问题；应用函
8、数设计方案和探求面积等。7、对应的思想精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。 如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。8、假设的思想假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决
9、的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。9、比较的思想比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中， 教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快找到方法。10、符号化的思想用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数， 以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。11、类比的思想类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、
10、 长方形的面积公式、 平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 水推舟般自然和简洁。12、集合的思想集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段， 利用图形和实物渗透集合思想。 在讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法。13、统计的思想小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数应
11、用题是体现出数据处理的思想方法。14、极限的思想事物是从量变到质变的， 极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。 在讲“圆的面积和周长” 时，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路， 在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。15、代换的思想它是方程解法的重要原理， 解题时可将某个条件用别的条件进行代换。如学校买了 4 张桌子和 9 把椅子，共用去 504 元，一张桌子和3 把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？16、可逆的思想它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题思路
12、的方法，有时可以借线段图逆推。 如一精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的1/7 ，第二小时比第一小时多行了 16 千米，还有 94 千米，求甲乙之距。17、变中抓不变的思想在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口，往往问了就迎刃而解。如：科技书和文艺书共630 本，其中科技书20% ，后来又买来一些科技书，这时科技书占30% ，又买来科技书多少本？二. 几种中小学数学思想方法在解
13、题中的应用1、化归思想在数学解题中的应用（1）化抽象问题为直观问题。数学的特点之一是它具有很强的抽象性，这是每个乡学好数学的人必须面对的问题。从小学到初中，再到高中，数学问题的抽象性不断加强，学生的抽象思维能力在不断接受挑战。如果能把比较抽象的问题转化为操作或直观的问题，那么不但使得问题日益解决，经过不断地抽象直观抽象的训练，学生的抽象思维能力也会逐步提高。下面举例说明。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 案例1：= 分析：此问题通
14、过观察，可以发现一个规律：没一项都是它前面一项的。但是对于小学和初中的学生来说，还没有学习等比数列求和公式。如果把一条线段看作1，先取它的一半表示，再取余下的一半表示，这样不断地取下去，最终相当于取了整条线段。因此，上式的结果等于 1，这样利用直观手段解决了高中生才能解决的问题。（2）化实际问题为特殊的数学问题。数学来源于生活， 应用于生活。与小学有关的生活中的实际问题，多数可以用常规的小学知识解决；但有些生活中的实际问题表面上看是一些常用的数量， 似乎能用常规的数学模型解决问题。但真正深入分析数量关系时，可能由于条件比全面而无法建立模型。这时，就需要超越常规思维模式， 从另外的角度进行分析，
15、 找到解决问题的方法。下面举例说明。案例4：某旅行团队翻越一座山。上午9时上山，每小时行 3千米，到达山顶时，休息 1小时。下山时，每小时行4千米，下午 4时到达山底。全程共行了 20千米。上山和下山的路程各是多少千米？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 分析：由于只知道上山和下山的速度，不知道上山和下山的具体时间，因此无法直接求出上山和下山的路程，但是知道总路程。仔细观察可以发现： 题中给出了两个未知数量的总和以及与这两个数量有关
16、的一些特定的数量， 如果用假设的方法， 那么就类似于鸡兔同笼问题。假设都是上山，那么总路程是18（63）千米，比实际路程少算了2千米，所以下山时间是 22（4-3） 小时，上山时间是 4小时。上山和下山的路程分别是12千米和8千米。案例5：李阿姨买了 2千克苹果和 3千克香蕉用了 11元，王阿姨买了同样价格的 1千克苹果和 2千克香蕉，用了 6.5 元。每千克苹果和香蕉各多少钱？分析：此题初看是关于单价、总价和数量的问题，但是，由于题中没有告诉苹果和香蕉各自的总价是多少，无法直接计算各自的单价。认真观察，可以发现：题中分两次给出了不同数量的苹果和香蕉的总价，虽然题中有苹果和香蕉各自的单价这两个
