2017全国一卷理科数学高考真题答案(共15页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。x1已知集合 A= x| x1000 的最小偶数 n,那么在 和 两个空白框中, 可以分别填入AA1 000 和 n=n+1 BA1 000 和 n=n+2 CA 1 000 和 n=n+1 DA 1 000 和 n=n+29已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin (2 x+2) ,则下面结论正确的是3A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得6

2、到曲线 C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,12得到曲线 C2C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得6到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,12得到曲线 C2210已知 F为抛物线 C:y =4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l 1,l 2,直线 l 1 与 C交于 A、B两点,直线 l 2 与 C交于 D、E两点,则 | AB|+| DE| 的最小值为A16 B14 C12 D10x y z11设

3、xyz 为正数,且 2 3 5,则A2x3y5z B5z2x3y C3y5z2x D3y2x100且该数列的前N项和为 2 的整数幂。那么该款软件的激活码是A440 B330 C 220 D110二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13已知向量 a, b 的夹角为 60, | a|=2 ,| b|=1 ,则| a +2 b |= .x 2y 114设x,y 满足约束条件 2x y 1,则z 3x 2y 的最小值为 .x y 015已知双曲线 C:2 2x y2 2 1(a0,b0)的右顶点为 A,以 A为圆心, b 为半径做圆 A,圆 A与双曲线a bC的一条渐近线交于

4、M、N两点。若 MAN=60,则C的离心率为 _。16如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O。D、E、F 为圆 O上的点, DBC, ECA, FAB分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分别以BC,CA, AB为折痕折起 DBC, ECA, FAB,使得 D、E、F 重合,得到三棱锥。当 ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位: cm 3)的最大值为 _。三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一

5、)必考题:共 60 分。17(12 分) ABC的角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 ABC的面积为2a3sinA(1)求 sin Bsin C;(2)若 6cosBcos C=1,a=3,求 ABC的周长.18. ( 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD中, AB/CD,且 BAP CDP 90 .(1)证明:平面 PAB平面 PAD;(2)若 PA=PD=AB=DC, APD 90 ,求二面角 A- PB-C的余弦值 .19(12 分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量其尺寸(单位: cm)根据长期生产经验,可以认为这条

6、生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2N( , ) (1)假设生产状态正常,记 X表示一天抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件数,求 P( X 1)及 X 的数学期望;(2)一天抽检零件中,如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查()试说明上述监控生产过程方法的合理性;()下面是检验员在一天抽取的 16 个零件的尺寸:9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10

7、.05 9.95经计算得16 16 161 1 12 2 2 2x x ,9.97 s x x x x ,其中 xi 为抽取( ) ( 16 ) 0.212ii i1616 16i 1i 1 i 1的第 i 个零件的尺寸, i 1, 2, ,16 用样本平均数 x 作为 的估计值 ?,用样本标准差 s作为 的估计值 ?,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除 ( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的数据, 用剩下的数据估计 和 (精确到 0.01 )附:若随机变量 Z 服从正态分布 N( , 2 ) ,则 P( 3 Z 3 ) 0.997 4 ,160.997 4 0.959 2 ,

8、 0.008 0.0920. (12 分)已知椭圆 C:2 2x y2 2 =1(ab0),四点 P1(1,1 ),P2(0,1 ),P3(1,a b32),P4(1,32)中恰有三点在椭圆 C上.(1)求 C的方程;(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C相交于 A,B两点。若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为 1,证明: l过定点 .21. (12 分)已知函数 (f x) ae 2x+( a2) e2x+( a2) exx.(1)讨论 f (x) 的单调性;(2)若 f (x) 有两个零点,求 a 的取值围 .(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如

9、果多做,则按所做的第一题计分。22 选修44:坐标系与参数方程 (10 分)在直角坐标系 xOy中,曲线C的参数方程为xy3cos ,sin ,( 为参数),直线l 的参数方程为x a 4t , (t为参数). y 1 t,(1)若 a=- 1,求 C与 l 的交点坐标;(2)若 C上的点到 l 的距离的最大值为 17 ,求 a.23 选修4 5:不等式选讲 (10 分)已知函数 f ( x)= x 2+ax+4,g( x)=x+1+ x 1.( 1)当 a=1 时,求不等式 f ( x) g(x)的解集;( 2)若不等式 f (x) g(x)的解集包含 1,1 ,求 a 的取值围.2017

