电动力学课后答案(共65页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章1 根据算符的微分性与矢量性推导下列公式4 (1) 应用高斯定理证明: (2) 应用斯托柯斯定理证明:5已知一个电荷系统的偶极矩定义为利用电荷守恒定律证明的变化率为解:与时间无关,取的一个分量为考虑到积分区域的表面比电荷所在区域大得多时,表面上的电流为0。=0所以 故得 6若是一个常矢量,证明除R=0点以外,矢量的旋度等于标量的梯度的负值,即其中R是坐标原点到场点的距离,方向由原点指向场点解:是常矢量,故 且 (R=0点除外)所以 此外 比较两式结果可知7有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球,介质的介电常数为,使介质内均匀带静止电荷,求(1) 空间各点的电场

2、(2) 极化体电荷和极化面电荷分布解:(1)空间各点的电场由于自由电荷均匀分布在介质球内,电场具有球对称性分布,利用高斯定理可解得(3) 极化体电荷和极化面电荷分布:在(范围内存在极化体电荷 或在r=r2 球面上的极化面电荷在r=r1的球面上的极化面电荷8内外半径分别为r1和r2的无穷长中空导体圆柱,沿向流有稳恒自由电流Jf,导体的磁导率为。求磁感应强度和磁化电流。解:沿中空倒替圆柱轴向流动的均匀自由电流Jf所产生的磁感应强度具有轴对称性,因而可应用安培环路定律求三个不同区域的可分别算出现在计算磁化电流:磁化电流面密度为是柱面外法线单位矢径当r=r2时,当r=r1时 9证明均匀介质内部的体极化

3、电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍解:在线性各向同性的均匀介质内部 10 证明两个闭合的稳恒电流圈之间的相互作用力的大小相等方向相反,(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律)解:设有两个闭合的稳恒电流圈c,c,如图示,两电流圈的各电流元的位置矢径表示,则电流圈所受电流圈的作用力为:而电流圈c所受电流圈c的作用力为令则故若为两个电流元与之间作用力为:11平行板电容器内有两层介质,它们的厚度分别为和,介电常数为和,今在两极板上接电动势为的电池,求:(1) 电容器两板上的自由电荷面密度(2) 介质分界面上的自由电荷面密度若介质是漏电的,电阻率分别为和,当电流达到稳恒时,上述两问题的结

4、果如何?解:(1)根据可知在金属板与介质1交界面上:在介质2与金属板的界面上:即在介质1,2的界面上:(3) 当介质漏电,电流达到稳恒时可知:12证明:(1) 两种介质的分界面上不带自由电荷时,电力线的曲折满足,其中和分别为两种介质的介电常数,和分别为界面两侧电力线与法线的夹角(2) 当两种导电介质内流有稳恒电流时,分界面上电力线曲折满足,其中分别为两种介质的电导率解:(1)考虑到界面上无自由电荷,故知: (2)一直导电介质内流有稳恒电流故 又知稳恒电流的电场与静电场之边界条件相同,故 13试用边值关系证明:在绝缘体介质与导体的分界面上,在静电情况下,导体的外电力线总是垂直于导体表面,在稳恒电

5、流情况下,导体内的电力线总是平行于导体表面解:(1)在静电情况下,导体外的电力线考虑到静电平衡时,导体内部不能存在自由电荷,导体内部电场强度应为0,即:利用边值关系导体外电力线垂直于导体表面(或)(2)在稳恒电流情况下,导体内的电力线:考虑到电介质不会导电,其中不能存在稳恒电流,根据边值关系,可知:已知 故知在导体内部, 仅有切向分量,即导体内部电力线平行于导体表面14内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器单位长度荷点,板间填充电导率为的非磁性物质。(1) 证明在介质中任何一点传导电流和位移电流严格抵消,因此内部无磁场。(2) 求随时间的衰减规律。(3) 求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密

6、度。(4) 求长度为l的一段介质总的能量耗散功率,并证明它等于这段的静电能减少率。解:(2)(3) =(4)第二章 静电场和稳恒电流磁场1在均匀外场中置入半径为的导体球,试用分离变量法求下列两种情况的电势。(1) 导体球上接有电池,使球和地间保持电势差(2) 导体球上带总电量Q解:(1)通过球心沿外电场方向的轴线为对称轴,取之为极轴,导体内外区域无自由电荷,故电势满足拉普拉斯方程,以代表球外区域之电势,则电势通解为根据已知条件,导体球接上电池,故它是一个等势体,即设导体球放进去之前坐标原点o的电势为,则根据极限条件可得根据上述条件,解可写成现根据边界条件:在界面上(2)所取坐标轴及对称轴,通解

