《人教版七年级数学易错题、难题精选(学生版)(共59页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版七年级数学易错题、难题精选(学生版)(共59页).doc（59页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上1.4绝对值类型一：数轴1若|a|=3，则a的值是_2若x的相反数是3，|y|=5，则x+y的值为（）A8B2C8或2D8或23若=1，则a为（）Aa0Ba0C0a1D1a0【发现易错点】【反思及感悟】变式：4|2|的绝对值是_5已知a是有理数，且|a|=a，则有理数a在数轴上的对应点在（）A原点的左边B原点的右边C原点或原点的左边D原点或原点的右边6若ab0，则+的值为（）A3B1C1或3D3或1【发现易错点】【反思及感悟】1.5有理数的大小比较类型一：有理数的大小比较1、如图，正确的判断是（）Aa-2Ba-1CabDb22、比较1，-2.5，-4的相反数的大小，并
2、按从小到大的顺序用“”边接起来，为_【发现易错点】【反思及感悟】第二章 有理数的运算2.1有理数的加法类型一：有理数的加法1已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，那么a+b+|c|等于（）A1B0C1D2【发现易错点】【反思及感悟】类型二：有理数的加法与绝对值1已知|a|=3，|b|=5，且ab0，那么a+b的值等于（）A8B2C8或8D2或2变式：2已知a，b，c的位置如图，化简：|ab|+|b+c|+|ca|=_【发现易错点】【反思及感悟】【发现易错点】【反思及感悟】2.2有理数的减法类型一：正数和负数，有理数的加法与减法选择题1某汽车厂上半年一月份生产汽车200
3、辆，由于另有任务，每月上班人数不一定相等，上半年各月与一月份的生产量比较如下表（增加为正，减少为负）则上半年每月的平均产量为（）月份二三四五六增减（辆）5913+811A205辆B204辆C195辆D194辆2某商店出售三种不同品牌的大米，米袋上分别标有质量如下表：【发现易错点】【反思及感悟】现从中任意拿出两袋不同品牌的大米，这两袋大米的质量最多相差（） 大米种类 A品牌大米 B品牌大米 C品牌大米 质量标示 （100.1）kg （100.3）kg （100.2）kgA0.8kgB0.6kgC0.4kgD0.5kg填空题39，6，3三个数的和比它们绝对值的和小_4已知a、b互为相反数，且|ab
4、|=6，则b1=_解答题5一家饭店，地面上18层，地下1层，地面上1楼为接待处，顶楼为公共设施处，其余16层为客房；地面下1楼为停车场（1）客房7楼与停车场相差_层楼；（2）某会议接待员把汽车停在停车场，进入该层电梯，往上14层，又下5层，再下3层，最后上6层，那么他最后停在层；（3）某日，电梯检修，一服务生在停车场停好汽车后，只能走楼梯，他先去客房，依次到了8楼、接待处、4楼，又回接待处，最后回到停车场，他共走了_层楼梯6某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售他以每套55元的价格为标准，将超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，3，+2，+1，2，1，0，2（单位：元）
5、他卖完这八套儿童服装后是_，盈利或亏损了元2.3有理数的乘法类型一：有理数的乘法1绝对值不大于4的整数的积是（）A16B0C576D1【发现易错点】【反思及感悟】变式：2五个有理数的积为负数，则五个数中负数的个数是（）A1B3C5D1或3或53比3大，但不大于2的所有整数的和为_，积为_4已知四个数：2，3，4，5，任取其中两个数相乘，所得积的最大值是【发现易错点】【反思及感悟】2.4有理数的除法类型一：倒数1负实数a的倒数是（）AaBCDa【发现易错点】【反思及感悟】变式：20.5的相反数是_，倒数是_，绝对值是_3倒数是它本身的数是_，相反数是它本身的数是_【发现易错点】【反思及感悟】类型
