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1、精选优质文档-倾情为你奉上 三角形复习知识点1. 三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。知识点2.三角形的分类三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形（1） 按角分类底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形等腰三角形不等边三角形三角形(2) 按边分类例：如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形解题思路：根据角度来判断是哪一种三角形。答案B练习：如图，已知OA，P是射线ON上一动点（即P可在射来源:Zxxk.C
2、om线ON上运动），AON600，填空：（1）当OP 时，AOP为等边三角形；（2）当OP 时，AOP为直角三角形；（3）当OP满足 时，AOP为锐角三角形；（4）当OP满足 时，AOP为钝角三角形。答案：（1）；（2）或；（3）OP；（4）0OP或OP知识点3.三角形三条重要线段三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点：（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线在当ABC是锐
3、角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。例1、在ABC中，AC5，中线AD7，则AB边的取值范围是（ ）A、1AB29 B、4AB24 C、5AB19 D、9AB19解题思路：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅
4、助线的方法。选D例2、如图，ABC中，AB=AC，BAC和ACB的平分线相交于点D，ADC=130，求BAC的度数解题思路：因为AB=AC，AE平分BAC，所以AEBC(三线合一) 因为ADC=130，所以CDE=50，所以DCE=40，因为CD平分ACB，所以ACB=2DCE=80，所以B=ACB=80，BAC=180-B+ACB=20练习1、如图，在ABC中，A960，延长BC到D，ABC与ACD的平分线相交于，BC与CD的平分线相交于，依此类推，BC与CD的平分线相交于，则的大小是多少？来源:Zxxk.Com知识点4. 三角形的主要性质 (1)三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差
5、小于第三边 (2)三角形的三个内角之和等于3600 (3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和 来(4)三解形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角 (5)三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变例1已知一个三角形中两条边的长分别是、，且，那么这个三角形的周长的取值范围是（ ）A、 B、C、 D、解题思路：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。答案：B例2如图，已知ABC中，ABC450，ACB610，延长BC至E，使CEAC，延长CB至D，使DBAB，求DAE的度数。解题思路：用三角形内角和定理
6、和外角定理，等腰三角形性质，求出DE的度数，即可求得DAE的度数。略解：ABDB，ACCE来源:学科网 DABC，EACB DE（ABCACB）530 DAE1800（DE）1270练习1.若ABC的三边分别为、，要使整式，则整数应为 。2.纸片ABC中，A650，B750，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC内（如图），若1200，则2的度数为 。3.在ABC中，ABAC，D在AC上，且BDBCAD，则A的度数为（ ）A、300 B、360 C、450 D、720答案1. 偶数2. 600 3.B知识点5. 全等三角形 1定义 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫做对应顶点，
7、互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角 2性质 两全等三角形的对应边相等，对应角相等 3判定公理 (1)判定公理1(简称“边角边”或“SAS”) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2)判定公理2(简称“角边角”或“ASA”) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (3)判定公理3(简称“边边边”或“SSS”) 有三边对应相等的两个三角形全等 (4)判定4(推论，简称为“角角边”或“AAS”) 来源:学科网ZXXK有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 (5)判定5(斜边、直角边公理，简称“斜边、直角边”或“HL”) 有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等
8、全等三角形题型例析一、选择条件型例1如图，在ABC与DEF中，给出以下六个条件中（1）ABDE（2）BCEF（3）ACDF （4）AD（5）BE（6）CF，以其中三个作为已知条件，不能判断ABC与DEF全等的是（）（1）（5）（2）（1）（2）（3）（4）（6）（1）（2）（3）（4）解题思路：根据全等三角形的识别方法及给出的四个答案，一一加以辨别，因为用（SAS）识别法中，两边对应相等的话，一定要夹角对应相等，所以答案（）不能判断ABC与DEF全等二、补充条件型例2如图所示，在ABC和DCB中，ABDC，要使ABODCO，请你补充条件_（只要填写一个你认为合适的条件）解题思路：由AB=DC以
9、及图形隐含的对顶角相等：AOB=DOC可知，要使ABODCO，根据（AAS）识别法，直接可补充A=D或ABODCO间接可补充：ACDB评注：本题是一道结论开放性试题，由于全等三角形的识别方法有（SSS）（SAS）（ASA）（AAS）和直角三角形的（HL）识别法，因此，这类题目具有答案不唯一的特点在添加条件时，要结合图形，挖掘隐含的公共边、公共角、对顶角等条件三、结论选择型例3如图EF90，BCAEAF，给出下列结论：12；BECF；ACNABM；CDDN其中正确的结论是 （注：将你认为正确的结论都填上）解题思路：根据已知“EF90，BCAEAF”可得ABEACF，因此有EABFAC，BECF，