17、未知数，但这二者没有直接的关系，如果用方程解决，也超出了一元一次方程的范围。那么这样的问题在小学的知识范围内如何解决呢？利用二元一次方程组加减消元的思想， 可以解决这类问题； 具体来说就是把两组数量中的一个数量化成相等的关系，再想减，得到一个一元一次方程。不必列式推导，直接分析便可：1千克苹果和 2千克香蕉 6.5元，那么可得出2千克苹果和 4千克香蕉 13元；题中已知 2千克苹果和 3千克香蕉 11元。用13减去11的2，所以香蕉的单价是每千克 2元。再通过计算得苹果的单价是每千克 2.5元。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -
18、- - - - - - - - -第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - - （3）化未知问题为已知问题。对于学生而言，学习的过程是一个不断面对新知识的过程，有些新知识通过某些载体直接呈现，如面积和面积单位， 通过一些物体或图形直接引入概念； 而有些新知识可以利用已有知识同伙探索，把新知识转化为旧知识进行学习，通过割补平移， 把平行四边形转化为已知长方形求面积。这种化为知为已知的策略， 在数学学习中非常常见。下面举例说明。案例6：水果商店昨天销售的苹果比香蕉的2倍多30千克，这两种水果一共销售了 180千克。销售香蕉多少千克？分析：学生在学习列式方程解决问题时学习了最基本
19、的有关两个数量的一种模型：已知两个数量的倍数关系以及这两个数量的和或差，求这两个数量分别是多少。题中的苹果和香蕉的关系，不是简单的倍数关系； 而是在倍数的基础上增加了一个条件，即苹果比香蕉的2倍还多 30千克。假如把 180减去30得150，那么题目可以转化为：“如果水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，那么这两种水果一共销售了150千克。销售香蕉多少千克？”这时就可以列方程解决了，设未知数时要注意设水位X，题目中求的是哪个量。这个案例能给我们什么启示呢？教师在教学中要学生学习什么？学生既要学习知识，又要学习方法。 学生不仅要学会类型套类型的解题模式，更重要的是理解和掌握最基本的数学模型的基础上
20、，形成迁移类推或举一反三的能力。教师在上面最基本的模型基础上，可以引导学生深入思考一下几个问题：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 水果商店昨天销售的苹果必香蕉的2倍少30千克，这两种一共销售了180千克。销售苹果多少千克？水果商店昨天销售的香蕉比苹果的多30千克，这两种水果一共销售了180千克。销售苹果多少千克？水果商店昨天销售的香蕉比苹果的少30千克，这两种水果一共销售了120千克。销售苹果多少千克？水果商店昨天销售的苹果是香
21、蕉的2倍。销售的梨是香蕉的 3倍。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 这三种水果一共销售了 180千克。销售香蕉多少千克？水果商店昨天销售的苹果是香蕉的2倍，销售的梨是苹果的 2倍。这三种水果一共销售了 120千克。销售香蕉多少千克？从以上几个问题的步数来说，可能已经超越了教材基本的难度标准。但笔者今年来一直有一个理念： “高标准教学，标准化考试” 。教师们可以在课堂上大胆探索这样的问题经过引导和启发，学生到底能否解决？学生是否能
22、在数学思想方法和教学思维能力上得到更好的发展？是否贯彻了课程标准提倡的“不同的人在教学上得到不同的发展”的理念？（4）化一般问题为特殊问题。数学中的规律一般具有普遍性，但是对于小学生而言，普遍的规律往往比较抽象， 较难理解和应用。 如果举一些特殊的例子运用不完全归纳法加以猜测验证， 也是可行的解决问题的策略。 下面举例说明。案例7：任意一个大于 4的自然数，拆成两个自然数之和，怎样拆分 使这两个自然数的乘积最大？分析：此问题如果运用一般的方法进行推理，可以设这个大于4的自然数为 N。如果 N为偶数，可设 N=2K(K为任意大于 2的自然数 )；那么 N=K+K=(K-1)+(K+1)=(K-2
23、)+(K+2) , 因为 K2K2-1K2-4, 所以 KK(K-1) (K+1)(K-2) (K+2), 所以把这个偶数拆分成两个相等的数的和，他们的积最大。如果 N 为奇数，可设N=2K+1(K为任意大于 1的自然数 ) ；那么精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - - N=K+(K+1)=(K-1)+(K+2)=(K-2)+(K+3)=, 因为 K2+KK2+K-2K2+K-6, 所以 K(K+1)(K-1) (K+2)(K-2)
24、(K+3), 所以把这个奇数拆分成两个相差1的数的和，它们的积最大。2. 统计思想在数学解题中的应用案例1：一家公司 2008年和2009年职工年工资情况如下表。职务总经理副总经理部门经理部门副经理普通员工人数1 2 8 10 79 2008年工资 / 万元8 7 5 4 2 2009年工资 / 万元10 8.5 6 4.8 2.3 （1）这家公司 2008年和2009年职工平均工资各是多少？（2）这家公司对外宣称， 2009年职工平均工资比 2008年增长17%以上，这种说法有不妥之处吗？分析： （1）2008年和2009年职工平均工资分别为：（8+27+85+104+792）100=2.6
