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1、精选优质文档-倾情为你奉上必修 11.1.1集合的含义与表示（一）引入课题 今天我们学习高中数学的第一章集合与函数，初中我们就学习过函数，高中我们将在集合的背景下重新学习函数，所以我们从今天开始先学习集合，（板书）下面请咱班的全体同学把课本翻到第二页，在这里，咱班的全体同学就构成了一个集合。小学和初中我们已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，不等式解的集合，平面内到一条线段两个端点距离相等的点的集合。那么集合的含义是什么呢？阅读课本P2-5内容，附加（9）我国的小河流；（10）全班成绩好的学生其中（1）-（8）都是把一些确定的元素组成的总体叫集合，而（9），（10）其研究对象含糊不清，不明确
2、，不能作为一个集合二、新课教学1，集合的有关概念一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。 比如说咱们班全体同学构成了一个集合，其元素是每一位同学。 同学们举例-2，关于集合的元素的特征教室内帅气的男生能否构成一个集合？确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。今天上了哪些课程？今天数学是联排课，数学用不用说两遍？互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。咱班的同学按照姓氏笔画排列一遍，再按照年龄大小排列一遍，是不是同一个集合
3、？无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。练习：判定是否是集合？（1） 方程x*2-2x+1=0的解集（2）鲁迅，上海说明：其中前两个性质作为集合的判定定理3，元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：aA（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：aA会不会有第三种关系，即不确定属于不属于？（确定性）例如，我们A表示“120以内的所有质数”组成的集合，则有3A，4A，等等。4集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C表示；集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,表示。5常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；（自然英文首字母）正
4、整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；（zheng）有理数集，记作Q；（QQ交朋友）实数集，记作R；（真实的英文首字母）区分有理数，无理数：有理数：整数，分数，小数，无限循环小数无理数：无限不循环小数，典型代表，e6,我们可以用自然语言来描述一个集合，比如说“四大洋”，这个集合有几个元素？元素个数比较少，我们可以一一列举出来，这就是集合的表示方法之一，列举法，再比如2，4，6，7这四个数构成的集合，用自然语言描述不好描述，用列举法就很简单，下面我们看看列举法的一般的书写格式列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，
5、5y3-x，x2+y2，；例1（课本例1）用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；（3）由1到20以内的所有质数组成的集合；（4）方程组的解组成的集合说明：1集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。2各个元素之间要用逗号隔开；3元素不能重复； 4集合中的元素可以数，点，代数式等；5对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号， 象自然数集用列举法表示为6，实数集，R也是错误的，这里的 已包含“所有”的意思。思考：你能用列举法表示不等式x-73的解集吗？无法用列举法（元素个
6、数无限多，而且不容易写出规律加省略号），但是这些元素共同的性质很容易概括，x2，(x,y)|y=x2+1，x直角三角形，；例2（课本例2）试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x22=0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；（3）方程组的解。描述法表示集合应注意集合的代表元素，如(x,y)|y= x2+3x+2与 y|y= x2+3x+2， x|y= x2+3x+2, y/3|y= x2+3x+2是不同的集合，探究：课本P5最后一段话；生活的的例子适合用自然语言，比如说我们班的全体同学，元素个数有限且较少更适合列举法，元素个数多或则无法一一列举适合但共同