6、二：有理数的除法1下列等式中不成立的是（）AB=C1.2D【发现易错点】【反思及感悟】变式：2甲小时做16个零件，乙小时做18个零件，那么（）A甲的工作效率高B乙的工作效率高C两人工作效率一样高D无法比较【发现易错点】【反思及感悟】【发现易错点】【反思及感悟】2.5有理数的乘方类型一： 有理数的乘方选择题1下列说法错误的是（）A两个互为相反数的和是0B两个互为相反数的绝对值相等C两个互为相反数的商是1D两个互为相反数的平方相等2计算（1）2005的结果是（）A1B1C2005D20053计算（2）3+（）3的结果是（）A0B2C16D164下列说法中正确的是（）A平方是它本身的数是正数B绝对值
7、是它本身的数是零【发现易错点】【反思及感悟】C立方是它本身的数是1D倒数是它本身的数是15若a3=a，则a这样的有理数有（）个A0个B1个C2个D3个6若（ab）1030，则下列各式正确的是（）A0B0Ca0，b0Da0，b07如果n是正整数，那么1（1）n（n21）的值（）A一定是零B一定是偶数C是整数但不一定是偶数D不一定是整数822，（1）2，（1）3的大小顺序是（）A22（1）2（1）3B22（1）3（1）2C（1）322（1）2D（1）2（1）3229最大的负整数的2005次方与绝对值最小的数的2006次方的和是（）A1B0C1D210若a是有理数，则下列各式一定成立的有（）（1）（
8、a）2=a2；（2）（a）2=a2；（3）（a）3=a3；（4）|a3|=a3A1个B2个C3个D4个11a为有理数，下列说法中，正确的是（）A（a+）2是正数Ba2+是正数C（a）2是负数Da2+的值不小于12下列计算结果为正数的是（）A765B（7）65C1765D（176）513下列说法正确的是（）A倒数等于它本身的数只有1B平方等于它本身的数只有1C立方等于它本身的数只有1D正数的绝对值是它本身14下列说法正确的是（）A零除以任何数都得0B绝对值相等的两个数相等C几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定D两个数互为倒数，则它们的相同次幂仍互为倒数15（2）100比（2）99大（）【发
9、现易错点】【反思及感悟】A2B2C299D329916111813111410的积的末位数字是（）A8B6C4D217（5）2的结果是（）A10B10C25D2518下列各数中正确的是（）A平方得64的数是8B立方得64的数是4C43=12D（2）2=419下列结论中，错误的是（）A平方得1的有理数有两个，它们互为相反数B没有平方得1的有理数C没有立方得1的有理数D立方得1的有理数只有一个20已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y为负数，则m的取值范围是（）Am9Bm9Cm9Dm921碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳
10、纳米管，1纳米=0.米，则0.5纳米用科学记数法表示为（）A0.5109米B5108米C5109米D51010米222.040105表示的原数为（）AB0.C204.000D20400填空题23（2008十堰）观察两行数根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得它们的和是（要求写出最后的计算结果）_24我们平常的数都是十进制数，如2639=2103+6102+310+9，表示十进制的数要用10个数码（也叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9在电子数字计算机中用二进制，只要两个数码0和1如二进制数101=122+021+1=5，故二进制的101等于十进制的数5；10111=124+0
11、23+122+12+1=23，故二进制的10111等于十进制的数23，那么二进制的等于十进制的数_25若n为自然数，那么（1）2n+（1）2n+1=_26平方等于的数是_270.（8）2008=_28已知x2=4，则x=_【发现易错点】【反思及感悟】2.6有理数的混合运算类型一：有理数的混合运算1绝对值小于3的所有整数的和与积分别是（）A0，2B0，0C3，2D0，22计算48（+）之值为何（）A75B160CD903下列式子中，不能成立的是（）A（2）=2B|2|=2C23=6D（2）2=44按图中的程序运算：当输入的数据为4时，则输出的数据是_5计算：5（2）3+（39）=_6计算：（3）