10、年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。19. A 2B 3B 4C 5D 6C7B 8D 9D 10A 11D 12A二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13 2 3 14-5 152 3316315cm三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共 60 分。17(12 分) ABC的角 A,B,C的对边分别为 a,b

11、,c,已知 ABC的面积为2a3sinA(1)求 sin Bsin C;(2)若 6cosBcos C=1,a=3,求 ABC的周长 .解:(1)由题意可得21 aS bc sin AABC2 3sinA,化简可得2 22a 3bc sin A ,根据正弦定理化简可得:2 2 22sin A 3sin B sinCsin A sin B sinC 。3(2)由2sin B sinCcos B cosC1 23cos A cos A B sin B sinC cos B cosC A1 2 36,因此可得B C ,3将之代入2sin B sinC 中可得:33 12sin C sin C sin

12、 C cos C sin C 0 ,3 2 2化简可得3tan C C ,B ,3 6 6利用正弦定理可得 sin 3 1 3ab Bsin A 2 32,同理可得 c 3,故而三角形的周长为 3 2 3 。20. (12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD中,AB/CD,且 BAP CDP 90 .(1)证明:平面 PAB平面 PAD;(2)若 PA=PD=AB=DC, APD 90 ,求二面角 A- PB-C的余弦值 .(1)证明:AB / /CD , CD PD AB PD ,又 AB PA, PA PD P , PA、PD都在平面 PAD,故而可得 AB PAD 。又 AB在平面 PAB

13、,故而平面 PAB平面 PAD。(2)解:不妨设 PA PD AB CD 2a ,以 AD中点 O为原点, OA为 x 轴,OP为 z 轴建立平面直角坐标系。故而可得各点坐标: P 0,0, 2a , A 2a,0,0 , B 2a,2 a,0 ,C 2a,2 a,0 ,因此可得 PA 2a,0, 2a ,PB 2a,2 a, 2a , PC 2a,2 a, 2a ,假设平面 PAB 的法向量n1 x, y,1 ,平面 PBC 的法向量 n2 m, n,1 ,故而可得n PA 2ax 2a 0 x 11n PB 2ax 2ay 2a 0 y 01,即 n1 1,0,1 ,同理可得n PC 2a

14、m 2an 2a 0 m 02n PB 2am 2an 2a 0 n222,即2n 0, ,1 。22因此法向量的夹角余弦值:1 3cos n ,n 。1 2 332 2很明显,这是一个钝角,故而可得余弦为33。19(12 分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量其尺寸(单位: cm)根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2N( , ) (1)假设生产状态正常,记 X表示一天抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件数,求 P( X 1)及 X 的数学期望;(2)一天抽检零件中,如果

15、出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查()试说明上述监控生产过程方法的合理性;()下面是检验员在一天抽取的 16 个零件的尺寸:9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.27 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16 16 1611 12 2 2 2x x ,9.98 s (x x) ( x 16x ) 0.212,其中 xi 为抽取ii i1616 16i 1i 1 i 1的第 i 个零件的尺寸, i 1, 2

16、, ,16 用样本平均数 x 作为 的估计值 ?,用样本标准差 s作为 的估计值 ?,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除 ( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的数据, 用剩下的数据估计 和 (精确到 0.01 )附:若随机变量 Z 服从正态分布2N ,则 P( 3 Z 3 ) 0.997 4 ,( , )160.998 4 0.959 2 , 0.008 0.09解:(1)16P X 1 1 P X 0 1 0.9974 1 0.9592 0.0408由题意可得, X满足二项分布 X B 16,0.0016 ,因此可得 EX 16,0.0016 16 0.0016 0.0256

17、(2)1 由( 1)可得 P X 1 0.0408 5% ,属于小概率事件,故而如果出现 ( 3 , 3 ) 的零件,需要进行检查。2 由题意可得 9.97, 0.212 3 9.334, 3 10.606,故而在 9.334,10.606 围外存在 9.22 这一个数据,因此需要进行检查。此时:21. 16 9.22x 10.02 ,1515115 i1x x 0.09 。10.28 (12 分)已知椭圆 C:2 2x y2 2 =1(ab0),四点 P1(1,1 ),P2(0,1 ),P3(1,a b32),P4(1,32)中恰有三点在椭圆 C上.(1)求 C的方程;(2)设直线 l 不经

