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1、精选优质文档-倾情为你奉上三角形“四心”优美的向量统一形式三角形“四心”的向量的统一形式:x是abc的心xa+xb+xc=0其中,重心的充要条件最简单,也容易证明。而内心、外心、重心的证明则比较困难,受此启发,笔者联想到既然有统一的结构,是否可以借用重心的充要条件证明其它“三心”的情况呢?因为要借用重心的向量形式来证明,所以还要给出重心的另一性质:g为abc的重心的充要条件是s=gab=sgbc=sgca= sabc.(图1)一、重心(中线交点)1.g是abc的重心ga+gb+gc=0证明:设g是abc的重心,如图2,延长ag交bc于点d.因为g为abc的重心,所以d为bc的中点,有gd= (
2、gb+gc)且ga=-2gd因此ga+gb+gd+gc=0,反之亦成立.2.设p是abc所在平面内任意一点,则pg= (pa+pb+pc)g为abc的重心证明:g是abc的重心ga+gb+gc=0 gp+ap+gp+pb+gp+pc=0 3pg=pa+pb+pc pg= (pa+pb+pc)二、内心(内角平分线交点,内切圆圆心)1.i是abc的内心aia+bib+cic=0(其中a,b,c分别为abc的三个内角a,b,c所对的边长).证明:设i是abc的内心,如图3,作向量ia=aia,ib=bib,ic=cic连结,得到abc.因为i为abc内心,所以内心i到abc各边的距离为abc的内切圆
3、的半径,设为r.sibc= |ib|ic|sinbic= b|ib|c|ic|sinbic=bcsibc=bc ar= abcr同理可得sibc= abcr,sica= abcr所以siab=sibc=sica= abcr,i为的重心,有ia+ib+ic=0即ala+bib+cic=0成立,反之亦成立.2.i是abc的内心(sina)la+(ainb)ib+(sinc)ic=0证明:根据i是abc的内心aia+bib+cic=0,由正弦定理得i是abc的内心(sina)ia+(subb)ib+(sinc)ic=03.设p是abc所在平面内任意一点,i为abc内心pi=证明:i是abc的内心ai
4、a+bib+cic=0 aip+aip+bip+bpb+cip+cpc=0 pi=三、外心(三边垂直平分线交点,外接圆圆心)1.p是abc外心(sin2a)pa+(sin2b)pb+(sin2c)pc=0证明:设p是abc的外心,如图4,作向量pa=(sin2a)pa,pb=(sin2b)pb,pc(sin2c)pc连结a,b,c,得abc.因为p为abc外心,所以外心p到abc各顶点的距离为abc的外切圆的半径,设为r,且bpc=2a.spbc= |pb|pc|sinbpc= sin2b|pb|sin2c|pc|sinbpc=sin2bsin2c r2sin2a= r2sin2asin2bs
5、in2c同理可得spab= r2sin2asin2bsin2c,spca= r2sin2asin2bsin2c所以spab=spab=spab spab,得p为abc的重心,有pa+pb+pc=0即(sin2a)pa+(sin2b)pb+(sin2c)pc=0成立,反之亦成立.2.p是abc的外心(acosa)pa+(bcosb)pb+(ccosc)pc=0证明:根据p是abc的外心(sin2a)pa+(sin2b)pb+(ccosc)pc=0由正弦定理得p是abc的外心(acosa)pa+(bcosb)pb+(ccosc)pc=03.设p是abc 所在平面内任意一点,o为abc的外心po=证
6、明:o为abc的外心(sin2a)oa+(sin2b)+(sin2c)oc=0(sin2a)op+(sin2a)pa+(sin2b)op+(sin2b)pb+(sin2b)op+(sin2c)pc=0po=四、垂心(高线交点)1.h是abc的垂心hahb=hbhc=hcha证明:由hahb=hbhc hb(hc-ha)=0 hbac=0 hbac同理hcab故h是abc的垂心,反之亦然.2.h是abc的垂心证明:由ha2+bc2=hb+ac2ha2-hb2+bc2+bc2-ac2=0(ha+hb+bc+ac)ba=02hcba=0 hcab同理habc,故h是abc的垂心,反之亦然.3.h是a
7、bc(非直角三角形)的垂心(tana)ha+(tanb)hb+(tanc)hc=0证明:设h是abc的垂心,如图5,作向量连结a,b,c,得到abc.shcb= |hb|hc|sinbhc= (tanb)|hb|(tanc)|hc|sinbhc=tanbtancshbc=tanc |bc|hd|因为h为abc垂心,所以bhd=acb,chd=abc.所以有|bd|=|hd|tanbhd=|hd|tanc|bd|=|hd|tanbhd=|hd|tanc|cd=|hd|tanchd=|hd|tanb.又因为|ad|=|bd|tanb.|ad|=|cd|tanc,所以|ad|2=|bd|cd|tan
8、btanc=|hd|2(tanbtanc)2即|ad|=|hd|tanbtanc所以shbc= |bc|ad|=shbc同理可得shbc=sabc;shbc=sabc所以shab=shbc=shca= sabch为abc的重心,从而ha+hb+hc=0,即(tana)ha+(tanb)hb+(tanc)hc=0成立,反之亦成立.4.h是abc(非直角三角形)的垂心ha+ hb+ hc=0ha+ hb+ hc=0.证明:由 =tana, =tanb, =tanc及正弦定理得h是abc的垂心(tana)ha+(tanb)hb+(tanc)=0 ha+ hb+ hc=0ha+ hbhc=0(tana
9、)hp+(tana)pa+(tanb)hp+(tanb)pb+(tanc)hp+(tanc)pc=0再由余弦定理得h是abc的垂心ha hb hc=05.设p是abc(非直角三角形)所在平面内任意一点,h是abc的垂心pa=证明:h是abc的垂心(tana)ha+(tanb)hb+(tanc)hc=0(tana)hp+(tana)pa+(tanb)hp=(tanc)hp+(tanc)pc=0ph=向量是高中教材的重要内容之一,它具有代数和几何的“双重身份”,所以它的引入给传统的中学数学带来了无限生机和活力,使我们对量的数学表达的认识进入了一个崭新的领域。向量是数形结合的载体,在它的身上处处闪耀着数学美的光辉,蕴涵着浓厚的数学思想。学好平面向量,不仅可以掌握生活、学习中解决问题的一项有力工具,拓宽思维渠道,提高创新能力,而且还能够陶冶情操,享受数学思想方法带来的向量学的美丽.专心-专注-专业