12、21=_=_7计算：（1）=_；（2）=_2.7准确数和近似数类型一：近似数和有效数字1用四舍五入法得到的近似数是2.003万，关于这个数下列说法正确的是（）A它精确到万分位B它精确到0.001C它精确到万位D它精确到十位2已知a=12.3是由四舍五入得到的近似数，则a的可能取值范围是（）A12.25a12.35B12.25a12.35C12.25a12.35D12.25a12.35【发现易错点】【反思及感悟】变式：3据统计，海南省2009年财政总收入达到1580亿元，近似数1580亿精确到（）A个位B十位C千位D亿位4若测得某本书的厚度1.2cm，若这本书的实际厚度记作acm，则a应满足（）
13、Aa=1.2B1.15a1.26C1.15a1.25D1.15a1.25【发现易错点】【反思及感悟】类型二：科学记数法和有效数字1760 340（精确到千位）_，640.9（保留两个有效数字）_【发现易错点】【反思及感悟】变式：2用四舍五入得到的近似数6.80106有_个有效数字，精确到_位3太阳的半径是6.96104千米，它是精确到_位，有效数字有_个4用科学记数法表示9 349 000（保留2个有效数字）为_【发现易错点】【反思及感悟】第三章 实数3.1平方根类型一：平方根1下列判断中，错误的是（）A1的平方根是1B1的倒数是1C1的绝对值是1D1的平方的相反数是1【发现易错点】【反思及感
14、悟】变式：2下列说法正确的是（）A是0.5的一个平方根B正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0C72的平方根是7D负数有一个平方根3如果一个数的平方根等于这个数本身，那么这个数是（）A1B1C0D1【发现易错点】【反思及感悟】类型二：算术平方根1的算术平方根是（）A81B9C9D3【发现易错点】【反思及感悟】变式：2 的平方根是（）A3B3CD【发现易错点】【反思及感悟】3.2实数类型一：无理数1下列说法正确的是（）A带根号的数是无理数B无理数就是开方开不尽而产生的数C无理数是无限小数D无限小数是无理数2在实数，0.21，0.20202中，无理数的个数为（）A1B2C3D4【发现易错点】【
15、反思及感悟】 变式：3在中无理数有（）个A3个B4个C5个D64在中，无理数有_个【发现易错点】【反思及感悟】3.3立方根类型一：立方根1如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（）A0B正实数C0和1D12若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是（）A2B4C2D4364的立方根是_，的平方根是_【发现易错点】【反思及感悟】变式：1下列语句正确的是（）A如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零B一个数的立方根不是正数就是负数C负数没有立方根D一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零2若x2=（3）2，y327=0，则x+y的值是（）A0B6C0或6D0或63=_，=_，
16、的平方根是_4若16的平方根是m，27的立方根是n，那么m+n的值为_【发现易错点】【反思及感悟】 3.5实数的运算类型一：实数的混合运算1两个无理数的和，差，积，商一定是（）A无理数B有理数C0D实数2计算：（1）13+107=_；（2）13+4（）=_；（3）32（2）2=_；（4）（+）（60）=_；（5）4（2）+3_（先化简，结果保留3个有效数字）【发现易错点】【反思及感悟】变式：3已知：a和b都是无理数，且ab，下面提供的6个数a+b，ab，ab，ab+ab，ab+a+b可能成为有理数的个数有_个4计算：（1）=_（2）32（5）2=_（3）_（精确到0.01）；（4）=_；（5）