7、公式均与上述相同,现考虑边界条件:根据球面上带有总电荷Q 及一个不带电导体上均匀场中所感应的电荷面密度为,则球面上的电荷面密度为所以解为:2均匀介质球的中心置一点电荷,球的介电常数为,球外为真空,试用分离变量法求空间的电势,把结果与使用高斯定理所得结果比较解:空间各点电势为,而电势满足,由于有球对称性,其通解应为:3均匀介质求(介电常数为)的中心置一自由偶极子,球外充满了另一种介质(介电常数为),求空间各点的电势和极化电荷分布解:由于场具有轴对称性,故极化电荷分布4空心导体球壳的内外半径为和,球心置一偶极子,球壳上带电,求空间各点电势和电荷分布5在均匀外电场中置入一均匀自由电荷的绝缘介质球(介

8、电常数为),求空间各点的电势6在很大的电解槽中充满电导率为的液体,使其中流着均匀的电流,今在液体中置入一个电导为的小球,求稳恒时电流分布和面电荷分布,讨论及两种情况的电流分布特点7半径为的导体球外充满均匀绝缘介质,导体球接地,离球心为处()置一点电荷,试用分离变量法求空间各点电势。证明所得结果与电像法结果相同8接地的空心导体球的内外径为和,在球内离球心为处置一点电荷。用电像法求电势。导体上的感应电荷有多少?分布在内表面或是外表面?9上题的导体球壳不接地而带总电量,或是具有确定的电势,试求这两种情况的电势。又和是如何关系时,两情况的解是相等的10在接地的导体平面上有一半径为的半球凸部,半球的球心

9、在导体平面上,点电荷位于系统的对称轴上,并与平面相距为,试用电像法求空间电势11有一点电荷位于两相互垂直的接地导体平面所围成的直角空间内,它到两个平面的距离为,求空间电势13画出函数的图,说明是一个位于原点的偶极子的电荷密度14证明:(1) (2)15一块极化介质的极化矢量为,根据偶极子静电势的公式极化介质所产生的电势为:另外,根据极化电荷公式及,极化介质所产生的电势又可表达为证明以上两表达式是等同的16证明下述结果,并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化(1)在面电荷两侧,电势法向微商有跃变,而电势连续(2)在面偶极层两侧,电势有跃变而电势的法向微商是连续的(各带等量正负电荷密度,而靠得

10、很近的两个面,形成面偶极层,面偶极矩密度)17一半径为的球面,在球坐标的半球面上电势为,在的半球面上的电势为,求空间各点电势第三章 静 磁 场第 四 章 电 磁 波 的 传 播第六章 狭义相对论1. 证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的,麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。证明:根据题意,不妨分别取固着于两参考系的直角坐标系,且令t=0时,两坐标系对应轴重合,计时开始后,系沿系的x轴以速度v作直线运动,根据伽利略变换有:,1)牛顿定律在伽利略变换下是协变的以牛顿第二定律为例,在系下,可见在系中牛顿定律有相同的形式,所以牛顿定律在伽利略变换下是协变的。2)麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的以真

11、空中的麦氏方程为例,设有一正电荷q位于O点并随系运动,在系中q是静止的,故: , (1) (2)于是方程成立,将(1)写成直角分量形式:由伽利略变换关系,在中有:可见不恒为零。又在系中观察,q以速度运动,故产生电流,于是有磁场,(R是场点到x轴的距离)此时,有,于是故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。2. 设有两根互相平行的尺,在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。解:根据相对论速度交换公式可得系相对于的速度大小是 (1)在系中测量系中静长为0 l的尺子的长度为 (2)将(1)代入(2)即得:

12、(3)此即是在系中观测到的相对于静止的尺子的长度。3. 静止长度为l0的车厢,以速度v相对于地面S运行,车厢的后壁以速度u0向前推出一个小球,求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。解:根据题意取地面为参考系S,车厢为参考系S,于是相对于地面参考系S,车长为, (1)车速为v,球速为 (2)所以在地面参考系S中观察小球由车后壁到车前壁所以 (3)将(1)(2)代入(3)得: (4)4. 一辆以速度v运动的列车上的观察者,在经过某一高大建筑物时,看见其避雷针上跳起一脉冲电火花,电光迅速传播,先后照亮了铁路沿线上的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线

