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1、精选优质文档-倾情为你奉上第 八 章 不 定 积 分1 不定积分概念与基本积分公式 正如加法有其逆运算减法 , 乘法有其逆运算除法一样 , 微分法也有它的逆运 算积分法 .我们已经知道 , 微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它 的导函数 , 那么与之相反的问题是 : 求一 个未 知函 数 , 使其导 函数 恰好是 某一 已 知函数 .提出这个逆问题 , 首先是因为它出现在许多实际问题之中 .例如 : 已知速 度求路程 ; 已知加速度求速度 ; 已知曲线 上每一 点处 的切线 斜率 ( 或斜率 所满 足 的某一规律 ) , 求曲线方程等等 .本章与 其后两 章 ( 定 积分与 定积 分的
2、应用 ) 构 成 一元函数积分学 .一 原函数与不定积分定义 1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义 .若F( x ) =f ( x) , x I ,则称 F 为 f 在区间 I 上的一个原函数 .专心-专注-专业- 1例如 , 13x3 是 x2 在 ( - , + ) 上的一个 原函数 , 因为 ( 13 1x3 )= x2 ; 又 如2 cos 2 x 与 -2 cos 2 x + 1 都是 sin 2 x 在 ( - , + ) 上的原函数 , 因为( - 1 cos 2 x )= ( - 1 cos 2 x + 1)= sin 2 x .22如果这些简单的例子都可从基本求导公
3、式反推而得的话 , 那么F( x ) =xarctan x - 1 ln(1 + x2 )2是 f ( x) = arctan x 的一个原函数 , 就不那样明显了 .事实上 , 研究原 函数必须 解 决下面两个重要问题 :1 . 满足何种条件的函数必定存在原函数 ? 如果存在 , 是否唯一 ?2 . 若已知某个函数的原函数存在 , 又怎样把它求出来 ?关于第一个问题 , 我们用下面两 个定 理来回 答 ; 至于 第二 个问题 , 其 解答 则 是本章接着要介绍的各种积分方法 .178第八章 不 定 积 分定理 8 .1 若函数 f 在区间 I 上连续 , 则 f 在 I 上存在原函数 F ,
4、 即 F( x)= f ( x) , x I .本定理要到第九章5 中才能获得证明 .由于初等函数为连续函数 , 因此每个初等函数都有原函数 ( 只是初等函数的 原函数不一定仍是初等函数 ) .当然 , 一个函数如果存在间断点 , 那么此函数在其 间断点所在的区间上就不一定存在原函数 ( 参见本节习题第 4 题 ) .定理 8 .2 设 F 是 f 在区间 I 上的一个原函数 , 则( i)F + C 也是 f 在 I 上的原函数 , 其中 C 为任意常量函数 ; ( ii)f 在 I 上的任意两个原函数之间 , 只可能相差一个常数 . 证 ( i) 这是因为 F( x ) + C= F( x
5、 ) = f ( x ) , x I .( ii) 设 F 和 G 是 f 在 I 上的任意两个原函数 , 则有 F( x ) -G( x ) = F( x) - G( x)=f ( x ) -f ( x ) = 0 , x I .根据第六章拉格朗日中值定理的推论 , 知道F( x ) - G( x) C, x I . 定义 2 函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f 在 I 上的不定积分 , 记作f ( x ) d x ,( 1)其中称为积分号 , f ( x ) 为被积函数 , f ( x) d x 为被 积表达式 , x 为积 分变量 . 尽管记号 (1 ) 中各 个部 分都 有其
6、 特定 的 名称 , 但 在使 用时 必 须 把它 们 看作 一 整 体 .由定义 2 可见 , 不定积分 与原 函数 是总 体 与个 体的 关系 , 即若 F 是 f 的 一 个原函数 , 则 f 的不定积分是一个函数族 F + C , 其中 C 是 任意常 数 .为方 便 起见 , 写作f ( x) d x = F( x ) + C .( 2)这时又称 C 为积分常数 , 它可取任一实数值 .于是又有f ( x) d x = F( x ) + C=f ( x ) ,( 3)df ( x ) d x = d F( x) + C =f ( x) d x .( 4)按照写法 (2 ) , 本节开
