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1、精选优质文档-倾情为你奉上第十七章 隐函数定理及其定理1隐函数一、隐函数的概念设ER2,函数F:ER2.如果存在集合I,JE,对任何xI, 有惟一确定的yJ, 使得(x,y)E, 且满足方程F(x,y)=0, 则称F(x,y)=0确定了一个定义在I上, 值域含于J的隐函数. 若把它记为y=f(x), xI, yJ, 则有F(x,f(x)0, xI.注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1.二、隐函数存在性条件的分析隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线，要使隐函数存在，至少要存在点P0(x0,y0), 使F(x0,y0)=0, y0=f(x0).要
2、使隐函数y=f(x)在点P0连续，需F在点P0可微，且(Fx(P0),Fy(P0)(0,0),即曲面z=F(x,y)在点P0存在切平面.要使隐函数y=f(x)(或x=g(y)在点P0可微, 则在F可微的假设下，通过F(x,y)=0在P0处对x求导，由链式法则得：Fx(P0)+Fy(P0)=0.当Fy(P0)0时，可得=-, 同理，当Fx(P0)0时，可得=-.三、隐函数定理定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：(1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域DR2上连续；(2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)；(3)F在D内存在连续的偏导数Fy(x,y)；
3、(4)Fy(x0,y0)0. 则1、存在点的P0某邻域U(P0)D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-,x0+)上的(隐)函数y=f(x), 使得当x(x0-,x0+)时，(x,f(x)U(P0), 且F(x,f(x)0, y0=f(x0)；2、f(x)在(x0-,x0+)上连续.证：1、由条件(4), 不妨设Fy(x0,y0)0(若Fy(x0,y0)0. 对每个固定的xx0-,x0+,F(x,y)作为y的一元函数，必定在y0-,y0+上严格增且连续.由初始条件(2)可知F(x0,y0-)0. 又由F的连续性条件(1),知F(x,y0-)与F(x,y0+)在
4、x0-,x0+上也是连续的，由保号性知，存在0, 当x(x0-,x0+)时，恒有F(x,y0-)0.如图，在矩形ABBA的AB边上F取负值，在AB边上F取正值. 对(x0-,x0+)上每个固定值,同样有F(,y0-)0. 又F(,y)在y0-,y0+上严格增且连续,由介值性定理知存在唯一的(y0-,y0+), 满足F(,)=0.又由在(x0-,x0+)中的任意性，证得存在惟一的隐函数y=f(x), 它的定义域为(x0-,x0+), 值域含于(y0-,y0+), 若记U(P0)=(x0-,x0+)(y0-,y0+), 则y=f(x)在U(P0)上即为所求.2、对于(x0-,x0+)上的任意点,
5、=f(). 则由上述结论可知,y0-0, 且足够小，使得y0-+y0+.由F(,)=0及F(x,y)关于y严格递增，可得F(,-)0.根据保号性，知存在的某邻域(-,+)(x0-,x0+), 使得当x(-,+)时，同样有F(x,-)0, 存在惟一的y,使得F(x,y)=0,即y=f(x), |y-|, 即当|x-|时, |f(x)-f()|,f(x)在连续. 由的任意性知，f(x)在(x0-,x0+)上连续.注：1、定理18.1的条件仅充分，非必要；如：方程y3-x3=0, 在点(0,0)不满足条件(4)(Fy(0,0)=0),但仍能确定惟一的连续的隐函数y=x.而双纽线F(x,y)=(x2+
6、y2)2-x2+y2=0, 虽然F(0,0)=0, F与Fy均连续，满足条件(1),(2),(3),但Fy(0,0)=0, 致使其在原点无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一的隐函数.2、条件(3)和(4)可以减弱为“F在P0的某一邻域上关于y严格单调”.3、如果把条件(3),(4)改变Fx(x,y)连续，且Fx(x0,y0)0，则结论是存在惟一的连续隐函数x=g(y).定理18.2：(隐函数可微性定理)设F(x,y)满足隐函数存在惟一性定理的所有条件，又设在D上还存在连续的偏导数Fx(x,y), 则方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)在其定义域(x0-,x0+)上有连续导函数，且f(x
7、)=-.证：设x,x+x(x0-,x0+)；y=f(x)与y+y=f(x+x)(y0-,y0+),F(x,y)=0,F(x+x,y+y)=0, 由Fx,Fy的连续性及二元函数中值定理有,0=F(x+x,y+y)-F(x,y)=Fx(x+x,y+y)x+Fy(x+x,y+y)y, 01, =-, 右端是连续函数Fx,Fy,f的复合函数,且在U(P0)上,Fy(x,y)0，f(x)=-, 且f(x)在(x0-,x0+)上连续.注：1、若已知F(x,y)=0存在连续可微的隐函数，则可对其应用复合函数求导法得到隐函数的导数. 即把F(x,f(x)看作F(x,y)与y=f(x)的复合函数时，有Fx(x,