7、属性很容易概括适用于描述法归纳小结：1-6提升：集合是高中数学的一个重要平台，学好集合基本知识，为我们在这个平台上施展抱负做好准备。1.1.2集合间的基本关系一、复习回顾：1.提问：集合的两种表示方法？ 如何用适当的方法表示下列集合？ （1）10以内3的倍数； （2）1000以内3的倍数2.用适当的符号填空： 0 N； Q； -1.5 R。思考1：类比实数的大小关系，如57，22，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？二、新课教学比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1），；（2），；（3）， 由学生通过观察得结论。1 子集的定义：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B
8、的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。 记作： 读作：A包含于B，或B包含A当集合A不包含于集合B时，记作用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：B A 如：（1）中 2 集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若，则。（可以类比两个实数相等） 如（3）中的两集合。（相等，子集两种写法都对）3 真子集定义：若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集。记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 如：（1）和（2）中A B，C D；（子集，真子集两种写法都对）探究A是B的子
9、集可能包含了什么情况？4 空集定义：方程x*2+1=0的解集？你还能举出不含任何元素的集合吗？不含有任何元素的集合称为空集，记作：。5 几个重要的结论：（1） 空集是任何集合的子集；（2） 空集是任何非空集合的真子集；（3） 任何一个集合是它本身的子集；（4） 对于集合A，B，C，如果，且，那么。（5） 例3，练习1， 注意：1）分类讨论要不重不漏，有逻辑性，可以按照元素的个数分类，2) 归纳法有猜想的成分，不严谨，我们学习了排列组合可以严谨证明应用：（1，2）真含于A含于（1，2，3，4，5）求满足条件的集合A的个数 变式：（1，2）真含于A含于（1，2，3，4，5，6，7）课本P7练习2，
10、3注意：集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；归纳小结：本节课从实例入手，非常自然贴切地引出子集、真子集、空集、相等的概念及符号；并用Venn图直观地把这种关系表示出来；注意包含与属于符号的运用。提升：集合已经学习了两节课，学习了不少概念，集合是数学的基本语言，同学们现在好比是牙牙学语的幼儿，希望同学们理解并记牢，快速成长！1.1.3集合的基本运算一、复习回顾：1已知A=1，2，3，S=1，2，3，4，5，则A S；x|xS且xA= 。2用适当符号填空：0 0； 0 ； x|x10,xR 0 x|x5； x|x6 x|x5 ； x|x3 x2同学们两个
11、实数之间有四则运算，两个集合之间是否也有类似运算吗？二、新课教学思考：考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：（1），；（2），；由学生通过观察得结论。1并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集（union set）。记作：AB（读作：“A并B”），即 用Venn图表示： 这样，在问题（1）（2）中，集合A，B的并集是C，即 = C说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。课本例4，例5例5，数轴求并集1）画线高低错落，2）空心实心毫不含糊，3）求并有线就行讨论：AB与集合A、B有什么特殊的关系？AA , A , AB BAABA
12、 , ABB .引入：1，（2，4，6，8，10）（3，5，8，12）（8） 2，女同学，高一学生，高一女同学2交集的定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set），记作AB（读“A交B”）即：ABx|xA，且xB用Venn图表示：（阴影部分即为A与B的交集） 巩固练习（口答）：A3,5,6,8，B4,5,7,8，则AB ;A等腰三角形，B直角三角形，则AB ; Ax|x3，Bx|x0时，值域；当a0时，值域。 （3）反比例函数的定义域是，值域是。（二）区间及写法：设a、b是两个实数，且a5、x|x-1、x|x0（学生做，教
13、师订正）（三） 例题讲解：例1：求下列函数的定义域（用区间表示） f(x)=； f(x)=； f(x)=；学生试求订正小结：定义域求法（分式、根式、组合式）说明：求定义域步骤：列不等式（组） 解不等式（组）写成集合或区间例2，已知函数，求f(0)、f(a)、f(2a+1)、f(x-1)、f(g(x)的值。 说明：秘诀：整体打包代入例3（课本P18例2）下列函数中哪个与函数y=x相等？（1）； （2）；（3）； （4） 。说明：相同三要素完全相同，不同一个要素不同就不同。探究：三要素是有关系的，我们是否可以判定两要素相同就说是同一个函数？总结：函数的定义提升：从初中函数的概念到高中函数的概念，我
14、们在更高的平台上对函数有了进一步的了解，好比同学们的学习，一个又一个台阶，不断进步！1.2.2函数的表示法一、复习准备：1提问：函数的概念？函数的三要素？ 2讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.二、讲授新课：（一）函数的三种表示方法：结合课本P15 给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）； 优点：简明扼要；给自变量求函数值。图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）； 优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对
