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1、精选优质文档-倾情为你奉上全等三角形中常见的辅助线（一）适用学科数学适用年级初中二年级适用区域人教版课时时长（分钟）60知识点倍长中线法；截长补短法教学目标1. 掌握倍长中线法的运用条件2. 掌握截长补短法的运用条件教学重点对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用教学难点对倍长中线法、截长补短法能够灵活运用教学过程 一、复习预习全等三角形的判定定理：1、 SSS：三边对应相等的两个三角形全等2、 SAS：两边以及它们的夹角对应相等的两个三角形全等3、 AAS：两角以及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等4、 ASA：两角以及它们的夹边对应相等的两个三角形全等5、 HL：在直角三角形中，直角边与斜
2、边对应相等的两个三角形全等 二、知识讲解考点1 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”考点2 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 三、例题精析【例题1】 【题干】已知：如图3所示，AD为 ABC的中线，求证：AB+AC2AD。 【答案】证明：延长AD至E，使DE=AD，连接EC AD是中线 DC=DBDE=AD，CDE=BDA，DC=DB CDEBDACE=AB 在AEC中
3、CE+ACAE，CE=ABAB+ACAE DE=ADAE=2AD AB+ACAE AB+AC2AD 【解析】分析：要证AB+AC2AD，由图形想到： AB+BDAD,AC+CDAD，所以有：AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD，但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 【例题2】 【题干】已知：如图1所示， AD为ABC的中线，且1=2,3=4。求证：BE+CFEF。【答案】证明：在DA上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC在DEB和DNE中DN=DB1=2DE=DEDEBDNE（SA
4、S）BE=NE同理可得：CF=NF在EFN中，EN+FNEFBE+CFEF【解析】分析：要证BE+CFEF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知1=2， 3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。 四、课堂运用【基础】1、 ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围（ ）A1AD4 B3AD13 C5AD13 D9AD13【答案】A【解析】解：延长AD至M使得DM=AD显然三角形ABD全等于三角形CDM所以AB=CM又CM-ACAMCM+AC所以22*AD8所以1AD42、已知在ABC
5、中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE【答案】过D作DFAC交BC于F，DFAC（已知），DFC=FCE，DFB=ACB（平行线的性质），AB=AC（已知），B=ACB（等边对等角），B=DFB（等量代换），BD=DF（等角对等边），BD=CE（已知），DF=CE（等量代换），DFC=FCE，DGF=CGE（已证），DFGECG（AAS），DG=GE（对应边相等）【解析】过D作DFAC交BC于F，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证GDFCEG即可. 【巩固】1、 已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延
6、长BE交AC于F，求证：AF=EF【答案】解：延长AD至G，使得AD=DG，连接BG,GCABC中,AD是BC边上的中线BD=DCAD=DG四边形ABGC为平行四边形AC=BG,AC/BGAFEGBEAF/FE=GB/BEAC=BE,AC=BGBE=BGAF=FE【解析】延长AD至G，使得AD=DG，连接BG,GC，根据全等证明AF=EF2、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE. 【答案】延长AE到M，使EM=AE，连结DM易证DEM CEAC=MDE, DM=AC又BD=DC=ACDM=BD,ADC=CAD又ADB=C+CAD，ADM=MDE+ADCADM=
7、ADBADM ADBBAD=MAD即AD平分BAE 【解析】因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2ACACE=BCA，所以BCAACE所以ABC=CAE因为DC=AC，所以ADC=DACADC=ABC+BAD所以ABC+BAD=DAE+CAE所以BAD=DAE即AD平分BAE【拔高】1、如图，已知在ABC内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP【答案】证明：做PMBQ，与QC相交与M。APB=180BAPABP=1803080=70且APM=180APBMPC=18070QBC=1807040
8、=70APB=APM又AP是BAC的角平分线，BAP=MAPAP是公共边ABPAMP(角边角）AB=AM，BP=MP在MPC中，MCP=MPC=40MP=MCAB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在QBC中QBC=QCB=40BQ=QCBQ+AQ=AQ+QC=ACBQ+AQ=AB+BP 赞同【解析】做辅助线PMBQ，与QC相交与M。首先算清各角的度数，然后证明全等，即可证明结论。2、如图，ACBD，EA,EB分别平分CAB,DBA，CD过点E，求证;ABAC+BD【答案】在AB上取点N ,使得AN=ACCAE=EAN ,AE=AE,CAEEANANE=ACE又ACBDACE+BDE=180而ANE+ENB=180ENB=BDE，NBE=EBNBE=BEEBNEBDBD=BNAB=AN+BN=AC+BD【解析】根据截长补短的方法以及三角形全等即可得到结论课程小结1) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”2) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目专心-专注-专业