10、ACAB，所以、正确；因为CABBAC，BC ，ACAB，所以ACNABM，故也正确；根据条件，无法推出CDDN，故不正确所以，正确的结论是、评注：将多项选择以填空题的形式出现，是近几年出现的新题型，因答案的不唯一，加大了问题的难度，我们只有对所给的选项一一排查，才能得到正确的答案四、结论探究型例4如图，已知CDAB，BEAC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O，且AO平分BAC，那么图中全等三角形共有 对解题思路：在ADO与AEO，根据条件：CDAB，BEAC，AO平分BAC及隐含的条件AOAO（公共边），得到ADOAEO（AAS）；从而得到ADAE，故RtADCRtAEB（HL）；进一步
11、可推得ABOACO（SAS），BDOCEO（AAS），因此，图中全等三角形共有4对五、自编组合型例5如图，在ABC和DEF中，D，E，C，F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明ABDE，ACDF，ABCDEF，BECF已知：求证：证明：解题思路：题中给出的四个等量关系，以其中三个为条件，另一个作为结论，总共可组成的命题（不论真假）有：共4个命题，其中真命题有2个，或，选择其中一个，不难完成题目的解答解：如证明：BECFBCEF又ABDE， ACDFBACDEF（SSS）ABCDEF六、运动变化型例6在ABC中，ACB=90，AC=
12、BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=ADBE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=ADBE；CBAED图1NMABCDEMN图2ACBEDNM图3（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明证明：（1） ACD=ACB=90，CAD+ACD=90 ，BCE+ACD=90，CAD=BCE，AC=BC，ADCCEBADCCEB，CE=AD，CD=BE，DE=CE+CD=AD+BE（2）ADC=CEB=ACB=90，ACD=CBE
13、，又AC=BC，ACDCBE，CE=AD，CD=BE，DE=CECD=ADBE（3）当MN旋转到图3的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是DE=BEAD（或AD=BEDE，BE=AD+DE等）ADC=CEB=ACB=90，ACD=CBE，又AC=BC，ACDCBE，AD=CE，CD=BE，DE=CDCE=BEAD 评注：本题以直线MN绕点C旋转过程中与ABC的不同的位置关系为背景设置的三个小题，第（1）（2）小题为证明题，第（3）小题为探索性问题，考查同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力，试题的设计层层递进，为发现规律、证明结论设计了可借鉴的过程，通过前面问题解决
14、过程中所提供的思想方法，去解决类似相关问题，考查了同学们的后续学习的能力 七、应用型例7如图，将两根钢条，的中点O连在一起，使，可以绕着点0自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定的理由是（） 边角边 角边角 边边边 角角边解题思路：新的数学课程标准加强了数学知识的实践与综合应用，从各地的中考应用题可以看出，它已不再局限于传统而古老的列方程（组）解应用题这类题目，而是呈现了建模方式多元化的新特点，几何应用题就是其中之一本题利用全等三角形来解决实际中的工件的测量问题，其理论依据是“边角边”，故答案为考查目标一、三角形的有关性质例1（2009年济宁市）如图，ABC中，A70，
15、B60，点D在BC的延长线上，则ACD等于A. 100 B. 120 C. 130 D. 150解题思路： 运用三角形外角的性质，答案C 例2(2009年义乌)如图，在中，EF/AB,则的度数为（ ） A B. C. D. 解题思路： 运用三角形内角和定理，答案D 例3（2009年湖北十堰市）下列命题中，错误的是（ ）A三角形两边之和大于第三边 B三角形的外角和等于360C三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形解题思路：等边三角形不是中心对称图形，答案D 考查目标二、三角形三边关系例1长为2，3，5的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三
16、角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？解题思路：可以，设延伸部分为，则长为，的三条线段中，最长， 只要，长为，的三条线段可以组成三角形 设长为的线段所对的角为，则为ABC的最大角 又由 当，即时，ABC为直角三角形。例2(2009年温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A1cm， 2cm， 35cm B4cm， 5cm， 9cmC5cm，8cm， 15cm D6cm，8cm， 9cm解题思路：三角形任意两边之和大于第三边 答案：D练习：已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）A4cmB5cmC6cm D13cm答案：C考查目标三、三角形全等例1（2009年浙江省绍兴市）如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处若，则等于（ ）A B C D解题思路：折叠前后的两个三角形全等，,CD=DP=AD,再利用三角形中位线定理，答案B来源:学科网CAB例2、（2009陕西省太原市）如图，=30，则的度数为（ ）A20 B30C35 D40解题思路：，选BDCBAO1234例3（2008年苏州）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，12，34求证：（1）ABCADC；（2）BODO解题思路：证明：（1）在ABC和ADC中ABCADC（2）ABCADC，ABAD又12，BODO专心-专注-专业