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1、精选优质文档-倾情为你奉上第四章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|2k，kZ终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角的弧度数公式|(l表示弧长)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式l|r扇形面积公式Slr|r2有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换
2、算的关键是180，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin ，cos ，tan (x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线二、常用结论汇总规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦(2)三角函数定义的推广设点P(x，y)是角终边上任意一点且不与
3、原点重合，r|OP|，则sin ，cos ，tan (x0)(3)象限角(4)轴线角 典例(1)若角是第二象限角，则是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角(2)终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为_解析(1)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是，在0,2)内，终边在直线yx上的角有两个：，；在2，0)内满足条件的角有两个：，故满足条件的角构成的集合为.答案(1)C(2) 题组训练1集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选B
4、当k2n(nZ)时，2n2n(nZ)，此时的终边和0的终边一样，当k2n1(nZ)时，2n2n(nZ)，此时的终边和的终边一样2在7200范围内所有与45终边相同的角为_解析：所有与45终边相同的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600(kZ)，得765k36045(kZ)，解得k0时，cos ；当t0时，cos .因此cos 22cos211. 典例若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则为第二象限角或第三象限角由0，cos 10 Bcos(305)0 Dsin 100解析
5、：选D30036060，则300是第四象限角，故sin 3000；8，则是第二象限角，故tan0；310，则10是第三象限角，故sin 100)，弧长为l，则由扇形面积公式可得2lr|r24r2，解得r1，l|r4，所以所求扇形的周长为2rl6.2(2019石家庄模拟)已知角(00，cos 1500，可知角终边上一点的坐标为，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin ，因为00，则y.6已知角2k(kZ)，若角与角的终边相同，则y的值为()A1 B1C3 D3解析：选B由2k(kZ)及终边相同的概念知，角的终边在第四象限，因为角与角的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，cos 0，
6、tan 0.所以y1111.7已知一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径为_解析：设此扇形的半径为r(r0)，由r2，得r2.答案：28(2019江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy中，60角终边上一点P的坐标为(1，m)，则实数m的值为_解析：60角终边上一点P的坐标为(1，m)，tan 60，tan 60，m.答案：9若1 560，角与终边相同，且360360，则_.解析：因为1 5604360120，所以与终边相同的角为360k120，kZ，令k1或k0，可得240或120.答案：120或24010在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90到B点，则B点
7、坐标为_解析：依题意知OAOB2，AOx30，BOx120，设点B坐标为(x，y)，则x2cos 1201，y2sin 120，即B(1，)答案：(1，)11已知，且lg(cos )有意义(1)试判断角所在的象限；(2)若角的终边上一点M，且|OM|1(O为坐标原点)，求m的值及sin 的值解：(1)由，得sin 0，所以是第四象限角(2)因为|OM|1，所以2m21，解得m.又因为是第四象限角，所以m0，从而m，sin .12已知为第三象限角(1)求角终边所在的象限；(2)试判断 tansin cos的符号解：(1)由2k2k，kZ，得kk，kZ，当k为偶数时，角终边在第二象限；当k为奇数时
8、，角终边在第四象限故角终边在第二或第四象限(2)当角在第二象限时，tan 0，sin 0, cos 0，所以tansincos取正号；当角在第四象限时，tan0，sin0, cos0，所以 tansincos也取正号因此tansin cos 取正号B级1若，从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小是()Asin tan cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin cos 解析：选C如图所示，作出角的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，因为OMMP，故有sin cos 0可知角为第一或第三象限角，画出单位圆如图又sin cos ，用正弦线、余
9、弦线得满足条件的角的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角的取值范围是.3已知角的终边过点P(4a,3a)(a0)(1)求sin cos 的值；(2)试判断cos(sin )sin(cos )的符号解：(1)因为角的终边过点P(4a,3a)(a0)，所以x4a，y3a，r5|a|，当a0时，r5a，sin cos ；当a0时，r5a，sin cos .(2)当a0时，sin ，cos ，则cos(sin )sin(cos )cos sin0；当a0时，sin ，cos ，则cos(sin )sin(cos )cossin 0.综上，当a0时，cos(sin )sin(cos )的符号为负
10、；当a0时，cos(sin )sin(cos )的符号为正第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关系：tan . 平方关系对任意角都成立，而商数关系中k(kZ)2诱导公式一二三四五六2k(kZ)sin sin sin sin cos cos_cos cos cos cos_sin sin tan tan tan tan_诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k(kZ)”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符
11、号看象限”指的是在“k(kZ)”中，将看成锐角时，“k(kZ)”的终边所在的象限.二、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin21cos2(1cos )(1cos )；cos21sin2(1sin )(1sin )；(sin cos )212sin cos .(2)sin tan cos . 典例(1)已知f()，则f的值为_(2)已知cos，则sin_.解析(1)因为f()cos ，所以fcoscos.(2)sinsinsinsinsincos.答案(1)(2)题组训练1.已知tan ，且，则cos_.解析：法一：cossin ，由知为第三象限角，联立解得5sin21，故sin