8、y)+Fy(x,y)y=0, 由Fy(x,y)0可推得f(x)=-.2、若函数F存在相应阶数的连续高阶偏导数，可通过上面同样的方法求得隐函数的高阶导数. 如：对Fx(x,y)+Fy(x,y)y=0继续应用复合函数求导法则，可得Fxx+Fxyy+(Fyx+Fyyy)y+Fy(x,y)y=0, 就可以得到隐函数的二阶导数：y”=； 也可以直接对f(x)=- 求导得到. 继续求导就可以得到隐函数相应阶数的连续导数.隐函数的极值问题：利用隐函数的求导公式：y=- 及y”=, 求得由F(x,y)=0确定的隐函数y=f(x)的极值：(1)求y为0的点(驻点)A，即方程组F(x,y)=0, Fx(x,y)=
9、0的解；(2)在A处Fx=0, y”|A=-|A；(3)由y”|A0),判断隐函数y=f(x)在xA处取得极大值(极小值)yA.定理18.3：若(1)函数F(x1,xn,y)在以点P0(,y0)为内点的区域DRn+1上连续；(2)F(,y0)=0；(3)偏导数,Fy在D上存在且连续；(4)Fy(,y0)0. 则1、存在点P0的某邻域U(P0)D，在U(P0)上方程F(x1,xn,y)=0惟一地决定了一个定义在Q0(,)的某邻域U(Q0)Rn上的n元连续(隐)函数y=f(x1,xn),使得当(x1,xn)U(Q0)时,(x1,xn,f(x1,xn)U(P0), 且F(x1,xn,f(x1,xn)
10、0, y0=f(,)；2、f(x1,xn)在U(Q0)上有连续偏导数,且=-,=-.四、隐函数求导举例例1：讨论方程F(x,y)=y-x-siny=0所确定的隐函数的连续性和可导性. 解：F, Fx=-1, Fy=1-cosy在平面上任一点都连续，且F(x,y)=0,Fy(x,y)0, 该方程确定了一个连续可导的隐函数y=f(x), 且f(x)=-= =.例2：讨论笛卡儿叶形线x3+y3-3axy=0 (a0)所确定的隐函数y=f(x)的一阶与二阶导数，并求隐函数的极值.解：令F=x3+y3-3axy (a0), 当Fy=3y2-3ax=0时，x=y=0, 或x=a, y=a;即，除了(0,0
11、), (a,a)外，方程在其他各点附近都确定隐函数y=f(x).Fx=3x2-3ay, y=-=-=. 又Fxx=6x, Fxy=-3a, Fyy=6y, 2FxFyFxy=-54a(y2-ax)(x2-ay), Fy2Fxx=54x(y2-ax)2, Fx2Fyy=54y(x2-ay)2,y”=-.由x3+y3-3axy=0和x2-ay=0得，隐函数y=f(x)的驻点A(a,a).y”|A=-|A =-0), 求,；(5)x2+y2+z2-2x+2y-4z-5=0, 求,；(6)z=f(x+y+z,xyz), 求,.解：(1)解法一：记F=x2y+3x4y3-4,Fx=2xy+12x3y3,
12、 Fy=x2+9x4y2, =-=-=-.解法二：方程两边对x求导得：2xy+x2+12x3y3+9x4y2=0,=-=-.(2)两边对x求导得=,化简得：x+y= x-y, = (xy).(3)两边对x求偏导数得-ye-xy+2-ez=0, =.两边对y求偏导数得-xe-xy+2-ez=0, =. (4)令F(x,y)=a+-ye, 由原方程得：eu=,则Fy=-eu+yeu=-(1-)=,Fx=-eu=-,=-=-.=-=+=.(5)两边对x求关于z的偏导数得：2x+2z-2-4=0, =.两边对y求关于z的偏导数得：2y+2z+2-4=0, =.(6)两边对x求关于z的偏导数得：=f1(
13、1+)+f2(yz+xy), =.两边对y求关于x的偏导数得：0=f1(+1)+f2(xz+yz), =-.两边对z求关于y的偏导数得：1=f1(+1)+f2(xy+xz), =.4、设z=x2+y2,而y=f(x)为由方程x2-xy+y2=1确定的隐函数,求及.解：x2-xy+y2=1两边对x求导得：2x-y-x+2y=0, =.=2x+2y=; =+.5、设u=x2+y2+z2, z=f(x,y)为由x3+y3+z3=3xyz确定的隐函数,求ux及uxx.解：3x2+3z2zx=3yz+3xyzx, zx=. ux=2x+2zzx=2x+.uxx=2+=.6、设F(x,y,z)可以确定连续
14、可微隐数: x=x(y,z), y=y(z,x), z=z(x,y).试证：=-1.(偏导数不再是偏微分的商！)证：=-; =-;=-; =-=-1.7、求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：(1)x+y+z=e-(x+y+z), 求z对于x,y的一阶与二阶偏导数；(2)F(x,x+y,x+y+z)=0, 求,.解：(1)1+zx=-(1+zx)e-(x+y+z), zx=-1, zxx=0; 同理zy=-1, zyy=0.(2)F1+F2+F3(1+)=0, =-；又F2+F3(1+)=0, =-；=-+=-+=-8、证明：设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数，则当Fy
15、0时，有Fy3y”=.证：当Fy0时，y=-, y”=(2FxFyFxy -Fy2Fxx-Fx2Fyy)Fy-3, Fy-3y”=2FxFyFxy-Fy2Fxx-Fx2Fyy=.9、设f是一元函数，试问应对f提出什么条件，方程2f(xy)=f(x)+f(y)在点(1,1)的邻域内就能确定出惟一的y为x的函数？解：记F(x,y)=f(x)+f(y)-2f(xy)=0, 则Fx=f(x)-2yf(xy), Fy=f(y)-2xf(xy),Fy(1,1)=f(1)-2f(1)=-f(1)，又当f(x)在x=1的某邻域内连续时，F,Fx,Fy在(1,1)的某邻域内连续. 只需添加条件：f(x)在x=1的某邻域内连续，且f(1)0，则方程2f(xy)=f(x)+f(y)就能惟一确定y为x的函数.专心-专注-专业