2019年广东省汕头市高考数学一模试卷(理科)(a卷)(共18页).docx-淘文阁

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2019年广东省汕头市高考数学一模试卷（理科）（A卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|log2x0，Bx|x2，则AB（）Ax|x2Bx|0x2Cx|0x2Dx|1x22（5分）已知aR，i是虚数单位，复数，若，则a（）A0B2C2D13（5分）已知离散型随机变量X的分布列为X0123P m 则X的数学期望E（X）（）AB1CD24（5分）已知向量，若，则向量与向量的夹角为（）ABCD5（5分）动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x+20相切，则动圆必经过定点（）A（4，

2、0）B（2，0）C（0，2）D（0，2）6（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数yg（x）的图象，则g（x）在上的最小值为（）A1BCD07（5分）将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宜传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）ABCD8（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（）AA1OD1CBA1OBCCA1O平面B1CD1DA1O平面AB1D19（5分）若函数f（x）ex（cosxa）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（）AB（1，+）

3、C1，+）D10（5分）过双曲线1（a0，b0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐进线交于C，D两点，若|AB|CD|，则双曲线离心率的取值范围为（）A，+）B，+）C（1，D（1，11（5分）三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABC30，APC的面积为2，则三棱锥PABC的外接球体积的最小值为（）ABC64D412（5分）定义在上的函数f（x），满足，且当时，f（x）lnx，若函数g（x）f（x）ax在上有零点，则实数a的取值范围是（）ABln，0CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）设x，y满足约束条件，则z4x+y的最大值为 14（5分

4、）已知，则cos2 15（5分）在（1ax+x2）5的展开式中，x3的系数为30，则实数a的值为 16（5分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a1，且（bc2）cosA+accosB1b2，则ABC面积的最大值为三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且2Snnan+2an1（1）求数列an的通项公式；（2）若数列的前n项和为Tn，证明：Tn418（12分）如图，四棱锥PABCD中，PA菱形ABCD

5、所在的平面，ABC60，E是BC中点，F是PC上的点（1）求证：平面AEF平面PAD；（2）若M是PD的中点，当ABAP时，是否存在点F，使直线EM与平面AEF的所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由19（12分）我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布N（32，16）（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能

6、性有多大？（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：人工投入增量x（人）234681013年收益增量y（万元）13223142505658该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：模型：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则ybt+a，且有（i）根据所给的统计量，求模型中y关于x的回归方程（精确到0.1）；（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测

7、人工投入增量为16人时的年收益增量回归模型模型模型回归方程 182.479.2附：若随机变量ZN（，2），则P（3Z+3）0.9974，0.0.9871；样本（ti，yi）（i1，2，n）的最小二乘估计公式为：，另，刻画回归效果的相关指数20（12分）已知椭圆C：（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|2，F1AF260，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点（）求椭圆C的方程；（）若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MNPQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由21（12分）已知f（x）（a0）（1）讨论f（x

8、）的单调性；（2）若f（x）存在3个零点，求实数a的取值范围（二）选考题：共（10分）请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数，a0）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为（1）设P是曲线C上的一个动点，若点P到直线l的距离的最大值为，求a的值；（2）若曲线C上任意一点（x，y）都满足y|x|+2，求a的取值范围选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+k|+|x2|（kR）（1）若k4，求不等式f（x）x22x4的解集；（2）设k4，当

10、由题意可得：m1可得mE（X）1故选：B4（5分）已知向量，若，则向量与向量的夹角为（）ABCD【解答】解：由，得：（3k，3），又，所以33（3k），即k2，即（2，2），所以（4，4），又（24+（2）40，所以（，故向量与向量的夹角为，故选：D5（5分）动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x+20相切，则动圆必经过定点（）A（4，0）B（2，0）C（0，2）D（0，2）【解答】解：由抛物线y28x，得到准线方程为x+20，焦点坐标为（2，0），动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x+20相切，动圆必经过定点（2，0）故选：B6（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函