7、头所举的几个例子可写作这里 既把 C 看 作常量 函数 , 又 把它作 为该 常量 函数 的 函数 值 .在 不 致混 淆 时 , 以 后 常 说“ C 为 任意常数”.不 久可看 到 , 被积 表达式 可认 同为 f 的原函 数 F 的微分 , 即 d F = F( x ) d x = f ( x ) d x .1 不定积分概念与基本积分公式179x2 d x = 13x3 + C,sin 2 x d x = - 1 cos 2 x + C,2arctan x d x =x arctan x - 1 ln( 1 + x2 ) + C .2此外 , 一个函数“ 存在不定积分”与“ 存在原函数”
8、显然是等同的说法 .不定积分的几何意 义 若 F 是 f 的一 个原 函数 , 则称 y = F( x ) 的 图象 为 f 的 一条 积分 曲 线 .于 是 , f 的不 定积 分在 几何 上 表示 f 的某 一 积分曲线沿纵轴方 向任 意 平移 所得 一切 积分 曲 线组成的曲线族 ( 图 8 - 1 ) .显然 , 若在 每一 条积 分曲线上横坐标相同的点处作切线 , 则这些切线 互相平行 .在求原函数的具体问题中 , 往往先求出全体 原函数 , 然后 从 中 确 定一 个 满 足 条 件 F ( x0 ) =图 8 - 1y0 ( 称为初始条件 , 它由具体问题所规定 ) 的原函数 ,
9、 它就是积分曲线族中通过点 ( x0 , y0 ) 的那一条积分曲线 .例如 , 质点作匀加速直线运动时 , a( t ) = v( t) = a , 则v( t) =ad t = at + C .若已知 v( t0 ) = v0 , 代入上式后确定积分常数 C = v0 - at0 , 于是就有v( t ) = a( t -t0 ) + v0 .又因 s( t) = v( t ) , 所以又有s( t) = a( t - t0 ) + v0 d t= 122 a( t - t0 )+ v0 t + C1 .若已知 s( t0 ) = s0 , 则 C1 = s0 - v0 t0 , 代入上式
10、得到s( t) = 1 a( t -t0 )2 + v0 ( t -t0 ) + s0 .2二 基本积分表怎样求原函数 ? 读者很快就会发现 这要 比求 导数困 难得 多 .原因在 于原 函 数的定义不像导数定义那样具有构造性 , 即 它只 告诉 我们其 导数 恰好等 于某 个 已知函数 f , 而没有指出怎样由 f 求 出它 的原函 数的 具体 形式和 途径 .因 此 , 我180第八章 不 定 积 分们只能先按照微分法的已知结果去试探 .首先 , 我们把基本导数公式改写成基本积分公式 :1.2.0d x = C .1d x =d x =x + C .+ 13.xd x = x + 1+ C
11、 ( - 1 , x 0) .4.5. 1 d x = ln | x | + C ( x 0) . xe x d x = ex + C .6.ax d x = a xln a+ C ( a 0 , a 1 ) .7.8.9.10 .11 .12 .cos ax d x = 1 sin ax + C ( a 0 ) .asin ax d x = - 1 cos ax + C ( a 0 ) .asec2 x d x = tan x + C .csc2 x d x = - cot x + C .sec x tan x d x = sec x + C .csc xcot x d x = - csc
12、x + C .13 . d x1 -x2= arc sin x + C = - arccos x + C1 .14 . d x1 + x2= arctan x + C = - arccot x + C1 .上列基本积分公式 , 读者必须牢牢记住 , 因为其他函数的不定积分经运算变 形后 , 最后归为这些基本不定积分 .当然 , 仅有这些基本公式是不够用的 , 即使像 ln x , tan x , cot x , sec x , csc x , arcsin x , arctan x 这样一 些基 本初 等函数 , 现 在 还不知道怎样去求得它们的原函数 .所以我 们还 需要 从一些 求导 法则
13、去 导出 相 应的不定积分法则 , 并逐步扩充不定积分公式 .公 式 4 适 用于不 含坐 标原点 的任何 区间 , 读 者容 易验证( ln | x | + C)= 1 , x 0 .x1 不定积分概念与基本积分公式181最简单的是从导数线性运算法则得到不定积分的线性运算法则 :定理 8 .3 若函数 f 与 g 在 区 间 I 上 都存 在 原函 数 , k1 、k2 为 两 个任 意 常 数 , 则 k1 f + k2 g 在 I 上也存在原函数 , 且 k1 f ( x ) + k2 g( x) d x =k1 证 这是因为f ( x) d x + k2g( x ) d x .( 5)