13、上,与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离都是l0。解:取地面为静止的参考系,列车为运动的参 考系。取 x 轴与 x轴平行同向,与列车车速方向一致,令t=0时刻为列车经过建筑物时,并令此处为系与的原点,如图。在系中光经过的时间后同时照亮左右两塔,但在系中观察两塔的位置坐标为即:,时间差为5. 有一光源S与接收器R相对静止,距离为,S-R装置浸在均匀无限的液体介质(静止折射率n)中。试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间。(1)液体介质相对于S-R装置静止;(2)体沿着S-R连线方向以速度v运动;(3)液体垂直于S-R连线方向以速度v运动。解:(1)液体介质相对于S-R

14、装置静止时,(2)液体沿着S-R连线方向以速度v运动时,取固着于介质的参考系为,系沿x轴以速度v运动,在系中测得光速在各个方向上均是c/n,由速度变换关系得在系中沿介质运动方向的光速为:R接收到讯号的时间为(3)液体垂直于S-R连线方向以速度v运动,取相对于S-R装置静止的参考系为系,相对于介质静止的系为系,建立坐标系如图。在系中 在系中测得y方向上的速度为:6. 在坐标系中,有两个物体都以速度u沿x轴运动,在系看来,它们一直保持距离l不变,今有一观察者以速度v沿x轴运动,他看到这两个物体的距离是多少?解:根据题意,取固着于观察者上的参考系为系,又取固着于A B两物体的参考系为系.在中,A B

15、以速度 u 沿 x 轴运动,相距为l;在系中,A B静止相距为l 0,有: 又系相对于以速度v 沿 x 轴运动,系相对于系以速度u沿x轴运动,由速度合成公式系相对于系以速度沿轴运动,所以,在系中看到两物体相距7. 一把直尺相对于坐标系静止,直尺与x轴交角,今有一观察者以速度v沿x轴运动,他看到直尺与x轴交角有何变化?解:取固着于观察者上的参考系为在系中 ,在系中 8. 两个惯性系和中各放置若干时钟,同一惯性系的诸时钟同步。相对于以速度v 沿x轴方向运动。设两系原点相遇时,。问处于系中某点(x,y,z)处的时钟与系中何处时钟相遇时,指示的时刻相同?读数是多少?解:设系中点与系中的点相遇时,两系的

16、钟读数分别为和。首先,要相遇必定满足:,;其次,在系看来,相遇时: (1)在系看来,相遇时: (2)并且 (3)将(2)、(3)代入(1)得: (4)又由(2)可得: (5)将用于(1)或(2)得P、Q相遇的时刻为:9. 火箭由静止状态加速到,设瞬时惯性系上加速度为,问按照静止系的时钟和按火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间?解:(1)在静止系中加速火箭,令静止系为系,瞬时惯性系为系,且相对于系的速度为u,由题意可知同向,令此方向为x轴方向,由x方向上的速度合成得到火箭相对于系的速度为:其中是火箭相对于系的速度。所以在系中火箭的加速度为 (1)本题中,而系相对于火箭瞬时静止,即,代入(1)得 (

17、2) (3)年在系看来,火箭相对于系的加速度为 (4) (5)年10. 一平面镜以速度v自左向右运动,一束频率为,与水平线成夹角的平面光波自右向左入射到镜面上,求反射光波的频率及反射角。垂直入射的情况如何?解:取相对于平面镜静止的参考系为系,取静止系为系并令入射光线在平面xoy内,则,脚标i代表入射光。由变换关系得系中:; ;若平面镜水平放置,在系中平面镜静止,由反射定律可得波矢的y分量改变方向,其它分量及频率均不变,即: ; ; 脚标r代表反射光。由变换关系得系中:; 所以,在系中观察,反射角等于入射角,;如果垂直入射,结论不变。若平面镜竖直放置,在系中由反射定律可得波矢的x分量改变方向,其

18、它分量及频率均不变,即:; ; ; 代入逆变换关系,得系中的反射光线满足:;将及用于以上各式,可得当时,由此可得, 如果垂直入射,于是系中观察到:;11. 在洛仑兹变换中,若定义快度y为,(1) 证明洛仑兹变换矩阵可写为对应的速度合成公式可用快度表示为.证明:(1)洛仑兹变换矩阵为据定义,将它们代入(1)式即得(2)速度合成公式可改写为所以 12. 电偶极子以速度v作匀速运动,求它产生得电磁势和场,A,E,B。解:选随着电偶极子一起运动的参考系为系,在系上观察时,静止,因而只有静电场,其电磁势为:,电磁场为:,由四维势的逆变换得,系中电磁势:,系中电磁场为:, , 其中为系中场点的位矢,系中为,所以有专心-专注-专业

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