17、=_；（6）=_【发现易错点】【反思及感悟】第四章 代数式4.2代数式类型一：代数式的规范1下列代数式书写正确的是（）Aa48BxyCa（x+y）Dabc【发现易错点】【反思及感悟】类型二：列代数式1a是一个三位数，b是一个一位数，把a放在b的右边组成一个四位数，这个四位数是（）AbaB100b+aC1000b+aD10b+a2为参加“爱我校园”摄影赛，小明同学将参与植树活动的照片放大为长acm，宽acm的形状，又精心在四周加上了宽2cm的木框，则这幅摄影作品占的面积是（）cm2Aa2a+4Ba27a+16Ca2+a+4Da2+7a+163李先生要用按揭贷款的方式购买一套商品房，由于银行提高了
18、贷款利率，他想尽量减少贷款额，就将自己的全部积蓄a元交付了所需购房款的60%，其余部分向银行贷款，则李先生应向银行贷款_元【发现易错点】【反思及感悟】变式：4有一种石棉瓦（如图），每块宽60厘米，用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，那么n（n为正整数）块石棉瓦覆盖的宽度为（）A60n厘米B50n厘米C（50n+10）厘米D（60n10）厘米5今年某种药品的单价比去年便宜了10%，如果今年的单价是a元，则去年的单价是（）A（1+10%）a元B（110%）a元C元D元6若一个二位数为x；一个一位数字为y；把一位数字为y放到二位数为x的前面，组成一个三位数，则这个三位数可表示为_【发
19、现易错点】【反思及感悟】4.3代数式的值类型一：代数式求值1如果a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c与a2互为相反数，那么（a+b）2009c2009=_2（1）当x=2，y=1时，9y+6 x2+3（y）=_；（2）已知A=3b22a2，B=ab2b2a2当a=2，b=时，A2B=_；（3）已知3b2=2a7，代数式9b26a+4=_【发现易错点】【反思及感悟】变式：3当x=6，y=1时，代数式的值是（）A5B2CD4某长方形广场的长为a米，宽为b米，中间有一个圆形花坛，半径为c米（1）用整式表示图中阴影部分的面积为_m2；（2）若长方形的长a为100米，b为50米，圆形半径c为10米，
20、则阴影部分的面积为_m2（取3.14）【发现易错点】【反思及感悟】类型二：新定义运算1如果我们用“”、“”来定义新运算：对于任意实数a，b，都有ab=a，ab=b，例如32=3，32=2则（瑞安）（中学）=_【发现易错点】【反思及感悟】变式：2设a*b=2a3b1，那么2*（3）=_；a*（3）*（4）=_【发现易错点】【反思及感悟】4.4整式类型一：整式1已知代数式，其中整式有（）A5个B4个C3个D2个【发现易错点】【反思及感悟】变式：2在代数式xy，3a，a2y+，xyz，中有（）A5个整式B4个单项式，3个多项式C6个整式，4个单项式D6个整式，单项式与多项式个数相同【发现易错点】【反
21、思及感悟】类型二：单项式1下列各式：，25，中单项式的个数有（）A4个B3个C2个D1个2单项式26ab的次数是_，系数是_【发现易错点】【反思及感悟】变式：3单项式34a2b5的系数是_，次数是_；单项式的系数是_，次数是_4是_次单项式5的系数是_，次数是_【发现易错点】【反思及感悟】类型三：多项式1多项式2a2b+3x25的项数和次数分别为（）A3，2B3，5C3，3D2，32m，n都是正整数，多项式xm+yn+3m+n的次数是（）A2m+2nBm或nCm+nDm，n中的较大数【发现易错点】【反思及感悟】变式：3多项式2x23105xy2+y的次数是（）A1次B2次C3次D8次4一个五次
22、多项式，它的任何一项的次数（）A都小于5B都等于5C都不大于5D都不小于55若m，n为自然数，则多项式xmyn4m+n的次数应当是（）AmBnCm+nDm，n中较大的数6若A和B都是4次多项式，则A+B一定是（）A8次多项式B4次多项式C次数不高于4次的整式D次数不低于4次的整式7若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A+B一定是（）A三次多项式B四次多项式或单项式C七次多项式D四次七项式【发现易错点】【反思及感悟】4.5合并同类项类型一：同类项1下列各式中是同类项的是（）A3x2y2和3xy2B和C5xyz和8yzDab2和2已知25a2mb和7b3na4是同类项，则m+n的值是_【发