15、应关系，如1.2.1的实例（3）； 优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。例1（课本P19 例3）某种笔记本的单价是2元，买x (x1，2，3，4，5)个笔记本需要y元试用三种表示法表示函数y=f(x) 例2：（课本P20 例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲988791928895乙907688758680丙686573727582班平均分882783854803757826请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析（二）分段函数的教学：分段函数的定义：在函数的定义
16、域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数。说明：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；（2）分段函数只是一个函数，只不过x的取值范围不同时，对应法则不相同。例3：（课本P21 例6）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写
17、出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。例4 已知f(x)，求f(0)、ff(-1)的值导入：对比函数的定义函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射。（三） 映射的概念教学：定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射。记作：讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？例1（课本P22例7）以下给出的对应是不是从A到集合B的映射？（1） 集合A
18、=P | P是数轴上的点，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2） 集合A=P | P是平面直角坐标系中的点，B= ，对应关系f： 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3） 集合A=x | x是三角形，集合B=x | x是圆，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4） 集合A=x | x是新华中学的班级，集合B=x | x是新华中学的学生，对应关系：每一个班级都对应班里的学生。例2设集合A=a,b,c，B=0,1 ，试问：从A到B的映射一共有几个？并将它们分别表示出来。（四）、归纳小结：本节课归纳了函数的三种表示方法及优点；讲述了分段函数概念；了解了函数的图象可以
19、是一些离散的点、线段、曲线或射线。1.3.1单调性与最大（小）值 一、 复习准备：下图是神州号飞船飞行的高度关于时间的图像问题1，是定义在t0，8的函数图像吗？问题2，观察函数图像，你能了解神州号飞船的飞行规律吗？上升下降，最高最低点这就是我们本节课要学习的两个方面，单调性与最值（写课题）引导1，在t0，2上图像是如何变化的？上升的引导2，图像是上升的，很好的感性的认识，但一般不会作为严格的官方定义，如何定义呢？随着x的变大y变大引导3，随着x的变大y变大，也就是说如果x1x2时，则有f(x1)f(x2)，这就是增函数的定义定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区
20、间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)0时， ；根式是能表示成分数指数幂的形式 ，当被开方的指数不能被根指数整除时根式是否也能表示成分数指数幂的形式？ .这样规定的合理性？使得理论体系得以推广健全。定义分数指数幂：规定；随堂练习：A.将下列根式写成分数指数幂形式：； B. 求值 ； ； ； .讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂指数幂的运算性质：； ； 教学例题：（1）、（P51，例2）解： ， ，总结：有两种思路：1）直接将分数指数幂转
21、化成根式。但这样做有时比较麻烦，如。2）把底数先写成分数指数幂的形式，这样新老幂之间可能约分化简，较好！（2）、（P51，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（0）解：， （3）（P52例5）计算下列各式（1）（2）0）无理指数幂的教学的结果？定义：无理指数幂.（结合教材P58利用逼近的思想理解无理指数幂意义）无理数指数幂是一个确定的实数实数指数幂的运算性质？归纳小结：1根式的概念：若n1且，则为偶数时，；2 掌握两个公式：3 根式和分数指数幂的转化。提升：指数幂的推广完善：整数（初中）有理数实数，理论体系就像一颗种子一样慢慢的生根发芽开花结果！2.1.2 指数函数及其性质一、复习准备：1.
