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1、精选优质文档-倾情为你奉上第二章 导数与微分【内容提要】1导数的概念设函数yf(x)在x0的某邻域（x0，x0 + ）（0）内有定义，当自变量x在点x0处有改变量x时，相应地，函数有改变量若时，极限存在，则称函数yf(x)在xx0处可导，称此极限值为f(x)在点x0 处的导数，记为或或或或 时，改变量比值的极限称f(x)在x0处的右导数，记为。时，改变量比值的极限称f(x)在x0处的左导数，记为。2导数的意义导数的几何意义：是曲线yf(x)在点(x0，y0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。导数的物理意义：路程对时间的导数是瞬时速度v(t0) 。
2、以此类推，速度对时间的导数是瞬时加速度a(t0)。3可导与连续的关系定理 若函数在点x0处可导，则函数在点x0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。4导数的运算定理1（代数和求导法则）若u(x)和v(x)都在点x处可导，则定理2（积的求导法则）若u(x)和v(x)都在点x处可导，则 定理3（商的求导法则）若u(x)和v(x)都在点x处可导，且v(x)0，则定理4 若函数在点x处可导，且在其相应点u处可导，则复合函数在x处可导，且或5基本初等函数求导公式本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数，整理所下： 这些基本导数公式必须熟记，与各种求导法则、求导方法配合，可求初等函数的导数。
3、6微分的概念 设函数在点x处可导，则称函数在x点的导数与自变量增量x的乘积为函数在x处的微分，记为若，则xdx，即自变量的微分等于自变量的改变量，因此函数的微分可记为由可知，先计算函数的导数，再乘以dx或x，就得到函数的微分dy。7微分的计算 由可知，微分的计算归结为导数的计算。由初等函数导数的计算公式、法则和方法，可以直接得到微分基本公式和运算法则： 微分的运算法则如下：四则运算法则：当u、v可微时，d(uv)dudvd(uv)vduudvd(Cu)Cdu，(v0)复合函数的微分法则：设函数yf(x)可微，当x是自变量时，；当x是中间变量xg(t)时，复合函数yfg(t)的微分为。就是说，不
4、论x是中间变量还是自变量，函数yf(x)的微分都可以表示为。由于表达形式一致，称之为一阶微分的形式不变性。8微分的简单应用 由微分的定义可知，当很小时，可以用函数的微分代替函数改变量，误差仅为的高阶无穷小，即 由，得到近似公式记xx0x，近似公式可以写为若取x00，则得到当| x |很小时，的近似公式微分还可以用来估计误差。若，测量时产生的绝对误差为，当很小时，函数的绝对误差、相对误差分别计算为，【习题解答】2-1 求下列函数的导数。（1） ； （2） ；（3） ； （4） y(x23)tanx；（5） ； （6） ；（7） ； （8） ysecxtanxcscxcotx；（9） ； （10）
5、 。解 （1） （2） （3） （4） y2xtanx + (x23)sec2x（5） （6） （7）（8） y = secxtan2x + sec3x - cscxcot2x - csc3x （9） （10） 2-2 设f(x)cosxsinx，求、。解 f (x) = - sinxsinx + cosxcosx = cos2x = 1 = -1 2-3 设，求、。解 = 1 = 5 /92-4 求曲线y4x24x3在点(1，5)处的切线和法线方程。解 y = 8x + 4 k = 12切线方程 12x - y -7 = 0法线方程 x + 12y - 61 = 02-5 物体运动方程为st
6、sint，求物体运动的速度和加速度。解 2-6 求下列各函数的导数。（1） ； （2） ycosaxsinbx；（3） yln2x； （4） ylncosx；（5） ； （6） ；（7） ； （8）；（9） ； （10）。解（1） 解 （2） （3） （4） （5） （6）（7） （8）（9） （10）2-7 求下列各隐函数的导数。（1） y2apx； （2） x2y2xy1；（3） x3y33axy0； （4） y1xey。解 （1） y2apx2yy = ap y = ap/2y （2） x2y2xy12x + 2yy - y - xy=0 y = (y-2x) / (2y-x)（3） x
7、3y33axy03x2 + 3y2y - 3ay - 3axy = 0 y = (3ay - 3 x2) / (3y2-3ax) （4） y1xeyy= - e y - xey y y = -ey / (1+ xey) 2-8 取对数求下列各函数的导数。 （1） xy(x1)2(x2)3； （2） ；（3） yxxy； （4） eyxy。解 （1） xy(x1)2(x2)3lnx +lny=2ln(x+1)+3ln(x-2)1/x + y /y =2/(x+1) + 3/(x-2) （2） lny = ln(x+1) + ln(x-3) - ln(x+3) - ln(x-4) y /y =1/
8、(x+1) + 1/(x-3) - 1/(x+3) - 1/(x-4)（3） yxxy xlny = ylnx lny + xy /y = y lnx + y/x （4） eyxy y = lnx + lny y = 1/x + y /y y = y / x(y-1)2-9 求下列各函数的二阶导数。（1） yexsinx； （2） ；（3） y2x2lnx； （4） yacosbx 。解 （1） yexsinx （2） （3） （4） 2-10 某物体降温过程中的温度为 ，求物体的冷却速率。解 2-11 口服某药物后，血药浓度为，求血药浓度的变化率。解 2-12 一截面为倒置等边三角形的水槽，
