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1、精选优质文档-倾情为你奉上专题二 函数零点1零点的判断与证明例1:已知定义在上的函数,求证:存在唯一的零点,且零点属于【答案】见解析【解析】,在单调递增,使得因为单调,所以的零点唯一2零点的个数问题例2:已知函数满足,当,若在区间内,函数有三个不同零点,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】,当时,所以,而有三个不同零点与有三个不同交点,如图所示,可得直线应在图中两条虚线之间,所以可解得:3零点的性质例3:已知定义在上的函数满足:,且,则方程在区间上的所有实根之和为( )ABCD【答案】C【解析】先做图观察实根的特点,在中,通过作图可发现在关于中心对称,由可得是周期为2的周期函数,
2、则在下一个周期中,关于中心对称,以此类推。从而做出的图像(此处要注意区间端点值在何处取到),再看图像,可视为将的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位,所以对称中心移至,刚好与对称中心重合,如图所示:可得共有3个交点,其中,与关于中心对称,所以有。所以故选C4复合函数的零点例4:已知函数,若方程恰有七个不相同的实根,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】考虑通过图像变换作出的图像(如图),因为最多只能解出2个,若要出七个根,则,所以,解得:一、选择题1设,则函数的零点所在的区间为( )ABCD【答案】B【解析】,函数的图象是连续的,且为增函数,的零点所在的区间是故选B2已知是函数
3、的零点,若,则的值满足( )ABCD的符号不确定【答案】C【解析】在上是增函数,若,则3函数的一个零点在区间内,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】因为在上是增函数,则由题意得,解得,故选C4若,则函数的两个零点分别位于区间( )A和内B和内C和内D和内【答案】A【解析】,由函数零点存在性定理可知,在区间,内分别存在零点,又函数是二次函数,最多有两个零点因此函数的两个零点分别位于区间,内,故选A5设函数是定义在上的奇函数,当时,则的零点个数为( )A1B2C3D4【答案】C【解析】因为函数是定义域为的奇函数,所以,即0是函数的一个零点,当时,令,则,分别画出函数和的图象,如图所示
4、,两函数图象有一个交点,所以函数有一个零点,根据对称性知,当时函数也有一个零点综上所述,的零点个数为3故选C6函数的零点个数为( )A3B2C7D0【答案】B【解析】方法一:由得或,解得或,因此函数共有2个零点方法二:函数的图象如图所示,由图象知函数共有2个零点7已知函数,则使方程有解的实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】当时,即,解得;当时,即,解得,即实数的取值范围是故选D8若函数在区间内存在一个零点,则的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】当时,与轴无交点,不合题意,所以;函数在区间内是单调函数,所以,即,解得或故选B9已知函数,则使函数有零点的实数的取值范围是( )A
5、BCD【答案】D【解析】函数的零点就是方程的根,画出的大致图象(图略)观察它与直线的交点,得知当或时,有交点,即函数有零点故选D10已知是奇函数且是上的单调函数,若函数只有一个零点,则实数的值是( )ABCD【答案】C【解析】令,则,因为是上的单调函数,所以,只有一个实根,即只有一个实根,则,解得11已知当时,函数的图象与的图象有且只有一个交点,则正实数的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】在同一直角坐标系中,分别作出函数与的大致图象分两种情形:(1)当时,如图,当时,与的图象有一个交点,符合题意(2)当时,如图,要使与的图象在上只有一个交点,只需,即,解得或(舍去)综上所述,故选B12
6、已知函数和在的图像如下,给出下列四个命题:(1)方程有且只有6个根(2)方程有且只有3个根(3)方程有且只有5个根(4)方程有且只有4个根则正确命题的个数是( )A1B2C3D4【答案】B【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层,找到内层函数能取得的值,从而统计出的总数(1)中可得,进而有2个对应的,有2个,有2个,总计6个,(1)正确;(2)中可得,进而有1个对应的,有3个,总计4个,(2)错误;(3)中可得,进而有1个对应的,有3个,有1个,总计5个,(3)正确;(4)中可得:,进而有2个对应的,有2个,共计4个,(4)正确则综上所述,正确的命题共有3个二、填空题13函数的零点个数为_【答
7、案】2【解析】由,得,作出函数和的图象,由上图知两函数图象有2个交点,故函数有2个零点14设函数与的图象的交点为,若,则所在的区间是_【答案】【解析】令,则,易知为增函数,且,所在的区间是15函数的零点个数是_【答案】2【解析】当时,令,解得(正根舍去),所以在上有一个零点;当时,恒成立,所以在上是增函数又因为,所以在上有一个零点,综上,函数的零点个数为216已知函数,若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围是_【答案】【解析】设,在同一直角坐标系中作出,的图象如图所示由图可知有4个互异的实数根等价于与的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1,所以有两组不同解,消去得有两个不等实根,所以,即,解得或又由图象得,或三、解答题17关于的二次方程在区间上有解,求实数的取值范围【答案】【解析】显然不是方程的解,时,方程可变形为,又在上单调递减,在上单调递增,在上的取值范围是,故的取值范围是18设函数(1)作出函数的图象;(2)当且时,求的值;(3)若方程有两个不相等的正根,求的取值范围【答案】(1)见解析;(2)2;(3)【解析】(1)如图所示(2)故在上是减函数,而在上是增函数由且,得且,(3)由函数的图象可知,当时,方程有两个不相等的正根专心-专注-专业