22、提问：分数指数幂是怎样定义的？2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？讲新课之前我想提一个一直困扰我的拉面问题，21=2,22=4,23=8,24=16,25=32-实际上就是一个函数关系，大约拉4，5次就可以了，正是这个函数把我从人生的困惑中解脱出来，这就是我们今天指数函数。二、 讲授新课：举例：生活中其它指数模型？A细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？B一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关
23、系式是什么？讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？定义：一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.讨论：为什么规定0且1呢？否则会出现什么情况呢？讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象（有图有真相），结合图象研究函数的性质 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性如何做出一个新函数的图像？描点法或者图像变换作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： （师生共作小结作法）函数与的图象有什么关系？如何由的图象画出的图象？根据两函数的图象的
24、特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或1/3等后？根据图象归纳：指数函数的性质 (书P56)0a1定义域值域单调性奇偶性定点图像位置关系3、例题讲解例1：（P56 例6）已知指数函数（0且1）的图象过点（3，），求例2：（P56例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )与( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1总结：比较大小的常见方法：做差，做商，单调性，中间量-教学指数函数的应用模型： 出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口因此，中国的人口问题是公认的社会问题2000年第五次人口普查，中国人口已达到
25、13亿，年增长率约为1%为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策()按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？()从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？ （师生共同读题摘要 讨论方法 师生共练 小结：从特殊到一般的归纳法） 练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的多少倍？ 变式：多少年后产值能达到120亿？ 小结指数函数增长模型：原有量N，平均最长率p，则经过时间x后的总量y=？ 一般形式：涉及到指数型函数的应用，形如（a0且1）.归纳小结1、指数函数的定义
26、2、指数函数图像和性质提升：思想方法：分类讨论，数形结合，这是高中数学较比重要的思想希望同学们能有所体会！而且展示了研究一个新学函数方法，这位我们以后的学习起到了示范作用。2.2.1对数与对数运算 复习准备：今天我们学习2.2，在2.1中我们学习了哪些内容？根式与分数指数幂。指数函数对于这两节内容我们简单复习一下：问题1.X2=4,X=2？.X2=5，X=5？为什么X=5？这个方程的根X真实存在，但在有理数范围内是无解的，于是我们规定了n次方根的定义，从而就可以把这两个解书写出来，可以说就是为了解方程的需要人为发明的一个符号标记。问题2。对于指数函数，Y=8,X=?, Y=30,X=?, X存
27、在吗？唯一确定吗？你能估测其所在区间吗？虽然方程的根唯一确定但我们现在是无法说出x等于什么，怎么办？人为标记一个符号，怎么标记？同学们尝试发明创造-，大家的创造能力很强，和合理，但生不逢时，这个已经被数学前辈发明了，16世纪苏格兰数学家纳皮尔，发明了对数，对数的发明是数学历史上的重大事件，天文学家，航海家为之欣喜若狂，恩格斯把对数的发明，解析几何，微积分并称17世纪数学的3大创造，伽利略说过，给我空间时间和对数我就能创造一个宇宙！定义：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数（logarithm）.记作 ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 用定义说明： =30,X=?, 定义：我们通常将
28、以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数简记为lgN 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数简记作lnN 认识：lg5 ; lg3.5； ln10； ln3练习课本例1.互化，添加两题（7）lg（-1）= (8)lg0= (9)lg1= (10)lg10= 结论：负数与零没有有对数？（原因：在指数式中 N 0 ）， 例2-指数有哪些运算律？对数也应当有自己的运算律，如果我们发现将是对对数体系是重大完善！ 引例： 由，如何探讨和、之间的关系？设, ，由对数的定义可得：M=，N= MN=MN=p+q，即得
29、MN=M + N 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？如果 a 0，a 1，M 0， N 0 ，则; ； 性质的证明思路？（对数定义，用定义证明是证明的根本，学过了哪些？证明单调性，奇偶性）自然语言如何叙述三条性质？ 例1. 判断下列式子是否正确，（0且1，0且1，0，），（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）例2（ P65例3例4）：用，表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.（1） （2） （3） （4）对数在生活中的应用是很强的，看课本P66，我国人口问题达到18亿的年份，如何求，这里是非特殊值需要计算机，但问题来了，计算器上都是以10，e,为底的，所以我们需要把这个结果转化成以10或e,为底的。换底公式，查计算机算出本题。从计算器求对数这个角度可以看出换底公式的重要性。换底公式的推论：；接下来继续见证对数的神奇：长沙马王墓女尸出