14、k1f ( x ) d x + k2g( x) d x =k1f ( x ) d x + k2g( x) d x =k1 f ( x) + k2 g( x) . 线性法则 (5 ) 的一般形式为nn ki fi ( x )d x = kifi ( x) d x.( 6)i = 1i = 1 根据上述线性运算法则和基本积分公式 , 可求得一些简单函数的不定积分 .nn - 1例 1 p( x) = a0 x + a1 x+ an - 1 x + an .p ( x ) d x = a0xn + 1 + a1 xn + an - 1 x2 + ax + C .n + 1n2n4 例 2 x+ 1d
15、 x =( x2 - 1 + 2) d xx2 + 1= 133 xx2 + 1-x + 2 arctan x + C .22=例 3d xcos2 x sin2 xcos x + sin x cos2 x sin2 x d x=( csc2 x + sec2 x ) d x = - cot x + tan x + C . 例 4 cos 3 x sin x d x = 1( sin 4 x - sin 2 x) d x2= 12 ( - 14 cos 4 x + 12 cos 2 x ) + C= - 1 8( cos 4 x - 2cos 2 x ) + C .例 5 ( 10 x - 1
16、0 - x ) 2 d x =(102 x + 10 - 2 x - 2 ) d x= (102 ) x + (10 - 2 ) x - 2 d x= 12 x2 ln10 ( 10- 10- 2 x) - 2 x + C .习 题1 . 验证下列等式 , 并与 ( 3) 、(4 )两式相比照 :182第八章 不 定 积 分 ( 1)f( x) d x = f ( x ) + C; ( 2)d f ( x) = f ( x) + C .2 . 求一曲线 y = f ( x ) , 使 得 在 曲 线 上 每 一 点 ( x , y ) 处 的 切 线 斜 率 为 2 x , 且 通 过 点(2
17、 , 5) .23 . 验证 y = x sgn x 是 | x | 在 ( - , + ) 上的一个原函数 .24 . 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数 ?5 . 求下列不定积分 : ( 1)(1 - x + x3 - 1) d x; (2 )( x - 1 )2 d x ;3x2x ( 3) d x 2 gx( g 为正常数 ) ;(4 )(2 x + 3 x )2 d x ;2 ( 5) 3d x;(6 ) xd x;4 - 4 x23(1 + x2 ) ( 7) ( 9)tan2 xd x ;(8 ) cos 2 xcos x - sin x d x ;(10)s
18、in2 x d x ; cos 2 xcos2 x sin2 x d x; ( 11)10 t 32 t d t ;(12)xxx d x ;1 - x + ( 13)1 + x1 - xd x ;(14)1 + x( cos x + sin x)2d x ; ( 15)cos x cos 2 xd x ;(16)( ex - e - x ) 3 d x .2 换元积分法与分部积分法一 换元积分法由复合函数求导法 , 可以导出换元积分法 .定理 8 .4 ( 换元积分法 ) 设 g( u ) 在 , 上有 定义 , u = ( x) 在 a , b 上 可导 , 且 ( x ) , x a ,
19、 b , 并记f ( x ) = g( ( x ) ) ( x ) , x a, b . ( i) 若 g( u) 在 , 上存在原函数 G( u ) , 则 f ( x ) 在 a , b 上 也存在原 函 数 F( x ) , F( x) = G( ( x) ) + C, 即f ( x) d x =g ( x) ) ( x) d x =g( u ) d u= G( u) + C =G( ( x) ) + C .( 1) ( ii) 又若 ( x ) 0 , x a , b , 则上述命题 ( i ) 可逆 , 即当 f ( x ) 在 a , b 上2 换元积分法与分部积分法183存在原函
20、 数 F ( x ) 时 , g ( u ) 在 , 上 也 存 在 原 函 数 G ( u ) , 且 G ( u ) =F( - 1 ( u) ) + C, 即g( u) d u =g ( x) ) ( x) d x =f ( x ) d x= F( x) + C = F(- 1 ( u) ) + C .( 2) 证 ( i) 用复合函数求导法进行验证 : d d x G( x) ) =G( ( x ) ) ( x )= g( ( x ) ) ( x ) =f ( x) .所以 f ( x) 以 G( ( x) ) 为其原函数 , (1 ) 式成立 .( ii) 在 ( x ) 0 的条件
