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1、精选优质文档-倾情为你奉上第十二章 数项级数2 一般项级数一、交错级数概念：若级数各项符号正负相间，即u1-u2+u3-u4+(-1)n+1un+(un0, n=1,2,)，则称它为交错级数. 定理12.11：(莱布尼茨判别法)若交错级数满足：(1)数列un单调递减；(2)un=0，则该级数收敛.证：交错级数的部分和数列Sn的奇数项和偶数项分别为：S2m-1=u1-(u2-u3)-(u2m-2-u2m-1)，S2m=(u1-u2)+(u3-u4)+(u2m-1-u2m).由条件(1)知上述两式括号内的数皆非负，从而数列S2m-1递减，数列S2m递增. 又由条件(2)知00，总存在正数N，使得对
2、nN和任意正整数r，有|un+1|+|un+2|+|un+r|，|un+1+un+2+un+r|，u1+u2+un+收敛. 得证！例1：证明：级数收敛.证：=01,原级数绝对收敛.性质1：级数的重排：正整数列1,2,n,到它自身的一一映射f:nk(n)称为正整数列的重排，相应地对数列un按映射F:unuk(n)所得到的数列uk(n)称原数列的重排；同样的，级数也是级数的重排. 记vn=uk(n)，即=v1+v2+vn+.定理12.13：若级数绝对收敛，且其和等于S，则任意重排后所得到的级数也绝对收敛，且有相同的和数.证：不妨设为正项级数，用Sn表示它的第n个部分和，记Tm=v1+v 2+vm表
3、示级数的第m个部分和.级数是的重排，对每一个vk都等于某一(1km).记n=maxi1,i2,im, 则对任何m，都存在n，使TmSn.由Sn=S知，对任何正整数m有TmS, 即收敛，其和TS.又级数也是的重排，ST，推得T=S.若为一般级数且绝对收敛，即正项级数收敛，同理可推得级数收敛，级数收敛. 令pn=，qn=；则当un0时，pn=un，qn=un；当un0时，pn=0，qn=-un0. 从而有0pn|un|，0qn|un|，pn+qn=|un|，pn-qn=un. 又收敛，,都是正项的收敛级数，且S=-.同理得：=-，其中,分别是,的重排.=-=-=S. 得证!性质2：级数的乘积：由a
4、=可推得有限项和与级数的乘积：(a1+a2+am)=. 继而可推广到无穷级数之间的乘积：设收敛级数=A, =B.将两个级数中每一项所有可能的乘积列表如下：u1v1u1v2u1v3u1vnu2v1u2v2u2v3u2vnu3v1u3v2u3v3u3vnunv1unv2unv3unvn这些乘积uivj按各种方法排成不同的级数，如按正方形顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v2+u2v1+u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1+，如下表：u1v1 u1v2 u1v3 u1vnu2v1u2v2u2v3u2vnu3v1u3v2u3v3u3vnunv1unv2unv3unvn或按对角线顺序相加，
5、得u1v1+u1v2+u2v1+u1v3+u2v2+u3v1+，如下表：u1v1u1v2u1v3u1vnu2v1u2v2u2v3u2vnu3v1u3v2u3vnunv1unv2unv3unvn定理12.14：(柯西定理) 设绝对收敛级数=A, =B，则由它们中每一项所有可能的乘积uivj按任意顺序排列所得到的级数绝对收敛，且其和等于AB.证：设级数,的部分和分别为：Sn=|w1|+|w2|+|wn|,Am=|u1|+|u2|+|um|,Bm=|v1|+|v2|+|vm|.其中wk=(k=1,2,n)，m=maxi1,j1,i2,j2,in,jn，则必有SnAmBm.绝对收敛级数与的部分和数列A
6、m和Bm都有界，Sn有界，从而级数绝对收敛. 利用绝对收敛级数的可重排性，将绝对收敛级数按正方形顺序重排如下：u1v1+(u1v2+u2v2+u2v1)+(u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1)+，把每一括号作一项，得新级数：p1+p2+p3+pm+收敛，且与和数相同，其部分和Pm=AmBm. 即有Pm=AmBm=AmBm =AB. 得证！例2：证明：级数1+2r+(n+1)rn+(|r|1)绝对收敛，并求其和.证：等比级数=1+r+r2+rn+=(|r|N时，对一切正整数p，都有0)；(2) 都收敛.定理12.16：(狄利克雷判别法)若数列an单调递减，且an=0，又且级数的部分