18、过 P2 点且与 C相交于 A,B两点。若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为 1,证明: l过定点 .解:(1)根据椭圆对称性可得, P1(1,1 )P4(1,32)不可能同时在椭圆上,P3(1,32),P4(1,32)一定同时在椭圆上,因此可得椭圆经过 P2(0,1 ),P3(1,32),P4(1,32),代入椭圆方程可得:1 3b 1, 1 a 22a 4,故而可得椭圆的标准方程为:2x42 1y 。(2)由题意可得直线 P2A与直线 P2B的斜率一定存在,不妨设直线 P2A为: y kx 1, P2B为: y 1 k x 1.y kx 1联立2x42y 12 24k 1 x 8kx

19、0,假设A x1, y1 , B x2, y2 此时可得:228k 1 4k 8 1 k 1 4 1 kA , ,B ,2 2 2 24k 1 4k 1 4 1 k 1 4 1 k 1,2 21 4 1 k 1 4k此时可求得直线的斜率为:kAB2 24k 1y y4 1 k 12 1x x 8 1 k 8k2 12 24k 14 1 k 1,化简可得kAB11 2k2,此时满足 1k 。 21 当1k 时,AB两点重合,不合题意。22 当1k 时,直线方程为:221 8k 1 4ky x2 2 24k 1 4k 11 2k,即y24k 4k 1 x21 2k,当 x 2时, y 1,因此直线

20、恒过定点 2, 1 。22. (12 分)已知函数 (f x) ae 2x+( a2) e2x+( a2) exx.(1)讨论 f (x) 的单调性;(2)若 f (x) 有两个零点,求 a 的取值围 .解:(1)对函数进行求导可得2x x x xf x 2ae a 2 e 1 ae 1 e 1 。x x1 当 a 0 时, f x ae 1 e 1 0恒成立,故而函数恒递减2 当 a 0 时,x xf x ae 1 e 1 0 x ln1a,故而可得函数在,ln1a上单调递减,在1ln ,a上单调递增。(2)函数有两个零点,故而可得 a 0,此时函数有极小值1 1f ln ln a 1,a

21、a要使得函数有两个零点,亦即极小值小于 0,故而可得1ln a 1 0 a 0a,令1g a ln a 1a,对函数进行求导即可得到a 1g a 02a,故而函数恒递增,又g 1 0,1g a ln a 1 0 a 1a,因此可得函数有两个零点的围为 a 0,1 。(二)选考题:共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22 选修44:坐标系与参数方程 (10 分)在直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为xy3cos ,sin ,( 为参数),直线 l 的参数方程为x a 4t , (t为参数). y 1 t,(1)若 a=- 1,求 C与 l 的

22、交点坐标;(2)若 C上的点到 l 的距离的最大值为 17 ,求 a.解:将曲线 C 的参数方程化为直角方程为2x92 1y ,直线化为直角方程为 1 1y x 1 a 4 4(1)当 a 1时,代入可得直线为1 3y x ,联立曲线方程可得:4 4 1 3y x 4 42 2x 9y 9,解得xy21252425或xy30,故而交点为21 24 ,25 25或 3,0(2)点xy3cos ,sin ,到直线1 1y x 1 a的距离为4 43cos 4sin a 4d 17 ,17即: 3cos 4sin a 4 17,化简可得 17 a 4 3cos 4sin 17 a 4 ,根据辅助角公

23、式可得 13 a 5sin 21 a ,又 5 5sin 5 ,解得 a 8 或者 a 16 。23 选修4 5:不等式选讲 (10 分)2已知函数 f ( x)= x +ax+4,g( x)=x+1+ x 1.( 1)当 a=1 时,求不等式 f ( x) g(x)的解集;( 2)若不等式 f (x) g(x)的解集包含 1,1 ,求 a 的取值围.解:2x x 1将函数 g x x 1 x 1 化简可得 g x 2 1 x 12x x 1(1) 当 a 1时,作出函数图像可得 f x g x 的围在 F 和 G点中间,联立y 2x2y x x4可得点17 1G , 17 1 ,因此可得解集为21,17 12。(2) 即 f x g x 在 1,1 恒成立,故而可得2 4 2 2 2x ax x ax 恒成立,根据图像可得:函数 y ax 必须在l1,l2 之间,故而可得 1 a 1 。

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