《初升高衔接资料---学生版(共28页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初升高衔接资料---学生版(共28页).doc（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上初高中数学衔接教材目录1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1. 分式12 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）22 一元二次不等式23 二次函数在闭区间上求最值24 一元二次方程根的分布1.1 数与式的运算1.1绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离例1 解不等式：4解法一：由，得；由，得；若，
2、不等式可变为，即4，解得x0，又x1，x0；若，不等式可变为，即14，不存在满足条件的x；若，不等式可变为，即4， 解得x4又x3，x4解法二：如图111，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|x3|所以，不等式4的几何意义即为|PA|PB|4由|AB|2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧13ABx04CDxP|x1|x3|图111综上所述，原不等式的解为 x0，或x4练 习1填空：（1）若，则x=_；若，则x=_.（2）如果，且，则b_；若，则c_.2
3、选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则3化简：|x5|2x13|（x5）1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 ；（4）两数和立方公式 ；（5）两数差立方公式 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例1 计算：解法一：原式= = =解法二：原式= = =例2 已知，求的值解： 练 习1填空：（1）（ ）；（2） ；（3） 2选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）（A
4、） （B） （C） （D）（2）不论，为何实数，的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 1.1.3二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，等是有理式1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等 一般地，与，与，与互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去
5、分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式的意义例1 将下列式子化为最简二次根式：（1）； （2）； （3）解： （1）； （2）； （3）例2计算：专心-专注-专业解法一： 解法二： 例3 试比较下列各组数的大小：（1）和； （2）和.解： （1）， ，又， （2） 又 42， 42， .例4化简：解：
6、 例 5 化简：（1）； （2） 解：（1）原式 （2）原式=， 所以，原式例 6 已知，求的值 解：，练 习1填空：（1）_ _；（2）若，则的取值范围是_ _ _；（3）_ _；（4）若，则_ _2选择题：等式成立的条件是 （ ）（A） （B） （C） （D）3若，求的值4比较大小：2 （填“”，或“”）1.1.分式 1分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式当M0时，分式具有下列性质：； 上述性质被称为分式的基本性质2繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1若，求常数的值解： ， 解得 例2（1）试证：（其中n是正整数）； （2）计算：； （3）证明：对任意
7、大于1的正整数n， 有（1）证明：， （其中n是正整数）成立（2）解：由（1）可知 （3）证明： ， 又n2，且n是正整数， 一定为正数， 例3设，且e1，2c25ac2a20，求e的值解：在2c25ac2a20两边同除以a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1，舍去；或e2 e2练 习1填空题：对任意的正整数n， ()；2选择题：若，则 （ ）（A） （B） （C） （D）3正数满足，求的值4计算习题11A 组1解不等式： (1) ； (2) ； (3) 已知，求的值3填空：（1）_；（2）若，则的取值范围是_；（3）_B 组1填空： （1），则_ _；（2）若，则_ _；2
8、已知：，求的值C 组1选择题：（1）若，则 （ ） （A） （B） （C） （D）（2）计算等于 （ ）（A） （B） （C） （D）2解方程3计算：4试证：对任意的正整数n，有12 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4） 解：（1）如图121，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)aybyxx图1242611图
9、1231211图12212xx图121 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图121中的两个x用1来表示（如图122所示）（2）由图123，得x24x12(x2)(x6)（3）由图124，得11xy图125 （4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如图125所示）2提取公因式法与分组分解法例2 分解因式： （1）； （2）解： （1）= = 或 （2）= =或 = = =3关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.例3把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）； （2）解： （1）令=0，则解得， = =（2）
10、令=0，则解得， =练 习1选择题：多项式的一个因式为 （ ）（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8； （2）8a3b3；（3）x22x1； （4）习题121分解因式：（1） ； （2）； （3）； （4）2在实数范围内因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）3三边，满足，试判定的形状4分解因式：x2x(a2a)2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为 因为a0，所以，4a20于是（1）当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当b24ac0时，方
11、程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1x2；（3）当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当0时，方程有两个相等的实数根 x1x2；（3）当0时，方程没有实数根例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x
12、30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0解：（1）3241330，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根， （3）由于该方程的根的判别式为a241(a1)a24a4(a2)2，所以，当a2时，0，所以方程有两个相等的实数根 x1x21；当a2时，0， 所以方程有两个不相等的实数根 x11，x2a1（3）由于该方程的根的判别式为2241a44a4(1a)，所以当0，即4(1a) 0，即a1时，方程有两个不相等的实数根 ， ； 当0，即a1时，方程有两个相等的实数根 x1x21； 当0，即a1时，方程没有实
13、数根说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根 ，则有 ； 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2这一关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q
14、，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2(x1x2)xx1x20例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值解法一：
15、2是方程的一个根，522k260，k7所以，方程就为5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一个根为，k的值为7解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一个根为，k的值为7例3 已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x2
16、2x1x221， (x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170， 解得 m1，或m17当m1时，方程为x26x50，0，满足题意；当m17时，方程为x230x2930，302412930，不合题意，舍去综上，m17说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例4 已知两个数的和为4，积为12，求这
