圆锥曲线难题集锦(共75题)(共40页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上圆锥曲线难题集锦徐荣先汇编1. 如图所示， 分别为椭圆 ：（）的左、右两个焦点， 为两个顶点，已知椭圆 上的点 到 ， 两点的距离之和为 （1）求椭圆 的方程；（2）过椭圆 的焦点 作 的平行线交椭圆于 ， 两点，求 的面积2. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，过左焦点且倾斜角为 的直线被椭圆截得的弦长为 （1）求椭圆 的方程；（2）若动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，过点 作 的垂线，垂足为 ，求点 的轨迹方程3. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上（1）求 的方程；（2）直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 证明：直线 的斜率与直线

2、的斜率的乘积为定值4. 已知 的顶点 ， 在椭圆 上，点 在直线 ： 上，且 （1）当 边通过坐标原点 时，求 的长及 的面积；（2）当 ，且斜边 的长最大时，求 所在直线的方程5. 已知椭圆 的中心为坐标原点 ，一个长轴顶点为 ，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于异于椭圆顶点的两点 ，且 （1）求椭圆的方程；（2）求 的取值范围6. 已知抛物线 的焦点为 ， 是抛物线上横坐标为 ，且位于 轴上方的点， 到抛物线准线的距离等于 ，过 作 垂直于 轴，垂足为 ， 的中点为 （1）求抛物线的方程；（2）若过 作 ，垂足为 ，求点 的坐标7. 已知圆 过

3、定点 ，且与直线 相切，圆心 的轨迹为 ，曲线 与直线 相交于 ， 两点（1）求曲线 的方程；（2）当 的面积等于 时，求 的值8. 已知直线 与椭圆 相交于 两个不同的点，记 与 轴的交点为 （1）若 ，且 ，求实数 的值；（2）若 ，求 面积的最大值，及此时椭圆的方程9. 如图，设抛物线 （）的焦点为 ，抛物线上的点 到 轴的距离等于 （1）求 的值；（2）若直线 交抛物线于另一点 ，过 与 轴平行的直线和过 与 垂直的直线交于点 ， 与 轴交于点 求 的横坐标的取值范围10. 已知点 在椭圆 上，且点 到两焦点的距离之和为 （1）求椭圆 的方程；（2）若斜率为 的直线 与椭圆 交于 ，

4、两点，以 为底作等腰三角形，顶点为 ，求 的面积11. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 （1）求椭圆 的方程；（2）若 ， 是椭圆 上的两个动点，且使 的角平分线总垂直于 轴，试判断直线 的斜率是否为定值?若是，求出该值；若不是，说明理由12. 已知椭圆 ： 的离心率为 其右顶点与上顶点的距离为 ，过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点（1）求椭圆 的方程；（2）设 是 中点，且 点的坐标为 当 时，求直线 的方程13. 设 ， 分别是椭圆 的左，右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直直线 与 的另一个交点为 （1）若直线 的斜率为 ，求 的离心率；（2）若直线 在 轴上的截距为 ，且 ，求 ，1

5、4. 在平面直角坐标系 中，点 ，直线 与动直线 的交点为 ，线段 的中垂线与动直线 的交点为 （1）求点 的轨迹 的方程；（2）过动点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，求证： 的大小为定值15. 已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 （1）求该双曲线 的方程；（2）若直线 ： 与双曲线 左支有两个不同的交点 ，求 的取值范围16. 己知椭圆 与抛物线 共焦点 ，抛物线上的点 到 轴的距离等于 ，且椭圆与抛物线的交点 满足 （1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点 作抛物线的切线 交椭圆于 ， 两点，设线段 的中点为 ，求 的取值范围17. 已知右焦点为 的椭圆 ：

6、关于直线 对称的图形过坐标原点（1）求椭圆 的方程；（2）过点 且不垂直于 轴的直线与椭圆 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称原点为 ，证明：直线 与 轴的交点为 18. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点是原点，以 轴为对称轴，且经过点 （1）求抛物线 的方程；（2）设点 ， 在抛物线 上，直线 ， 分别与 轴交于点 ，求直线 的斜率19. 已知抛物线 与直线 相切（1）求该抛物线的方程；（2）在 轴正半轴上，是否存在某个确定的点 ，过该点的动直线 与抛物线 交于 ， 两点，使得 为定值如果存在，求出点 坐标；如果不存在，请说明理由20. 左、右焦点分别为 ， 的椭圆 经过点 ， 为椭圆上