7、和数列有界，则级数收敛.例3：证明：若数列an单调递减，且an=0，则级数和对任何x(0,2)都收敛.证：2sin(+)=sin+2sincosx+2sincos2x+2sincosnx= sin+(sinx-sin)+sin(n+)x-sin(n-)x=sin(n+)x. 当x(0,2)时，sin0, cot+.=-=sinnxcot+-.又-cot-1sinnxcot+-cot，即当x(0,2)时，的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数收敛. 2sin(-cot)=2sinsinx+2sinsin2x+2sinsinnx-cos= (cos-cosx) +cos(n-)x-cos(n+)
8、x-cos=-cos(n+)x. 当x(0,2)时，sin0, cot+.=cot-=. 又- csc=csc，即当x(0,2)时，的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数收敛. 注：作为例3的特例，级数和对一切x(0,2)都收敛.习题1、下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).解：(1)4)；又级数收敛，原级数绝对收敛.(2)=10；原级数发散.(3)当p0时，0；原级数发散；当p1时，；又级数(p1)收敛，原级数绝对收敛.当0p1时，令un=，则=1, =1，当n充分大时，即，从而1，即un+1un，un在n充分大后单调减.
9、又un=0(0(n2)，且发散，原级数不绝对收敛.又单调减且=0，原级数条件收敛.(7)记un=，则=，原级数绝对收敛.(8)记un=，则=|，当-exe时，0，0，原级数发散.2、应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：(1) (x0)； (2), x(0,2) (a0)；(3), x(0,).解：(1)当x0时，0=1，且=；若01，则1，即数列单调有界. 又级数收敛，由阿贝尔判别法知原级数收敛.(2)当a0时，数列单调递减，且=0，又当x(0,2)时，csc，即的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知原级数收敛.(3)数列单调递减，且=0，又当x(0,)，=+.又由2sinx=
10、4sin(2n+1)x-4sinx，得=+2，即对任意x(0,)，级数有界，根据狄利克雷判别法知原级数收敛.3、设anan+10 (n=1,2,)且an=0. 证明：级数收敛.证：由anan+10 (n=1,2,)且an=0知，单调减且趋于0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛.4、设pn=，qn=. 证明：若条件收敛，则级数与都是发散的.证：若条件收敛，则发散，=+，发散；=-，发散.5、写出下列级数的乘积：(1)； (2).解：(1)当|x|1时，两个级数均绝对收敛，乘积按对角线一般项为： wn=xn-1, 从而有w2m=x2m-1=-2m+(-1)m(m2+m)+2m+(-1)m-1(m2+m
11、)=0；w2m+1=x2m=x2m+=-x2m+x2m=- w2m+x2m=x2m=x2m(1-2+3-4+-2m+2m+1)=(m+1) x2m.=. (|x|1，又发散，存在n2n1，使u2=-，同理存在n3n2，使u3=-,ui+1=-，可得原级数的一个重排. ui,且发散，必发散.8、证明：级数收敛.证：记AL=n|=L, L=1,2,，显然AL中元素n满足L2n0(当L4时).当L4时, VL 是单调下降数列. 当nAL时，VL，可见VL=0，从而=收敛.设级数的部分和为SN，记级数的部分和为UM，则SN=，UM=，任一个SN均被包含在某相邻两个部分和UM, UM+1之间，即有|SN-UM|UM+1-UM|，由级数收敛，知UM+1-UM=0，SN-UM =0，即极限SN=UM=存在， 级数收敛.专心-专注-专业