11、数yg（x）的图象，则g（x）在上的最小值为（）A1BCD0【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数yg（x）sin（2x）sin（2x）的图象，在上，2x，故当2x时，函数取得最小值为1，故选：A7（5分）将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宜传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）ABCD【解答】解：将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宜传资料，基本事件总数n20，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组包含的基本事件个数：m9，则甲、乙至少一人

12、参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为p故选：C8（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（）AA1OD1CBA1OBCCA1O平面B1CD1DA1O平面AB1D1【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，A1DB1C，ODB1D1，A1DDOD，B1D1B1CB1，平面A1DO平面B1CD1，A1O平面A1DO，A1O平面B1CD1故选：C9（5分）若函数f（x）ex（cosxa）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（）AB（1，+）C1，+）D【解答】解：f（x）ex（cosxsinxa），

13、若f（x）在区间上单调递减，则cosxsinxa0区间上恒成立，即acosxsinx，x，令h（x）cosxsinxsin（x），x，故x（，），故sin（x）的最大值是1，此时x，即x，故h（x）的最大值是，故a，故选：D10（5分）过双曲线1（a0，b0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐进线交于C，D两点，若|AB|CD|，则双曲线离心率的取值范围为（）A，+）B，+）C（1，D（1，【解答】解：当xc时代入1得y，则A（c，），B（c，），则AB，将xc代入yx得y，则C（c，），D（c，），则|CD|，|AB|CD|，即bc，则b2c2c2a2，即c2a2

14、，则e2，则e，故选：B11（5分）三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABC30，APC的面积为2，则三棱锥PABC的外接球体积的最小值为（）ABC64D4【解答】解：如图，设ACx，由APC的面积为2，得PA，ABC30，三角形ABC外接圆的半径rx，PA平面ABC，PA，O到平面ABC的距离为dPA，设球O的半径为R，则R，当且仅当时“”成立三棱锥PABC的外接球体积的最小值为故选：A12（5分）定义在上的函数f（x），满足，且当时，f（x）lnx，若函数g（x）f（x）ax在上有零点，则实数a的取值范围是（）ABln，0CD【解答】解：因为当时，f（x）lnx，所以x（1，时，所以f（）

15、lnx，此时，故f（x）lnx，x（1，所以f（x）在上的图象如图，要使函数g（x）f（x）ax在上有零点，只要直线yax与f（x）的图象有交点，由图象可得，kOAa0，其中，所以使函数g（x）f（x）ax在上有零点，则实数a的取值范围是ln，0故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）设x，y满足约束条件，则z4x+y的最大值为19【解答】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由z4x+y得y4x+z，平移直线y4x+z，由图象可知当直线y4x+z经过点B时，直线y4x+z的截距最大，此时z最大，由，解得A（5，1），此时z45119，故答案为：1914（5分

16、）已知，则cos2【解答】解：已知，tan，则cos2，故答案为：15（5分）在（1ax+x2）5的展开式中，x3的系数为30，则实数a的值为1【解答】解：在（1ax+x2）5的展开式中，通项公式Tr+1（x2ax）r，（x2ax）r的通项公式Tk+1（x2）rk（ax）k（a）kx2rk，令2rk3则r2时，k1；r3时，k3x3的系数为30，解得a1故答案为：116（5分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a1，且（bc2）cosA+accosB1b2，则ABC面积的最大值为【解答】解：a1，且（bc2）cosA+accosB1b2，（bc2）ac1b2，即1b2

17、，即c21b2，即c2+b210，c2+b2a20，即（c2+b2a2）（1）0，ABC是锐角三角形形，cosA0，即c2+b2a20，则10，即bc1，由余弦定理得a2b2+c22bccosA2bc2bccosA，即122cosA，得2cosA1，得cosA，即0a60，则三角形的面积SbcsinA，即三角形面积的最大值为，故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且2Snnan+2an1（1）求数列an的通项公式；（