7、一点， 的重心为 ，内心为 ，（1）求椭圆 的方程；（2） 为直线 上一点，过点 作椭圆 的两条切线 ， 为切点，问直线 是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由21. 已知抛物线 ， 为其焦点，过点 的直线 交抛物线于 ， 两点，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，如图所示（1）求点 的轨迹 的方程；（2）直线 是抛物线的不与 轴重合的切线，切点为 ， 与直线 交于点 ，求证：以线段 为直径的圆过点 22. 已知椭圆 ，其短轴为 ，离心率为 （1）求椭圆 的方程；（2）设椭圆 的右焦点为 ，过点 作斜率不为 的直线交椭圆 于 ， 两点，设直线 和 的斜率为 ，试判断 是否

8、为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由23. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，准线交 轴于点 ，过 作直线 交抛物线于 ， 两点，且 （1）求直线 的斜率；（2）若 的面积为 ，求抛物线的方程24. 过双曲线 的右支上的一点 作一直线 与两渐近线交于 ， 两点，其中 是 的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当 坐标为 时，求直线 的方程；（3）求证： 是一个定值25. 如图，线段 经过 轴正半轴上一定点 ，端点 ， 到 轴的距离之积为 ，以 轴为对称轴，过 ， 三点作抛物线 （1）求抛物线 的标准方程；（2）已知点 为抛物线 上的点，过 作倾斜角互补的两直线 ，分

9、别交抛物线 于 ，求证：直线 的斜率为定值，并求出这个定值26. 如图，已知椭圆 的左右顶点分别是 ，离心率为 设点 ，连接 交椭圆于点 ，坐标原点是 （1）证明：；（2）若三角形 的面积不大于四边形 的面积，求 的最小值27. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 ， 两点， 为线段 的中点， 为坐标原点， 的延长线与直线 分别交于 ， 两点（1）求动点 的轨迹方程；（2）连接 ，求 与 的面积比28. 已知抛物线 过点 过点 作直线 与抛物线 交于不同的两点 ，过点 作 轴的垂线分别与直线 ， 交于点 ，其中 为原点（1）求抛物线 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证： 为线

10、段 的中点29. 如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，两准线之间的距离为 点 在椭圆 上，且位于第一象限，过点 作直线 的垂线 ，过点 作直线 的垂线 （1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线 ， 的交点 在椭圆 上，求点 的坐标30. 如图： 中，曲线 过 点，动点 在 上运动，且保持 的值不变（1）建立适当的坐标系，求曲线 的标准方程；（2）过 点且倾斜角为 的直线 交曲线 于 ， 两点，求 的长度31. 已知椭圆 的焦点在 轴上，中心在坐标原点；抛物线 的焦点在 轴上，顶点在坐标原点在 ， 上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求 ， 的标准方程；（2）

11、已知定点 ， 为抛物线 上一动点，过点 作抛物线 的切线交椭圆 于 ， 两点，求 面积的最大值32. 已知点 为椭圆 ： 的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线 与椭圆 有且仅有一个交点 （1）求椭圆 的方程；（2）设直线 与 轴交于 ，过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，若 ，求实数 的取值范围33. 已知点为双曲线为正常数）上任一点，为双曲线的右焦点，过作右准线的垂线，垂足为A，连接并延长交轴于点（1）求线段的中点P的轨迹E的方程； yxOAPP1P2F1F2（2）设轨迹E与轴交于B，D两点，在E上任取一点Q直线QB，QD分别交于轴于M，N两点求证：以MN为直径的圆

12、过两定点34. 如图，已知圆G：是椭圆=1的内接的内切圆，其中A为椭圆的左顶点（1）求圆G的半径r；（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切yxOCBFGAME35. 设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点（1）过点作直线的垂线，垂足为，试求的垂心所在的曲线方程；yxABMPNx=mO（2）求证：三点共线36. 作斜率为的直线与椭圆交于两点（如图所示），且在直线的左上方.（1）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求的面积. 37. 如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.（1）求，的方程；（2）设与轴的焦点为M，

13、过坐标原点O的直线与相交于点A,B，直线MA,MB分别与相交与.证明：；记,的面积分别是，.问：是否存在直线,使得？请说明理由.38. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于、两点，点关于轴的对称点为 .（1）证明：点在直线上；（2）设，求的内切圆的方程 .39. 是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右顶点，直线的斜率之积为.（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线的右焦点且斜率为的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值.40.已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率.（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点的直线：与过点（其中）的直线：的交点E在

14、双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求OGH的面积Ol2yGMNExl141.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值 42.如图，椭圆C：(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分()求椭圆C的方程；() 求ABP的面积取最大时直线l的方程43.设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且

15、满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线（）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 44.45. 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且OPQ的面积=,其中O为坐标原点.（）证明和均为定值;（）设线段PQ的中点为M，求的最大值；（）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由. 46.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为M

