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1、精选优质文档-倾情为你奉上专题一 第5讲导数及其应用一、选择题(每小题4分,共24分)1已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)2xf(1)ln x,则f(1)AeB1C1De解析f(x)2f(1),令x1,得f(1)2f(1)1,f(1)1.故选B.答案B2(2012泉州模拟)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为A3 B2C1 D.解析设切点为(x0,y0)yx,x0,解得x03(x02舍去)答案A3(2012聊城模拟)求曲线yx2与yx所围成图形的面积,其中正确的是AS(x2x)dx BS(xx2)dxCS(y2y)dy DS(y)dy解析两函数图象的交点坐标
2、是(0,1),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在 0,1上,xx2,故求曲线yx2与yx所围成图形的面S(xx2)dx.答案B4函数f(x)在2,2上的最大值为2,则a的取值范围是A. B.C(,0 D.解析当x0时,f(x)6x26x,函数的极大值点是x1,极小值点是x0,当x1时,f(x)2,故只要在(0,2上eax2即可,即axln 2在(0,2上恒成立,即a在(0,2上恒成立,故aln 2.答案D5设函数f(x)ax2bxc(a,b,cR),若x1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为yf(x)图象的是解析设h(x)f(x)ex,则h(x)(2axb)ex(ax2
3、bxc)ex(ax22axbxbc)ex.由x1为函数f(x)ex的一个极值点,得当x1时,ax22axbxbcca0,ca.f(x)ax2bxa.若方程ax2bxa0有两根x1、x2,则x1x21,D中图象一定不满足该条件答案D6设aR,若函数f(x)eax3x(xR)有大于零的极值点,则a的取值范围是A(3,2) B(3,)C(,3) D(3,4)解析由已知得f(x)3aeax,若函数f(x)在xR上有大于零的极值点,则f(x)3aeax0有正根当3aeax0成立时,显然有a0,此时xln,由x0得到参数a的取值范围为a3.答案C二、填空题(每小题5分,共15分)7(2012济南三模)曲线
4、yexx2在点(0,1)处的切线方程为_解析yex2x,所求切线的斜率为e0201,切线方程为y11(x0),即xy10.答案xy108(2012枣庄市高三一模)dx_.解析dx表示圆x2y24中阴影部分的面积的大小,易知AOB,OC1,dxSOBCS扇形AOB122.答案9(2012泉州模拟)若函数f(x)xaln x(a为常数)在定义域上是增函数,则实数a的取值范围是_解析f(x)xaln x在(0,)上是增函数,f(x)10在(0,)上恒成立,即a2.而224,当且仅当,即x1时等号成立,a4.答案(,4三、解答题(每小题12分,共36分)10(2012泉州模拟)已知函数f(x)x3ax
5、2bxa2(a,bR)(1)若函数f(x)在x1处有极值为10,求b的值;(2)若对任意a4,),f(x)在x0,2上单调递增,求b的最小值解析(1)f(x)3x22axb,则或.当时,f(x)3x28x11,641320,所以函数有极值点;当时,f(x)3(x1)20,所以函数无极值点则b的值为11.(2)解法一f(x)3x22axb0对任意的a4,),x0,2都成立,则F(a)2xa3x2b0对任意的a4,),x0,2都成立x0,F(a)在a4,)单调递增或为常数函数,所以得F(a)minF(4)8x3x2b0对任意的x0,2恒成立,即b(3x28x)max,又3x28x32,当x时,(3
6、x28x)max,得b,所以b的最小值为.解法二f(x)3x22axb0对任意的a4,),x0,2都成立,即b3x22ax对任意的a4,),x0,2都成立,即b(3x22ax)max,令F(x)3x22ax32.当a0时,F(x)max0,b0;当4a0时,F(x)max,b.又max,b.综上,b的最小值为.11已知函数f(x)exln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设x0,求证:f(x1)e2x1;(3)设nN,求证:ln(121)ln(231)lnn(n1)12n3.解析(1)由题知,函数f(x)的定义域为(0,),由f(x)exln x(ln x1)令f(x)0,解得x;令
7、f(x)0,解得0x.故f(x)的增区间为,减区间为.(2)证明要证f(x1)e2x1,即证(x1)ln(x1)2x1ln(x1)ln(x1)0.令g(x)ln(x1),则g(x),令g(x)0,得x2,且g(x)在(0,2)上单调递减,在(2,)上单调递增,所以g(x)ming(2)ln 31,故当x0时,有g(x)g(2)ln 310,即f(x1)e2x1得证(3)证明由(2)得ln(x1),即ln(x1)2,所以lnk(k1)122,所以ln(121)ln(231)lnn(n1)12n32n3.12设函数f(x)axa,x(0,1,aR*(1)若f(x)在(0,1上是增函数,求a的取值范围;(2)求f(x)在(0,1上的最大值解析(1)当x(0,1时,f(x)a1.要使f(x)在x(0,1上是增函数,需使f(x)10在(0,1上恒成立即a 在(0,1上恒成立而 在(0,1上的最小值为,又aR*,0a为所求 (2)由(1)知:当0a时,f(x)在(0,1上是增函数f(x)maxf(1)(1)a1;当a时,令f(x)0,得x (0,10x时,f(x)0; x1时,f(x)0.f(x)maxfa.综上,当0a时,f(x)max(1)a1;当a时,f(x)maxa.专心-专注-专业