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1、精选优质文档-倾情为你奉上2020届五省优创名校高三（全国卷）第四次联考数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】先计算，再计算得到答案.【详解】因为，所以故选：【点睛】本题考查了集合的运算，意在考查学生的计算能力.2若，则在复平面内对应点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【解析】化简得到，得到答案.【详解】，对应的点在第一象限.故选：.【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.3（ ）ABCD【答案】B【解析】化简得到原式，再利用和差公式计算得到答案.【详解】故选：【点睛】本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三
2、角公式的灵活运用.4已知为定义在上的偶函数，当时，则（ ）ABCD【答案】D【解析】判断，利用函数的奇偶性代入计算得到答案.【详解】，故选：【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.5高考“”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试个科目成绩组成计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个科目中自主选择某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有位，选择化学的学生共有位，选择物理也选择化学的学生共有位，则该校选择物理的学生人数与
3、该校学生总人数比值的估计值为（ ）ABCD【答案】B【解析】计算选择物理的学生人数为，再计算比值得到答案.【详解】选择物理的学生人数为，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为故选：【点睛】本题考查了根据样本估计总体，意在考查学生的应用能力.6在中，角所对的边分别为，已知，则（ ）A或BCD或【答案】D【解析】根据正弦定理得到，化简得到答案.【详解】由，得，或，或故选：【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.7函数的部分图象大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】判断函数为奇函数排除B，C，计算特殊值排除D，得到答案.【详解】，为奇函数，排除B，C；又，排除D；
4、故选：A【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数单调性是解题的关键.8明代数学家程大位（15331606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出算法统宗，可谓集成计算的鼻祖如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】，；，；，；，；，此时不满足，跳出循环，输出结果为，由题意，得故选:【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.9将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为
5、奇函数，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.【详解】解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，因为是奇函数，所以，解得，因为，所以的最小值为.故选：【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.10点在所在的平面内，且，则（ ）ABCD【答案】D【解析】确定点为外心，代入化简得到，再根据计算得到答案.【详解】由可知，点为外心，则，又，所以因为，联立方程可得，因为，所以，即故选：【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的
6、计算能力.11已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】点的坐标为，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.【详解】不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，因为，所以，当且仅当，即当时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，点的坐标为，代入可得，所以双曲线的方程为故选：【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.12有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面
7、直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）（附：）A个B个C个D个【答案】C【解析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm，得到不等式，计算得到答案.【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体，易求正四面体相对棱的距离为cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为cm，若想要盖上盖子，则需要满足，解得，所以最多可以装层球，即最多可以装个球故选：【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查
8、学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题13某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2:6:4，用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中青年人数为，_.【答案】300【解析】直接利用分层抽样的比例公式计算得到答案.【详解】用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中青年人数为，则，解得故答案为：【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.14抛物线的焦点坐标为_.【答案】【解析】变换得到，计算焦点得到答案.【详解】抛物线的标准方程为，所以焦点坐标为故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.15已知偶函数，其导函数为，当时，则不等式的解集为_.【答案】【
9、解析】令，确定在上单调递增，解不等式得到答案.【详解】令，当时，在上单调递增因为是偶函数，所以是奇函数因为，所以不等式等价于，所以或，解得或故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合运用.16在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为_.【答案】【解析】确定平面即为平面，四边形是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体中，记的中点为，连接，则平面即为平面证明如下：由正方体的性质可知，则，四点共面，记的中点为，连接，易证连接，则，所以平面，则同理可证，则平面，所以平面即平面，且四边形即平
10、面截正方体所得的截面因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，其对角线，所以其面积故答案为：【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题17某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.表1：男生时长人数2816842表2：女生时长人数04121284（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选
11、到“运动达人”的概率；（2）根据题目条件，完成下面列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.每周运动的时长小于15小时每周运动的时长不小于15小时总计男生女生总计参考公式：，其中.参考数据：0.400.250.100.0100.7081.3232.7066.635【答案】（1）；（2）填表见解析，没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.【解析】（1）由题可知共有个基本事件，“运动达人”的可能结果为个，求得概率即可；（2）根据题意列出列联表，代入公式计算结果，然后判断即可.【详解】（1）每周运动的时长在中的男生有4人，在中的男生有2人，则
12、共有个基本事件，其中中至少有1人被抽到的可能结果有个，所以抽到“运动达人”的概率为；（2）每周运动的时长小于15小时的男生有26人，女生有16人；每周运动的时长不小于15小时的男生有14人，女生有24人.可得下列列联表：每周运动的时长小于15小时每周运动的时长不小于15小时总计男生261440女生162440总计423880，所以没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.【点睛】本题考查随机抽样和独立性检验，考查概率的计算，考查分析和运算能力，属于常考题.18已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1），当时
13、，两式相减即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用裂项相消法求和证明.【详解】（1）解：，当时，当时，由-，得，因为符合上式，所以（2）证明：因为，所以【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19如图，在四棱锥中，平面，点为的中点（1）证明：（2）求点到平面的距离【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）取的中点，连接，证明平面得到答案.（2）利用等体积法计算得到答案.【详解】（1）取的中点，连接在直角梯形中，,，所以又因为为的中点，所以因为平面，平面，所以，又因为，所以平面，所以在直角中，分别为的中点，因为，所以，所以，所以又因为平面，所以平面，
14、则（2）设点到平面的距离为，由（1）可知平面，所以，整理得，所以点到平面的距离为【点睛】本题考查了线线垂直，点到平面的距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20已知函数，（1）若不等式对恒成立，求的最小值；（2）证明：【答案】（1）最小值为（2）见解析【解析】（1）化简得到，令，求函数的最大值得到答案.（2）变换得到，分别求表达式两边的最值得到答案.【详解】（1）即，化简可得令，因为，所以，所以，在上单调递减，所以的最小值为（2）证要证，即两边同除以可得设，则，在上，所以在上单调递减，在上，所以在上单调递增所以设，因为在上是减函数，所以，所以，即【点睛】本题考查了恒成立问题，表达式的证明
15、，转化为函数的最值计算是解题的关键.21已知分别是椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，且（1）求的方程；（2）已知点是上的任意一点，不经过原点的直线与交于两点，直线的斜率都存在，且，求的值【答案】（1）（2）【解析】（1）不妨设，计算得到，根据面积得到，计算得到答案.（2）设，联立方程利用韦达定理得到，代入化简计算得到答案.【详解】（1）由题意不妨设，则，又，故的方程为（2）设，则，设直线的方程为，联立整理得在上，上式可化为，【点睛】本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲
16、线的极坐标方程为（1）求和的直角坐标方程；（2）已知为曲线上的一个动点，求线段的中点到直线的最大距离【答案】（1）（2）最大距离为【解析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案.（2）曲线的参数方程为，设，计算点到直线的距离公式得到答案.【详解】（1）由，得，则曲线的直角坐标方程为，即直线的直角坐标方程为（2）可知曲线的参数方程为（为参数），设，则到直线的距离为，所以线段的中点到直线的最大距离为【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力.23设函数（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，且，求的最小值【答案】（1）或（2）最小值为【解析】（1）讨论，三种情况，分别计算得到答案.（2）计算得到，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得所以所求不等式的解集为或（2）根据函数图像知：当时，所以因为，由，可知，所以，当且仅当，时，等号成立所以的最小值为【点睛】本题考查了解绝对值不等式，函数最值，均值不等式，意在考查学生对于不等式，函数知识的综合应用.专心-专注-专业