21、下 , u = ( x ) 存在反函数 x = - 1 ( u ) , 且于是又能验证 (2 ) 式成立 :d xd u = 1( x )x =- 1.( u ) d- 1 1 1d u F( ( u) ) = F( x) ( x ) =f ( x ) ( x )= g( ( x ) ) ( x) 1( x)= g( ( x ) ) =g( u ) . 上述换元积分法中的公式 (1 ) 与 ( 2) 反映了正、逆两种换元方式 , 习惯上分别 称为第一换元积分法和第二换元积分法 ( 公式 ( 1) 与 ( 2) 分别 称为 第一换 元公 式 与第二换元公式 ) .下面的例 1 至例 5 采用第一
22、换元 积分 法求 解 .在使用 公式 ( 1 ) 时 , 也 可把 它 写成如下简便形式 :g( ( x ) ) ( x ) d x =g( ( x ) ) d( x) =G( ( x) ) + C .( 1) 例 1 求ta n x d x .解 由tan x d x =sin x d x = -cos x ( cos x)cos xd x ,可令 u = cos x , g ( u ) = 1u, 则得utan x d x = -1 d u = - ln | u | + C= - ln | cos x | + C .2 例求d x a2 + x2( a 0 ) .184第八章 不 定 积
23、分解 d xd x 1 axa2 + x2 = a1 +2 ( 令 u =) xaa= 1a= 1 d u1 + u2 = x 1a arctan u + Ca arctan a + C .对换元积分法较熟练后 , 可以不写出换元变量 u , 而直接使用公式 (1) .例 3 求d xa2 -x2( a 0) .d x解 d x= 1 d x aa2a2 -x2=1 -x1 -a x2a= arcsin xa+ C .4例求d xx2 -a2( a 0 ) .解 d x1x2 -a2 = 2 a 1x -a - 1x + a d x= 1d( x -a)d( x + a)2 a x -a- x
24、 + a= 1 2 aln | x -a | - ln | x + a |+ C= 1 2 a ln例 5 求sec x d x . x -ax + a+ C .解 解法一 利用例 4 的结果可得sec x d x =cos x d x =d( sin x)cos2 x1 - sin2 x= 11 + sin x 解法二 2 ln 1 - sin x+ C .sec x d x =sec x( sec x + tan x)sec x + tan xd x=d( sec x + tan x )sec x + tan x2 换元积分法与分部积分法185= ln | sec x + tan x |
25、+ C .这两种解法所得结果只是形式上的不同 , 请读者将它们统一起来 .从以上几例看到 , 使用第一换 元积 分法的 关键 在于 把 被积 表达 式 f ( x) d x凑成 g( ( x ) ) ( x ) d x 的 形 式 , 以 便 选 取 变 换 u = ( x ) , 化 为 易 于 积 分 的g( u ) d u . 最终不要忘记把新引入的变量 ( u) 还原为起始变量 ( x) .第二换元公式 (2 ) 从形式上看是公 式 ( 1 ) 的逆 行 , 但目的 都是 为了化 为容 易 求得原函数的形式 ( 最终同样不要忘记 变量还 原 ) .以下例 6 至例 9 采用 第二 换
26、元积分法求解 .3例 6 求d u.u +u解 为去掉被积函数中的根式 , 取根次数 2 与 3 的 最小公倍数 6 , 并 令 u =x6 , 则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分 :5d u 6 x2 13u +u=3x+ x32 d x = 6 ( x2-x + 1 -x + 1) d x= 6x 3- x 2+ x - ln | x + 1 |+ C366= 2u - 3u + 6u - 6ln |u + 1 | + C . 例 7 求 a2 -x2 d x ( a 0) .解 令 x = asin t , | t | 0) .解 令 x = asec t , 0 t 0) .解