25、（万元）（10+28.5+86+104.8+792.3 ）=3.047（万元）（2） （3.047-2.6 ）2.6 17.2%， （2.3-2 ）2=15% 。从全体职工平均工资角度看， 2009年比上年增长确实超过了17% 。但是代表公司大多数的普通员工的平均工资低于平均数，增长率也低于平均增长率，普通员工与高级管理人员的收入差距在逐年扩大。案例2：日本和中国 2009年国内生产总值 （GDP ） 大约分别是 50458、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 17 页 - -
26、- - - - - - - - 49285亿美元，分别排名世界第二和第三。如果中国人口总数按13.4亿计算，日本人口总数大约是中国的9.5%。在参加统计的 183个经济体中，人均 GDP 日本排名 17位，中国排在 101位，排在第 92位的人均GDP 为4059美元。比较中国和日本GDP 的总量及人均GDP ，并结合中位数分析，你能发现哪些信息？分析：从 GDP总量上来说，中国已经排名世界第三，而且与排名第二位的日本非常接近， 可以发现中国是世界经济大国。但是从平均数的角度看，日本人均GDP 为39731美元，中国为 3678美元，中国远落后于日本， 而其低于中位数 4059美元，说明我们的
27、人均 GDP 处于中下水平。与中等水平相差大约10% 。案例3：有关部门对一个社区的100个居民月度人均用水量进行了调查统计，数据如下表：用水量/吨2 3 4 5 6 人数/ 人8 24 40 22 6 （1）计算这组数据的平均数、中位数和众数。（2）什么数可以代表居民人均用水量的一般水平？（3） 如果采取阶梯水价， 标准用水量以上加价收费， 希望至少 70%的居民不受影响，你认为人均标准用水量定为多少比较合适？分析：（1）平均数： （28+324+440+522+66）100=3.94（吨）中位数和众数都是 4吨。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢
28、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - - （2）中位数和众数相等，平均数也约等于中位数和众数，这三个量差别很小，都可以作为该组数据一般水平的代表。（3）10070%=70 ，用水量在4吨及以下的人数为 72人，所以人均标准用水量定为 4吨比较合适。3. 集合思想在数学解题中的应用案例1：乒乓球比赛有 16人参加 A组的小组赛，规定采取淘汰赛决出小组第一名参加决赛。一共要进行多少场比赛？分析：淘汰赛一般的规则是每两个人分为一组比赛一场，胜者进入下一轮继续进行两人一组比赛；如果出现单数就有一人轮空，直接进入下一轮比赛
29、。这样一直进行下去，直到决出第一名。按照这个思路解答，只需要把每一轮比赛的场数算出来，最后加起来就行。第一轮共有 8场比赛，第二轮共有 4场比赛，第三轮共有 2场比赛，第四轮共有1场比赛；所以总共有 15（8+4+2+1=15 ）场比赛。以上思路层次清楚、容易理解，小学生一般都可以接受，但是如果参加小组比赛的人比较多，计算起来就比较麻烦。 下面用一一对应的思想来分析：因为每次比赛淘汰一个人， 有一场比赛就淘汰一个人，没有比赛就不淘汰人， 要想淘汰一个人就必须有一场比赛，也就是说比赛的场数与被淘汰的人数是一一对应的。在小组参赛的 16人中，最后只有一人得第一名，要淘汰15人，所以比赛的场数为 1
30、5场。案例2：六（1）班举办文艺活动，演出歌舞节目的有9人，演出小品等节目的有 12人，两类节目都参加的有5人。该班共有多少人参加这两类节目的演出？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 分析：为了便于理解集合的运算原理，我们借助韦恩图来分析。左边的圈里表示演出歌舞节目的人，右边圈里表示演出小品等节目的人。两个圈相交的共有的部分有5人，表示这 5人既参加了歌舞节目，又参加了小品等节目的演出。 左边圈中没跟另一个圈相交的单独的部分由4人
31、，表示这 4人只参加了歌舞节目的演出。因此，参加歌舞节目演出的 9人由两部分组成： 一部分是只参加歌舞节目演出的4人，另一部分是既参加歌舞节目又参加小品等节目演出的5人。同样道理，参加小品等节目演出的 12人由两部分组成： 一部分是只参加小品等节目演出的 7人，另一部分是既参加小品等节目又参加歌舞节目演出的5人。综合以上分析，可以得出：该班参加这两类节目演出的人数是4+5+7=16 ，或9+125=16。4. 极限思想在数学解题中的应用案例：把循环小数 0.999 化成分数。分析： 0.999是一个循环小数，也就是说，它的小数部分的位数有限多个。 对于小学生来说， 能够接受的方法就是数形结合思
32、想和精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 极限思想的共同应用和渗透， 通过构造一个直观地几何图形来描述极限思想。先看下面的数列0.9 ，0.09，0.009，用数形结合的思想，把这个数列用线段构造如下：把一条长度是1的线段，先平均分成 10份，取其中的 9份；然后把剩下的 1份再平均分成10份，取其中的 9份所有取走的线段的长度是0.9+0.09+0.009+ =0.999如此无限的取下去，剩下的线段长度趋向于0，取走的长度趋向于1，根据极限思想，可得 0.999 =1。对于教师而言，光有极限思想的渗透是不够的，还需要进一步理解如何用极限方法来解决。 这是一个无穷比递缩数列的求和问题，根据公式可得0.9+0.09+0.009+ =0.9(1 0.1) 1 所以0.999 =1。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - - -