《2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-3-第3讲-函数的奇偶性、对称性(共18页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-3-第3讲-函数的奇偶性、对称性(共18页).doc（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上第3讲函数的奇偶性、对称性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数奇偶性的几个重要结论(1)f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区
2、间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数3函数的对称性(1)若函数yf(x)满足f(ax)f(bx)，则函数yf(x)关于直线x对称，特别地，当ab0时，函数yf(x)关于y轴对称，此时函数yf(x)是偶函数(2)若函数yf(x)满足f(x)2bf(2ax)，则函数yf(x)关于点(a，b)对称，特别地，当a0，b0时，f(x)f(x)，则函数yf(x)关于原点对称，此时函数f(x)是奇函数疑误辨析判断正误(正确的打
3、“”，错误的打“”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(5)若函数f(x)x2(a2)xb，xa，b的图象关于直线x1对称，则ab2.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x| Dy2x解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关
4、于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数故选B.2(必修1P45B组T6改编)已知函数f(x)是奇函数，且在(0，)上是减函数，且在区间a，b(ab0时，f(x)x24x3，则函数f(x)的解析式为f(x)_解析：设x0，所以f(x)f(x)(x)24(x)3x24x3，由奇函数的定义可知f(0)0，所以f(x)答案：2.设奇函数f(x)的定义域为5，5，若当x0，5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_解析：由题图可知，当0x0；当2x5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，所以当2x0时，f(x)0，
5、当5x0.综上，f(x)0可得3x3，所以x40，f(x)，f(x)f(x)，所以函数y是奇函数，故选A.(2)由题意知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(g(x)f(g(x)f(g(x)，故f(g(x)是偶函数【答案】(1)A(2)B判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”提醒(1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上
6、的x都满足相同关系时，才能判断其奇偶性 1设f(x)exex，g(x)exex，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是()A|g(x)|是偶函数 Bf(x)g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是偶函数 Df(x)g(x)是奇函数解析：选D.f(x)exexf(x)，f(x)为偶函数g(x)exexg(x)，g(x)为奇函数|g(x)|g(x)|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)g(x)2ex，f
7、(x)g(x)2ex(f(x)g(x)，且f(x)g(x)2exf(x)g(x)，所以f(x)g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D.2判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解：(1)因为函数f(x)的定义域为，不关于坐标原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)由，得2x2且x0，所以f(x)的定义域为2，0)(0，2，关于原点对称所以f(x).所以f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(3)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，f(x)x2x，
8、则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数函数奇偶性的应用 (1)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_(2)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于_【解析】(1)因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)0恒成立，所以xln(x)xln(x)0恒成立，所以xln a0恒成立，所以ln a0，即a1.(2)f(1)g(1)2，即f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，即f(1)g(1)4，由得，2g(1)6，即g(1)3.【答案】(1)1(2)3已知函数奇偶性可以解决的4个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化
9、为已知区间上的函数值求解(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值(4)画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象 1已知函数f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，则f(a)的值为()A3 B0C1 D2解析：选B.设F(x)f(x)1x3sin x，显然F(x)为奇函数，又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，从而f(a)0.故选B.2设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)则g(f(8)(
10、)A1 B2C1 D2解析：选A.因为f(x)为奇函数，所以f(8)f(8)log392，所以gf(8)g(2)f(2)f(2)log331.3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x0时，f(x)_解析：当x0时，则x0，所以f(x)(x)(1x)又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)(x)(1x)，所以f(x)x(1x)答案：x(1x)函数的对称性 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)2x1，则f(log29)()A B8C10 D(2)已知函数f(x)，其图象关于点(3，2)对称，则f(2)的值是_【解析】(1
11、)f(x2)f(x)f(x)，所以f(x)的图象的对称轴为x1，f(log29)f，因为1log22，故fff，其中0log20的解集为()A(，4)(4，)B(4，2)(2，4)C(，4)(2，0)D(，4)(2，0)(2，4)【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(4)f(4)f(2)f(2)0，又f(x)在(，3)，3，0上分别单调递增与单调递减，所以xf(x)0的解集为(，4)(2，0)(2，4)，故选D.【答案】D角度二函数的奇偶性与对称性相结合 在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)f(2x)若f(x)在区间1，2上是减函数，则f(x)()A在区间2，1上是增函数，在区间3，4
12、上是增函数B在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是减函数C在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是增函数D在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是减函数【解析】由f(x)f(2x)，函数f(x)关于x1对称，又因为f(x)在R上是偶函数，所以f(x)关于y轴对称又因为f(x)在区间1，2上是减函数，所以f(x)在0，1上为增函数，在1，0上为减函数，故函数图象如图所示由图可知B正确【答案】B (1)关于奇偶性、单调性、对称性的综合性问题，关键是利用奇偶性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：f(x)为偶函数f(x)f(|x|)若奇函数在x0处有意义
13、，则f(0)0. 1(2020湖州模拟)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，在区间1，0上是严格单调递增函数，且满足f(e)0，f(2e)1，则不等式的解集为_解析：根据函数周期为2且为偶函数知，f(e)f(e2)0，f(2e)f(2e4)f(62e)1，因为062ee21，且根据对称性知函数在0，1上单调递减，所以的解为62exe2，故填62e，e2答案：62e，e22偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_解析：因为f(x)的图象关于直线x2对称，所以f(4x)f(x)，所以f(41)f(1)f(3)3，即f(1)3.因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)
14、，所以f(1)f(1)3.答案：3核心素养系列3逻辑推理、数学运算奇偶函数的二次结论及应用结论一：若函数f(x)是奇函数，且g(x)f(x)c，则必有g(x)g(x)2c.结论简证由于函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以g(x)g(x)f(x)cf(x)c2c. 对于函数f(x)asin xbxc(其中a，bR，cZ)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能是()A4和6B3和1C2和4 D1和2【解析】设g(x)asin xbx，则f(x)g(x)c，且函数g(x)为奇函数注意到cZ，所以f(1)f(1)2c为偶数故选D.【答案】D由上述例题可知
15、，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能成功 结论二：若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)f(xa)h的图象关于点(a，h)对称结论简证函数g(x)f(xa)h的图象可由f(x)的图象平移得到，不难知结论成立 函数f(x)的图象的对称中心为()A(4，6) B(2，3)C(4，3) D(2，6)【解析】设g(x)，则g(x)g(x)，故g(x)为奇函数易知f(x)3g(x2)3，所以函数f(x)的图象的对称中心为(2，3)故选B.【答案】B此类问题求解的关键是从所给函数式中分离(或变形)出奇函数，进而得出图象
16、的对称中心，然后利用图象的对称性实现问题的求解 结论三：若函数f(x)为偶函数，则f(x)f(|x|)结论简证当x0时，|x|x，所以f(|x|)f(x)；当xf(2x1)成立的x的取值范围是_；(2)若偶函数f(x)满足f(x)x38(x0)，则f(x2)0的条件为_【解析】(1)易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数当x0时，f(x)ln(1x)，易知此时f(x)单调递增所以f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)，所以|x|2x1|，解得x0f(|x2|)f(2)所以|x2|2，解得x4.【答案】(1)(2)x|x4基础题组练1(2020舟山市普陀三中高三期中)下列函数
17、既是奇函数，又在(0，)上单调递增的是()Ayx2 Byx3Cylog2x Dy3x解析：选B.A.函数yx2为偶函数，不满足条件B函数yx3为奇函数，在(0，)上单调递增，满足条件Cylog2x的定义域为(0，)，为非奇非偶函数，不满足条件D函数y3x为非奇非偶函数，不满足条件2(2020衢州高三年级统一考试)已知f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x3ln(1x)，则当x0时，f(x)()Ax3ln(1x) Bx3ln(1x)Cx3ln(1x) Dx3ln(1x)解析：选C.当x0，f(x)(x)3ln(1x)，因为f(x)是R上的奇函数，所以当x0时，f(x)f(x)(x)3ln(
18、1x)，所以f(x)x3ln(1x)3若f(x)(exex)(ax2bxc)是偶函数，则一定有()Ab0 Bac0Ca0且c0 Da0，c0且b0解析：选C.设函数g(x)exex.g(x)exexg(x)，所以g(x)是奇函数因为f(x)g(x)(ax2bxc)是偶函数所以h(x)ax2bxc为奇函数即h(x)h(x)0恒成立，有ax2c0恒成立所以ac0.当acb0时，f(x)0，也是偶函数，故选C.4设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2x)f(x)，若当x1时，f(x)ln x，则有()Aff(2)f Bff(2)fCfff(2) Df(2)ff解析：选C.由f(2x)f(x)可知
19、函数f(x)的图象关于x1对称，所以ff，ff，又当x1时，f(x)ln x单调递增，所以fff(2)，即ff0时，不等式0等价于3f(x)2f(x)0，又f(x)是奇函数，所以有f(x)0，所以有0x2，同理当x0时，可解得2x0)的最大值为M，最小值为N，且MN4，则实数t的值为_解析：因为f(x)ttg(x)，其中g(x)是奇函数，MNtg(x)tg(x)2t4t2.答案：29(2020杭州市富阳二中高三质检)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(1x)f(1x)；在1，)上为增函数，若x时，f(ax)f(x1)成立，则实数a的取值范围为_解析：根据题意，可知函数f(x)的图象关于直线x
20、1对称，因为其在1，)上为增函数，则在(，1)上是减函数，并且自变量离1越近，则函数值越小，由f(ax)f(x1)可得，|ax1|x11|，化简得|ax1|x2|，因为x，所以|x2|2x，所以该不等式可以化为x2ax12x，即不等式组在x上恒成立，从而有，解得0a2x成立，求实数k的取值范围解：(1)因为f(x)2xk2x是奇函数，所以f(x)f(x)，kR，即2xk2x(2xk2x)，所以(k1)(122x)0对一切kR恒成立，所以k1.(2)因为x0，)，均有f(x)2x，即2xk2x2x对x0，)恒成立，所以1k22x对x0，)恒成立，所以1k(22x)min，因为y22x在0，)上单
21、调递增，所以(22x)min1.所以1k0.所以实数k的取值范围为(0，)12(2020绍兴一中高三期中)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)(x1)21，求满足ff(a)的实数a的个数解：令f(a)x，则ff(a)变形为f(x)；当x0时，f(x)(x1)21，解得x11，x21；因为f(x)为偶函数，所以当x0时，f(x)的解为x31，x41；综上所述，f(a)1，1，1，1；当a0时，f(a)(a1)211，方程无解；f(a)(a1)211，方程有2解；f(a)(a1)211，方程有1解；f(a)(a1)211，方程有1解；故当a0时，方程f(a)x有4解，由偶函数的性质，易得当ag
22、(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)5(2020杭州学军中学高三质检)已知函数yf(x)在定义域1，1上既是奇函数，又是减函数(1)求证：对任意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0；(2)若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围解：(1)证明：若x1x20，显然不等式成立若x1x20，则1x1x21，因为f(x)在1，1上是减函数且为奇函数，所以f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立若x1x20，则1x1x21，同理可证f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立综上得证，对任
23、意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0恒成立(2)因为f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，所以由f(x)在定义域1，1上是减函数，得即解得0a1.故所求实数a的取值范围是0，1)6(2020宁波市余姚中学高三模拟)设常数aR，函数f(x)(ax)|x|.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)是奇函数，且关于x的不等式mx2mff(x)对所有的x2，2恒成立，求实数m的取值范围解：(1)当a1时，f(x)(1x)|x|，当x0时，f(x)(1x)x，所以f(x)在内是增函数，在内是减函数；当xff(x)x3|x|，即m对所有的x2，2恒成立因为x2，2，所以x211，5所以x212.所以m.所以实数m的取值范围为.专心-专注-专业