23、现易错点】【反思及感悟】变式：3下列各组中的两项是同类项的是（）Am2和3mBm2n和mn2C8xy2和D0.5a和0.5b4已知9x4和3nxn是同类项，则n的值是（）A2B4C2或4D无法确定53xny4与x3ym是同类项，则2mn=_6若x2y4n与x2my16是同类项，则m+n=_【发现易错点】【反思及感悟】【发现易错点】【反思及感悟】4.6整式的加减类型一：整式的加减选择题 1x、y、z在数轴上的位置如图所示，则化简|xy|+|zy|的结果是（）AxzBzxCx+z2yD以上都不对2已知1y3，化简|y+1|+|y3|=（）A4B4C2y2D23已知x0，xy0，则|xy+4|yx6
24、|的值是（）A2B2Cx+y10D不能确定4A、B都是4次多项式，则A+B一定是（）A8次多项式B次数不低于4的多项式C4次多项式D次数不高于4的多项式或单项式5若A和B都是五次多项式，则A+B一定是（）A十次多项式B五次多项式C数次不高于5的整式D次数不低于5次的多项式6M，N分别代表四次多项式，则M+N是（）A八次多项式B四次多项式C次数不低于四次的整式D次数不高于四次的整式【发现易错点】【反思及感悟】7多项式a2a+5减去3a24，结果是（）A2a2a+9B2a2a+1C2a2a+9D2a2+a+98两个三次多项式相加，结果一定是（）A三次多项式B六次多项式C零次多项式D不超过三次的整式
25、9与x2y2相差x2+y2的代数式为（）A2y2B2x2C2y2或2y2D以上都错10若m是一个六次多项式，n也是一个六次多项式，则mn一定是（）A十二次多项式B六次多项式C次数不高于六次的整式D次数不低于六次的整式11下列计算正确的是（）AB18=8C（1）（1）（1）=3Dn（n1）=112下列各式计算正确的是（）A5x+x=5x2B3ab28b2a=5ab2C5m2n3mn2=2mnD2a+7b=5ab13两个三次多项式的和的次数是（）A六次B三次C不低于三次D不高于三次14如果M是一个3次多项式，N是3次多项式，则M+N一定是（）A6次多项式B次数不高于3次整式C3次多项式D次数不低于
26、3次的多项式15三个连续整数的积是0，则这三个整数的和是（）A3B0C3D3或0或316已知x+y+2（xy+1）=3（1yx）4（y+x1），则x+y等于（）ABCD17已知ab，那么ab和它的相反数的差的绝对值是（）AbaB2b2aC2aD2b填空题18当1m3时，化简|m1|m3|=_19（4）+（3）（2）（+1）省略括号的形式是_20计算m+n（mn）的结果为_21有一道题目是一个多项式减去x2+14x6，小强误当成了加法计算，结果得到2x2x+3，则原来的多项式是_【发现易错点】【反思及感悟】22某校为适应电化教学的需要新建阶梯教室，教室的第一排有a个座位，后面每一排都比前一排多一
27、个座位，若第n排有m个座位，则a、n和m之间的关系为m=_23若a0，则|1a|+|2a1|+|a3|=_解答题24化简（2m2+2m1）（5m2+2m）25先化简再求值 若ab=5，ab=5，求（2a+3b2ab）（a+4b+ab）（3ab2a+2b）的值26若（a+2）2+|b+1|=0，求5ab22a2b3ab2（4ab22a2b）的值 27已知|a2|+（b+1）2=0，求3a2b+ab23a2b+5ab+ab24ab+a2b=的值第五章 一元一次方程5.1一元一次方程类型一：等式的性质1下列说法中，正确的个数是（）若mx=my，则mxmy=0；若mx=my，则x=y；若mx=my，则
28、mx+my=2my；若x=y，则mx=myA1B2C3D4【发现易错点】【反思及感悟】变式：2已知x=y，则下面变形不一定成立的是（）Ax+a=y+aBxa=yaCD2x=2y3等式的下列变形属于等式性质2的变形为（）ABC2（3x+1）6=3xD2（3x+1）x=2【发现易错点】【反思及感悟】类型二：一元一次方程的定义1如果关于x的方程是一元一次方程，则m的值为（）AB3C3D不存在【发现易错点】【反思及感悟】变式：2若2x32k+2k=41是关于x的一元一次方程，则x=_3已知3x|n1|+5=0为一元一次方程，则n=_4下列方程中，一元一次方程的个数是_个（1）2x=x（1x）；（2）x