9、长20m，若以3m3/s速度把水注入水槽，在水面高2m时，求水面上升的速度。解 设水面高h m时体积为v m3 则 h = 2 所以 2-13 求下列各函数的微分。（1） ； （2） ；（3） yxsinxcosx ； （4） yarctanex ；（5） yln(1x4)； （6） 。解 （1） （2） （3）d yxcosxdx （4） （5） （6） 2-14 在括号内填入适当函数，使下列等式成立。（1） d( )3dx； （2） d( )2xdx； （3） d( )ex dx； （4） d( )sintdt； （5） d( )dx； （6） d( )sec2xdx 解 （1） d( 3
10、x )3dx （2） d( x2 )2xdx （3） d( ex )ex dx （4） d( -cost )sintdt （5） d( ln(1+x) )dx （6） d( tanx )sec2xdx 2-15 已知，求，。解 2-16 在| x |很小时，证明下列各近似公式。（1） ； （2） ； （3）； （4） 。解 （1） （2） （3） （4） 2-17 求下列各式的近似值。（1） ； （2） 。解 （1） （2） 2-18 造一个半径为1m的球壳，厚度为1.5cm，需用材料多少立方米？解 设球体积为V，半径为R，则 2-19 为计算球的体积，要求误差不超过1%，度量球的半径时允许的
11、相对误差是多少？解 设球体积为V，半径为R，则 【课外练习】一、单选题 1. 设，则（ ），（ ）。A 1，0 B. 1，-1 C. 0,-1 D. 0，12. 设，则（ ）。A. 0 B.1 C. D. -3. 可导的偶函数，其导函数为（ ）函数，可导的奇函数，其导数为（ ）函数。（A）奇，偶 （B）偶，奇 （C）奇，奇 （D）不能确定4. 函数在点处可导是在点处可微的（ ）条件。A. 充分不必要 B.充分必要 C. 必要不充分 D. 不能确定5. 函数在点处的左导数以及右导数都存在并且相等是在点处可导的（ ）条件。A.充分不必要 B.充分必要 C.必要不充分 D.不能确定6. 函数当从1改
12、变到1.01时的微分是（ ）。A. 1.01 B. 0.01 C. 1.02 D. 0.027. 设函数可导且下列各极限都存在，则（ ）不成立。A. B. C. D. 8. 若，为常数，则有（ ）。A.在点处连续 B.在点处可导 C. 存在 D.以上都不对9. 若，则（ ）。A. B. C. D.10. 曲线上，切线平行于轴的点有（ ）。A.（-1,-2） B.（1,2） C.（-1,2） D.（0，0）二、填空题1. 若，而，则对于，与之差是 ；当时，与之差是 。 2. 若，则 ， 。3. 若，则 ， 。 4. 由参数方程所确定的函数，在时，此函数的导数 ；由参数方程所确定的函数的二阶导数
13、。5. 若已知函数，且，则常数= ，常数= 。若，则常数= 。 6. 函数的微分是 ，函数的微分是 。7. 填入适当的函数，使等号成立：（ ）=，（ ）=，（ ）=。8.设函数由方程所确定，则 ， 。9. 若抛物线与的切线平行，则自变量取值为 。10.设函数是可导的偶函数且存在，则 。 三、计算及证明题1 求下列函数的导数。（1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 。 2求下列函数的微分。（1）； （2） ； （3）； （4）。 3设，证明它满足方程。4用定义求函数在点的导数。5证明函数 在处不可导。6设，试确定的值，使在 处可导。7已知直线运动方程为，分别令，0.1，0.0
14、1求从到这一段时间内运动的平均速度以及时的瞬时速度。8求曲线在点的切线方程与法线方程。9试确定曲线上哪些点的切线平行于直线。10求的近似值。11求下列函数的高阶导数。（1）， 求； （2），求 ；（3），求； （4），求；12 现在已经测得一根圆轴的直径为43厘米，并知在测量中绝对误差不超过0.2厘米。求以此数据计算圆轴的横截面面积时所引起的误差。13 设有一个吊桥，其铁链成一抛物线形状，桥两端系于相距100米且高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点（在支柱最下端，即铁链所系之处）下10米处。求铁链与支柱所成的夹角。【课外练习 参考答案】第二章 导数与微分一、 单选题1. B 2. A 3. A
15、 4. B 5. B 6. D 7. B 8. D 9. B 10. C二、 填空题1. 0.01,00001 2. 0, 18 3. ， 4. 0， 5. 1,1,2 6， 7. ， 8. ， 9. 0或 10. 0三、 计算及证明题1. 解（1） （2） （3） （4） （5） （6）1. 解（1） （2）（3） （4）3. 证明由已知则 ，所以 得证。4. 解由定义所以 。5. 证明由于则 时，上式的极限不存在所以函数在处不可导。6. 解因为在 处左、右两侧的函数表达式不同，所以要使在 处可导，必须使在 处的左、右导数、都存在且相等。由于，而所以 此时 在处可连续。则 而 ，所以 7.
16、解因为平均速度所以当，时，当， 时，当，时，时的瞬时速度为8. 解由于则 ,所以曲线在点的切线方程是。由解析几何知道，若切线斜率为，则法线斜率为，所以过点的法线斜率为，因此，曲线在点的法线方程为。9. 解因为两直线平行等价于两直线的斜率相等（斜率都存在时）。而直线的斜率为曲线的导数则当时，此时，所以曲线上的点处的切线平行于直线。10. 解是函数在的值。因此，令即，于是得到=11. 解（1）因为，所以，（2）因为，所以（3）因为，所以=，（5）因为，所以.由以上归纳可得：12. 解由题意，圆轴的直径厘米，其绝对误差厘米。按照所测的直径计算圆轴的横截面面积为它的绝对误差其相对误差13. 解根据题意，以铁链最低点处的切线作为横轴，以铁链的最低点作为坐标原点，建立直角坐标系。则铁链所处的抛物线方程为，则 。记左悬点为，右悬点为，则抛物线在右悬点处的切线斜率为所以在右悬点处抛物线与坐标轴横轴的夹角为因此，铁链与支柱所成的夹角为。专心-专注-专业