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1、精选优质文档-倾情为你奉上2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（1）计算的值为（ ）（A）1 （B） （C）2 009 （D）2 010【解】选A原式ecbdfa第（2）题（2）如图，是一个正方体的表面展开图，正方体的每个面都标注了字母在展开前，与标注字母的面相对的面内标注的字母为（ ）（A） （B） （C） （D）【解】选B（3）如图，在梯形ABCD中，ABDC，ABBC，E是AD的中点，,ABCDE第（3）题，则梯形ABCD的面积等于（ ）（A）13 （B）8 （C） （D）4ABCDE【解】选D如图，过点E作交B
2、C于点F，F则,又,在Rt中，即，解得 或，则或, （4）某个一次函数的图象与直线平行，与轴，轴的交点分别为A，B，并且过点（，），则在线段上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个【解】选B根据题意，设一次函数的解析式为，由点（，）在该函数图象上，得，解得所以，可得点A（6，0），B（0，）由，且为整数，取时，对应的是整数因此，在线段上（包括点A、B），横、纵坐标都是整数的点有4个第（5）题（5）如图，一个半径为的圆形纸片在边长为（）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）（A） （B）
3、（C） （D）【解】选C如图，当圆形纸片运动到与的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心作两边的垂线，垂足分别为D，E，连，则Rt中，AED有由题意，得，圆形纸片不能接触到的部分的面积为二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（6）如图，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 第（6）题【解】点数之积378962141618378921242756789638972根据题意，当不考虑抽牌顺序时，可以画出如下的树形图 从上图可以看出，从五张牌中任意抽取两张，共有10种抽法，其中抽取的点数之积是偶数的有7种，所以点数之积是偶数的概率第1行第
4、2行第3行第4行第5行第6行第（7）题（7）如图，是一个树形图的生长过程，自上而下，一个空心圆生成一个实心圆，一个实心圆生成一个实心圆和一个空心圆，依此生长规律，第9行的实心圆的个数是 【解】21个观察图形规律，可得，从第3行起，每行中的实心圆的个数都是上两行实心圆个数的和于是，第7行实心圆的个数为358（个）；CABDM第（8）题第8行实心圆的个数为5813（个）；第9行实心圆的个数为81321（个）（8）如图，在ABC中，中线CM与高线CD三等分，则等于 （度）.【解】.CABDMN根据题意，可得，.，,. .过点作于点N,. .于是，在Rt中，.（9）有个连续的自然数1，2，3，若去掉其
5、中的一个数后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的和的值分别是 .（参考公式：）【解】，；，；，.由已知，个连续的自然数的和为.若，剩下的数的平均数是 ；若，剩下的数的平均数是 ，故，解得 .当时，解得；当时，解得；当时，解得.（10）母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲.小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面三种花各2枝，则她应付 元【解】20方法一：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元，根据已知条件，列出方程组消去，得 将代入，得由，得 有 所以，小莹应付20元方法二：， 解得三、解答
6、题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分）（11）（本小题满分20分）xyO已知，抛物线（）经过、两点，图中的曲线是它的一部分根据图中提供的信息，（）确定，的符号；（）当变化时，求的取值范围【解】（）如图，由抛物线开口向上，得3分由抛物线过点，得 6分由抛物线对称轴在轴的右侧，得，又 ，得， 10分（）由抛物线过点，得即，由，得 16分， 20分（12）（本小题满分20分）设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为若均为整数，且 ，求满足条件的直角三角形的个数【解】由勾股定理，得 3分又，得即整理，得即 8分因为均为正整数，不妨设，可得或或可解出或或ABCD所以，满足条件的直角三角形有3
7、个 20分（13）（本小题满分20分）如图，在中，点在边上，且将以直线为轴做轴对称变换，得到，连接，（）求证；ABCD（）求的大小（）【证明】是沿做轴对称变换得到的，.有，3分，5分取中点P，连接，则为等边三角形，为等腰三角形，8分有，即 10分BDFGAC（）【解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，即点在的平分线上，13分，即点在的平分线上，16分于是，则点在的平分线上18分又,有20分（14）（本小题满分20分）ACD图（a）（）如图（），在正方形内，已知两个动圆与互相外切，且与边AB、AD相切，与边BC、CD相切若正方形的边长为1，与的半径分别为，求与的关系式；BCAD图（b）求与面积之和的最小值B（）如图（b），若将（）中的正方形改为一个宽为1，长为的矩形，其他条件不变，则与面积的和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值【解】（）如图（），在正方形ABCD中，连接，显然与在上，ACD图（a）B且，由， 5分根据题意，可得，即与的面积之和，这里，由，8分当时，与是等圆，其面积和的最小值为10分BCAD图（b）（）如图（b），作辅助线，得到Rt，则，在Rt中，即解得或由于，故不合题意，应舍去 15分与的面积之和，而，当且仅当时，等号成立，当时，与面积和存在最小值，最小值为，即20分专心-专注-专业