29、2x+=x2+1；（3）3y=x+；（4）=2；（5）3x=2【发现易错点】【反思及感悟】【发现易错点】【反思及感悟】类型三：由实际问题抽象出一元一次方程1汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员揿一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒设听到回响时，汽车离山谷x米，根据题意，列出方程为（）A2x+420=4340B2x472=4340C2x+472=4340D2x420=43402有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：40m+10=43m1； ；
30、；40m+10=43m+1，其中正确的是（）ABCD3某电视机厂10月份产量为10万台，以后每月增长率为5%，那么到年底再能生产（）万台A10（1+5%）B10（1+5%）2C10（1+5%）3D10（1+5%）+10（1+5%）24一个数x，减去3得6，列出方程是（）A3x=6Bx+6=3Cx+3=6Dx3=65某工程要求按期完成，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作，则正好按期完工问该工程的工期是几天？设该工程的工期为x天则方程为（）ABCD6如图，六位朋友均匀的围坐在圆桌旁聚会圆桌的半径为80cm，每人离桌边10cm，有后来两位客人，每人向后挪动了相同
31、距离并左右调整位置，使8个人都坐下，每相邻两人之间的距离与原来相邻两人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等设每人向后挪动的距离为xcm则根据题意，可列方程为：（）【发现易错点】【反思及感悟】ABC2（80+10）8=2（80+x）10D2（80x）10=2（80+x）87在一个笼子里面放着几只鸡与几只兔，数了数一共有14个头，44只脚问鸡兔各有几只设鸡为x只，得方程（）A2x+4（14x）=44B4x+2（14x）=44C4x+2（x14）=44D2x+4（x14）=448把一张纸剪成5块，从所得的纸片中取出若干块，每块又剪成5块，如此下去，至剪完某一次后，共得纸片总数N可能是（）A
32、1990B1991C1992D19939某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，问这种商品的定价是多少设定价为x，则下列方程中正确的是（）Ax20=x+25Bx+20=x+25Cx25=x+20Dx+25=x2010某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（）ABCD5.2一元一次方程的解法类型一：一元一次方程的解1当a=0时，方程ax+b=0（其中x是未知数，b是已知数）（）A有且只有一
33、个解B无解C有无限多个解D无解或有无限多个解2下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是x=，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（）A2B2CD【发现易错点】【反思及感悟】变式：3已知a是任意有理数，在下面各题中结论正确的个数是（）方程ax=0的解是x=1；方程ax=a的解是x=1；方程ax=1的解是x=；方程|a|x=a的解是x=1A0B1C2D34阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b0时无解请你根据以上知识作答：已知关于x的方程a=（x6）无解，则a的值是（）A1B1C1Da15如果关于x的方程3x5+a=bx+1有唯一的一个解，则a与b必须满足的条件为（）Aa2bBab且b3Cb3Da=b且b36若方程2ax3=5x+b无解，则a，b应满足（）Aa，b3Ba=，b=3Ca，b=3Da=，b3【发现易错点】【反思及感悟】类型二：解一元一次方程1x=_时，代数式的值比的值大12当x=_时，代数式x1和的值互为相反数3解方程（1）4（x+0.5）=x+7；（2）；（3）；（4）【发现易错点】【反思及感悟