12、 .法二：cossin ，由知为第三象限角，由tan ，可知点(2，1)为终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin .答案：2. sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)tan 945_.解析：原式sin(3360120)cos(336018030)cos(336060) sin(336030)tan(236018045)sin 120cos 30cos 60sin 30tan 4512.答案：23.已知tan，则tan_.解析：tantantantan.答案： 考点二同角三角函数的基本关系及应用典例(1)若tan 2，则cos2()A.BC. D(2
13、)已知sin cos ，且，则cos sin 的值为()A. BC D解析(1)cos2，将tan 2代入上式，则原式.(2)因为sin cos ，所以(cos sin )2cos22sin cos sin212sin cos 12，因为，所以cos sin ，即cos sin 0，所以cos sin .答案(1)A(2)D题组训练1(2018甘肃诊断)已知tan ，且角的终边落在第三象限，则cos ()A. BC. D解析：选D因为角的终边落在第三象限，所以cos 0，因为tan ，所以解得cos .2已知tan 3，则sin2sin cos _.解析：sin2sin cos .答案：3已知
14、5，则sin2sin cos _.解析：由已知可得sin 3cos 5(3cos sin )，即sin 2cos ，所以tan 2，从而sin2sin cos .答案：4已知0，sin()cos ，则cos sin 的值为_解析：由已知，得sin cos ，sin22sin cos cos2，整理得2sin cos .因为(cos sin )212sin cos ，且0，所以sin 0，所以cos sin 0，故cos sin .答案：A级1已知x，cos x，则tan x的值为()A.BC. D解析：选B因为x，所以sin x，所以tan x.2(2019淮南十校联考)已知sin，则cos的
15、值为()A B.C. D解析：选Asin，coscossin.3计算：sin cos 的值为()A1 B1C0 D.解析：选A原式sincossincos1.4若，则tan 的值为()A1 B1C3 D3解析：选D因为，所以2(sin cos )sin cos ，所以sin 3cos ，所以tan 3.5(2018大庆四地六校调研)若是三角形的一个内角，且sincos，则tan 的值为()A BC或 D不存在解析：选A由sincos，得cos sin ，2sin cos 0，cos 0，所以为第一或第二象限角tan()tan .当为第一象限角时，cos ，原式.当为第二象限角时，cos ，原式
16、.综合知，原式或.B级1已知sin cos ，(0，)，则()A B.C. D解析：选A因为sin cos ，所以(sin cos )212sin cos ，所以sin cos ，又因为(0，)，所以sin 0，cos 0，所以cos sin 0的形式，避免出现增减区间的混淆. 二、常用结论1对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期2与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若yAsin(x)为偶函数，则有k(kZ)；若为奇函数，则有k (kZ)(2)若yA
17、cos(x)为偶函数，则有k(kZ)；若为奇函数，则有k (kZ)(3)若yAtan(x)为奇函数，则有k(kZ)第一课时三角函数的单调性 典例(2017浙江高考)已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间解(1)由题意，f(x)cos 2xsin 2x22sin，故f2sin2sin 2.(2)由(1)知f(x)2sin.则f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以f(x)的单调递增区间是(kZ)题组训练1函数y|tan x|在上的单调递减区间为_解析：作出y|t
18、an x|的示意图如图，观察图象可知，y|tan x|在上的单调递减区间为和.答案：，2函数g(x)cos的单调递增区间为_解析：g(x)coscos，欲求函数g(x)的单调递增区间，只需求函数ycos的单调递减区间由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)故函数g(x)的单调递增区间为(kZ)因为x，所以函数g(x)的单调递增区间为，.答案：，3(2019金华适应性考试)已知函数f(x)cos 2x2sin2(x)，其中0，且f1.(1)求的值；(2)求f(x)的最小正周期和单调递减区间解：(1)由已知得f2sin22cos21，整理得cos2.因为00)在区间上是增函数，则的取值范围是_解析
19、(1)f(x)cos xsin xsin，当x，即x时，ysin单调递增，则f(x)sin单调递减函数f(x)在a，a是减函数，a，a，00)，所以x，因为f(x)2sin x在上是增函数，所以故00)的图象如图所示要使f(x)在上是增函数，需即0.答案(1)A(2)解题技法已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解(2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解题组训练1若函数f(x)
20、sin(x)在区间上是单调递减函数，且函数值从1减少到1，则f_.解析：由题意知，故T，所以2，又因为f1，所以sin1.因为|0)在上单调递减，则的取值范围是_解析：由x，得x，由题意知，所以解得.答案：A级1函数f(x)tan的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析：选B由k2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)tan的单调递增区间是(kZ)2y|cos x|的一个单调递增区间是()A.B0，C. D.解析：选D将ycos x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的部分不变，即得y|cos x|的图象(如图)故选D.3已知
21、函数y2cos x的定义域为，值域为a，b，则ba的值是()A2 B3C.2 D2解析：选B因为x，所以cos x，故y2cos x的值域为2,1，所以ba3.4(2019西安八校联考)已知函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值，则f(x)在0，上的单调递增区间是()A. B.C. D.解析：选A因为0，所以，又因为f(x)cos(x)在x时取得最小值，所以，所以f(x)cos.由0x，得x.由x，得x，所以f(x)在0，上的单调递增区间是.5(2018北京东城质检)函数f(x)sin2xsin xcos x在区间上的最小值为()A1 B.C. D1解析：选A函数f(x)sin2xsi
22、n xcos xcos 2xsin 2xsin.x，2x.当2x时，函数f(x)取得最小值为1.6(2019广西五市联考)若函数f(x)2sin x(01)在区间上的最大值为1，则()A. B.C. D.解析：选C因为01,0x，所以0x，所以f(x)在区间上单调递增，则f(x)maxf2sin1，即sin.又因为0x0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_.解析：法一：由于函数f(x)sin x(0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故，解得.法二：由题意，得f(x)maxfsin1.由已知并结合正弦函数图象可知，解得.答案：11已知函数f(x)sin.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x时，求函数f(x)的最大值和最小值解：(1)令2k2x2k，