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1、精选优质文档-倾情为你奉上黎曼勒贝格引理的推广张春林 数学与应用数学专业 05级基地班指导老师尹小玲 2006年8月摘要：本文主要是通过对黎曼-勒贝格引理的思考,从而得出更一般化的结论: 若在绝对可积，满足：（1）是以为周期的函数；（2）在一个周期内黎曼可积且 ，则有 1、引言黎曼-勒贝格引理如下：若在绝对可积，则 下面对该引理作一些直观上的分析思考.此结论看起来似乎不容易想象其过程，实际上，认真观察一下，还是能发现其中的玄机的。首先，注意到函数sinx和cosx 都是周期为T = 2的周期函数且，。考察g(x)sin(px), 当t 的变化量为时， sin(pt)经过了一个周期. 而(),
2、且由g(t)在a, b绝对可积, 可以想象若 不是瑕点, 有当然，这不是严格的数学证明，但至此，大家已经能较好地想象 的积分过程了。2、黎曼-勒贝格引理的推广由上，我们可以大胆地猜想以下结论：定理1 若g(t)在a, b 绝对可积，则对函数f(x), 只要满足（1） f(x)为周期函数（记周期为T）（2） f(x)在一个周期内黎曼可积且积分为零，即，就有为证明定理，对满足定理条件的函数，先给出几个引理。引理：在任意一个周期长度的区间的积分为，即有证明：因为 令有从而 。引理：，对任意的和，有 。证明：不妨设。令 有 。记，其中为正整数，则由引理1有因为是周期函数且在一个周期内黎曼可积，则有界，
3、即使得 ，故 , 令GMT引理2得证。下面给出定理的证明：因为是周期函数且在一个周期内黎曼可积，则有界，即使得 ，。先设在黎曼可积给以分法：记，则 其中为在的振幅，由黎曼可积知，对任给的，存在分法使得，对这个分法，是确定的数，只要 ，就有即 。再讨论在是绝对收敛的瑕积分的情形.不妨设瑕积分有唯一瑕点x=a, 则0，使得则对上述，由于在黎曼可积，由已证结论知 ，故存在，只要，有从而 ，故。定理证毕。对此结论进一步拓展，有下面的定理2。 定理2 若g(t)在a, b 绝对可积，则对函数f(x), 只要满足（1） f(x)为周期函数（记周期为T）（2） f(x)在一个周期内黎曼可积且积分则有 事实上，只要令h(x) = f(x), 则h(x)满足定理1的条件，（因为从而 故 。参考书目：1数学分析简明教程邓东皋，尹小玲。高等教育出版社，1999年第1版。专心-专注-专业