16、N，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.（I）设，求与的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由47. 平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.()求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系；()当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的，对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得F1NF2的面积，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.48.已知一条曲线C在y轴右边，每一点到点

17、F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.()求曲线C的方程；（）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。49.在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。50 以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。（1） 求椭圆的离心率； （2） 求直线AB的斜率； （3） 设点C与点A关于坐标

18、原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值 51.设分别是直线和上的两个动点，并且，动点满足，记动点的轨迹为。（1）求曲线的方程；（2）若点的坐标为，是曲线上的两个动点，并且，求实数的取值范围；（3）是曲线上的任意两点，并且直线不与轴垂直，线段的中垂线交轴于点，求的取值范围。52.如图，已知椭圆：的离心率为，、为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，、为椭圆上异于、的两点，且直线的斜率等于直线斜率的2倍（）求证：直线与直线的斜率乘积为定值；（）求三角形的面积的最大值53.已知椭圆E：（ab0）的离心率e，左、右焦点分别为F1、F2，点P（2,），点F2在线段PF1的中垂线上 （1）求椭圆E

19、的方程； （2）设l1，l2是过点G（，0）且互相垂直的两条直线，l1交E于A， B两点，l2交E于C，D两点，求l1的斜率k的取值范围； （3）在（2）的条件下，设AB，CD的中点分别为M，N，试问直线MN是否恒过定点?若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由。54.已知圆E：x2+（y）2=经过椭圆C：+=1（ab0）的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且=（0）（1）求椭圆C的方程；（2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程55.已知：一动圆过且与圆A:相切。（1）证明动圆圆心P的轨迹是双曲线，并求其方

20、程；（2）过点B作直线交双曲线右支于、两点，是否存在的值，使得 成为以为直角的等腰三角形，若存在则求出的值，若不存在则说明理由。56.已知椭圆C的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点，PF1F2的周长为4+2，直线l：y=kx+m（k0）与椭圆C相交于A，B两点（）求椭圆C的标准方程；（）若直线l与圆x2+y2=1相切，过椭圆C的右焦点F2作垂直于x轴的直线，与椭圆相交于M，N两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）求四边形MANB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程；（）若|AB|=2，试判断直线l与圆x2+y2=1的位置关系57.如图已知椭圆的离心率为，直线过

21、椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线上的射影依次为D，K，E。（1）求椭圆C的方程；（2）试探索当变化时，直线AE是否经过一定点N？若是求出N的坐标并给予证明；否则说明理由。（3）设梯形ABED的面积为的面积为，求最小值。58.已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.（1）求圆C的方程；（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（3）在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.59.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一

22、个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（I）求椭圆C的方程；（）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足APQ=BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由60.如图，直线与抛物线（常数）相交于不同的两点、，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的切线的切点为（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）（1）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；（2）求的面积，证明的面积与、无关，只与有关；（3）小张所在的兴趣小

23、组完成上面两个小题后，小张连、，再作与、平行的切线，切点分别为、，小张马上写出了、的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由61.如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E。（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；（2）（理）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。（文）若为x轴上一点,求证:62.已知圆定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。（1）求曲线E的方程

24、；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足的取值范围。APQFOxy63.设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且 求椭圆C的离心率；若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l： 相切，求椭圆C的方程. 64.设椭圆的离心率为e= （1）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程. （2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，而且OQ1OQ265.已知曲线上任意一点P到两个定点F1(-，0)和

25、F2(，0)的距离之和为4（1）求曲线的方程；（2）设过(0，-2)的直线与曲线交于C、D两点，且为坐标原点），求直线的方程66.已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B过F、B、C作P，其中圆心P的坐标为（m，n）（）当mn0时，求椭圆离心率的范围；（）直线AB与P能否相切？证明你的结论67.有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B.（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求ABM的面积68.已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1）

26、，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切（）求m的值与椭圆E的方程；（）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围69.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点与点的距离为。 （1）求椭圆的方程； （2）是否存在斜率的直线：，使直线与椭圆相交于不同的两点满足，若存在，求直线的倾斜角；若不存在，说明理由。70.椭圆方程为的一个顶点为，离心率。 （1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆相交于不同的两点满足，求。71.已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为(1) 若椭圆的离心率，求的方程；（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程72.已

27、知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点（）若，求证：曲线是一个圆；（）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围73.设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程74.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为为常数）. （I）求抛物线方程； （II）斜率为的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足，求证线段PM的中点在y轴上； （III）在（II）的条件下，当时，若P的坐标为（1，1），求PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围. 75.已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且 设点P的轨迹方程为c。 （1）求点P的轨迹方程C； （2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q坐标为求QMN的面积S的最大值。专心-专注-专业