17、两个数分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一：设这两个数分别是x，y，则 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或因此，这两个数是2和6解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120的两个根 解这个方程，得 x12，x26所以，这两个数是2和6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x23解：x1和x
18、2分别是一元二次方程2x25x30的两根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则，| x1x2| 于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的两
19、根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例6 若关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范围是a4练 习1选择题：（1）方程的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根（2）若关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 2填空:（1）若方程x23x10的两根分别是x1和x2，则 （2）方程m
20、x2x2m0（m0）的根的情况是 （3）以3和1为根的一元二次方程是 3已知，当k取何值时，方程kx2axb0有两个不相等的实数根？4已知方程x23x10的两根为x1和x2，求(x13)( x23)的值习题2.1A 组1选择题:（1）已知关于x的方程x2kx20的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法： 方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程3 x270的两根之和为0，两根之积为；方程3 x22x0的两根之和为2，两根之积为0其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C
21、）3个 （D）4个（3）关于x的一元二次方程ax25xa2a0的一个根是0，则a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程kx24x10的两根之和为2，则k （2）方程2x2x40的两根为，则22 （3）已知关于x的方程x2ax3a0的一个根是2，则它的另一个根是 （4）方程2x22x10的两根为x1和x2，则| x1x2| 3试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数B 组1选择题:若关于x的方程x2(k21) xk1
22、0的两根互为相反数，则k的值为 （ ） （A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若m，n是方程x22005x10的两个实数根，则m2nmn2mn的值等于 （2）如果a，b是方程x2x10的两个实数根，那么代数式a3a2bab2b3的值是 3已知关于x的方程x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求实数k的取值范围4一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根为x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x235关于x的方程x24xm0的两根为x1，x2满足| x1x2|2，求实数m的值C 组1选择题：（1
23、）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x28x70的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ） （A） （B）3 （C）6 （D）9（2）若x1，x2是方程2x24x10的两个根，则的值为 （ ） （A）6 （B）4 （C）3 （D）（3）如果关于x的方程x22(1m)xm20有两实数根，则的取值范围为 （ ） （A） （B） （C）1 （D）1 （4）已知a，b，c是ABC的三边长，那么方程cx2(ab)x0的根的情况是 （ ） （A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根2填空：若方程x28xm0的两根为x1，x2，且3x12x218
24、，则m 3 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根（1）是否存在实数k，使(2x1x2)( x12 x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k2，试求的值4已知关于x的方程（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|x1|2，求m的值及相应的x1，x25若关于x的方程x2xa0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围2.2 一元二次不等式及其解法知识点：（l）抛物线（a 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 =0
25、的判别式三种取值情况( 0，=0，0）来确定.因此，要分二种情况讨论（2）a0分O，=0，0与0的解集为x|-3x0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。【变式1】 若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.【变式2】若关于的不等式的解为一切实数，求的取值范围.【变式3】若关于的不等式的解集为非空集，求的取值范围.类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法例4解下列关于x的不等式（1）x2-2ax-a2+1； （2）x2-ax+10； （3）x2-(a+1)x+a0； 【变式1】解关于x的不等式：【变式2】解关于的不等式：（）例5解关于x的不等式：ax2(a+1)x+10。【变式1】解关于x的
26、不等式：(ax-1)(x-2)0； 【变式2】解关于x的不等式：ax22x-102.3二次函数在闭区间上的最值（1） 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 当时，可类比得结论。二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求
27、其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1. 函数在区间0，3上的最大值是_，最小值是_。练习. 已知，求函数的最值。2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例2. 如果函数定义在区间上，求的最值。例3. 已知，当时，求的最值对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当时 当
28、时 3、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例4. 已知，且，求函数的最值。例5. (1) 求在区间-1,2上的最大值。(2) 求函数在上的最大值。 （二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例7. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。例8.已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。例9. 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。二次函数在闭区间上的最值专题演练1函数在上的最小值和最大值分别是 （ ） 1 ,3 ,3 （C） ,3 （D）, 32函
29、数在区间 上的最小值是 （） 23函数的最值为 （）最大值为8，最小值为0不存在最小值，最大值为8 （C）最小值为0, 不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值4若函数的取值范围是_5已知函数上的最大值是1，则实数a的值为_. 6已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是 （ ） (A) (B) (C) (D) 7设求函数的最小值.8. 已知函数上具有单调性，求实数k的取值范围。9. 若函数恒成立，则a的取值范围（ ）A.B.C.D. 10. 已知函数内单调递减，则a取（ ）A.B.C.-3D.11. 已知函数上是单调函数，求k的取值范围。12. 已知函数上有最大值是3，最小值是2，求m的取值范围。13. 已知函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=_.14. 已知函数上的最小值为3，求a的值。15.求函数的单调区间。16. 已知函数下列定义域上的值域：（1）定义域为 （2）定义域为-2,1.17. 已知函数若，有恒成立，求a的取值范围。18. 已知函数，其中，求该函数的最大值与最小值。19已知二次函数的函数