27、令 x = a tan t , | t | , 于是有22d x asec t 12( x2 + a2 ) 2 =a4 sec4 td t =3= 1 a3costd t( 1 + cos 2 t ) d t2 a = 1 ( t + sin t cos t ) + C2 a3图 8 - 3= 1x2 a3arctan a + axx2 + a2+ C . 有些不定积分还可采用两种换元方法来计算 .例 10 求d x.x2x2 - 1 解 解法一 采用第一换元积分法 :d x=d x=1 - 1 d 1x2x2 - 1x31 -1x2x1 -1xx2= -u1 -u2d u =1 -u2 +
28、C= 12xx- 1 + C . 解法二 采用第二换元积分法 ( 令 x = sec t ) :d x=sec ttan t d t =cos td tx2x2 - 1sec2ttan t= sin t + C = 1xx2 - 1 + C .2 换元积分法与分部积分法187二 分部积分法由乘积求导法 , 可以导出分部积分法 .定理 8 .5 ( 分部积分法 ) 若 u ( x) 与 v( x ) 可导 , 不定 积分u( x) v( x) d x存在 , 则u ( x ) v( x) d x 也存在 , 并有u ( x) v( x) d x = u( x ) v ( x ) -u( x )
29、v ( x ) d x .( 3) 证 由 或 u( x ) v ( x ) =u( x ) v( x ) + u ( x) v( x)u( x ) v( x ) = u ( x) v( x) -u( x) v( x) ,对上式两边求不定积分 , 就得到 ( 3) 式 . 公式 (3 ) 称为分部积分公式 , 常简写作ud v = uv -vd u .( 4) 例 11 求x cos x d x .解 令 u = x , v= cos x , 则有 u= 1 , v = sin x .由公式 ( 3) 求得x cos x d x =xsin x -sin x d x 例 12 求arctan
30、x d x .=xsin x + cos x + C .解 令 u = arctan x , v= 1 , 则 u= 1, v = x , 由公式 ( 3) 求得1 + x2arctan xd x =x arctan x - xd x1 + x2 例 13 求x3 ln x d x.=x arctan x - 1 ln (1 + x2 ) + C .2解 令 u = ln x , v= x3 , 由公式 (4 ) 则有44x3 ln x d x =ln x d x = 1434x ln x -x d x4= x 16 (4 ln x - 1 ) + C .188第八章 不 定 积 分 有时需要
31、接连使用几次分部积分才 能求 得结 果 ; 有些还 会出 现与原 不定 积 分同类的项 , 需经移项合并后方能完成求解 .现分别示例如下 .例 14 求x2 e - x d x.解 x2 e - x d x =x2 d( - e - x ) = -x2 e - x +2xe - x d x= -x2 e - x +2x d( - e - x )= -x2 e - x - 2 xe - x +2e - x d x= - e - x ( x2 + 2 x + 2) + C .例 15 求 I1 =e a x cos bx d x 和 I2 =e a x sin b x d x .解 I = 1co
32、s bx d( e a x ) = 1 ( ea x cos bx + be a xsin bx)1aa= 1a xa ( ecos bx + bI2 ) ,2a由此得到I= 1sin bx d( ea x ) = 1 ( ea xasin bx -bI1 ) .解此方程组 , 求得aI1 -bI2 = ecos bx , bI1 + aI2 = esin bx .a xa xa2 + b2+ C,a2 + b2+ C .I1 =e a x cos bx d x = bsin bx + acos bx I2 =e a x sin bx d x = asin bx -bcos bx习 题1 . 应用换元积分法求下列不定积分: ( 1) ( 3)cos( 3 x + 4 )d x ; ( 2) d x;( 4)2 x + 12xe2 x d x ;(1 + x) n d x; ( 5) 1+ 1d x;( 6)22 x + 3 d x;3 - x21 - 3 x2 ( 7)8 - 3 x d x;( 8) d x;37 - 5 x2 换元积分法与分部积分法189 ( 9)xsin x2 d x ;( 10)d x;sin22 x + 4 ( 11)d x1 + cos x;( 12)d x;1 + sin x2