18、2）若数列的前n项和为Tn，证明：Tn4【解答】解：（1）当n1时，2S1a1+2a11，即a11，（1分）当n2时，2Snnan+2an1，2Sn1（n1）an1+2an11（2分），得2annan（n1）an1+2an2an1，即nan（n+1）an1，（3分）所以，且，（4分）所以数列为常数列，（5分），即（6分）（2）由（1）得，所以，（8分）所以，（9分），（没写也不扣分）（10分）（11分）（12分）18（12分）如图，四棱锥PABCD中，PA菱形ABCD所在的平面，ABC60，E是BC中点，F是PC上的点（1）求证：平面AEF平面PAD；（2）若M是PD的中点，当ABAP时，是否

19、存在点F，使直线EM与平面AEF的所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：连接AC，因为底面ABCD为菱形，ABC60，所以ABC是正三角形，E是BC的中点，AEBC，（1分）又ADBC，AEAD，（2分）PA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAE，（3分）又PAADA，AE平面PAD，（4分）又AE平面AEF，所以平面AEF平面PAD（5分）（2）解：以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设ABAP2，则，则，（6分）设，则，（7分）又，设是平面AEF的一个法向量，则，取z，得，（9分）设直线EM与平面AEF所成角为，由，得：（10分）化简得：

20、10213+40，解得或，故存在点F满足题意，此时为或（12分）19（12分）我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布N（32，16）（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：人工投入增量x（人）234681013年收

21、益增量y（万元）13223142505658该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：模型：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则ybt+a，且有（i）根据所给的统计量，求模型中y关于x的回归方程（精确到0.1）；（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量回归模型模型模型回归方程 182.479.2附：若随机变量ZN（，2），则P（3Z+3）0.9974，0.0.9871；样

22、本（ti，yi）（i1，2，n）的最小二乘估计公式为：，另，刻画回归效果的相关指数【解答】解：（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量N（32，16），则32，4，（1分）由正态分布的对称性可知，设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为X只，故XB（10，0，0013），故P（X1）1P（X0）1（10.0013）1010.98710.0129，所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性仅为1.29%（5分）（2）（i）由，有，（6分）且，（7分）所以，模型中y关于x的回归方程为（8分）（ii）由表格中的数据，有182.479.2，即（9分）模型的R2小于模型

23、，说明回归模型刻画的拟合效果更好（10分）当x16时，模型的收益增量的预测值为（万元），（11分）这个结果比模型的预测精度更高、更可靠（12分）20（12分）已知椭圆C：（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|2，F1AF260，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点（）求椭圆C的方程；（）若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MNPQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由【解答】解：（）由得a2c，|AF1|2，|AF2|2a2，由余弦定理得，解得c1，a2，b2a2c23，所以椭圆C的方程为（）存在这样的点M符

24、合题意设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），由F2（1，0），设直线PQ的方程为yk（x1），由得（4k2+3）x28k2x+4k2120，由韦达定理得，故，又点N在直线PQ上，所以因为MNPQ，所以，整理得，所以存在实数m，且m的取值范围为21（12分）已知f（x）（a0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在3个零点，求实数a的取值范围【解答】解：（1）f（x）ax+a+ex+（x2）ex（x1）（exa）（1分）因为a0，由f（x）0，得x11或x2lna（2分）（i）当0ae时，1lna，在（，lna）和（1，+）上，f（x）0，f（x）单调递增；在（lna

25、，1）上，f（x）0，f（x）单调递减，（3分）（ii）当ae时，1lna，在（，+）上，f（x）0，f（x）单调递增，（4分）（iii）当ae时，lna1，在（，1）和（lna，+）上，f（x）0，f（x）单调递增；在（1，lna）上，f（x）0，f（x）单调递减，（5分）（2）f（x）ax2+ax+（x2）ex（x2）（ax+ex），所以f（x）有一个零点x2（6分）要使得f（x）有3个零点，即方程有2个实数根，又方程，令，（7分）即函数ya与yh（x）图象有两个交点，令，得x1（8分），h（x）的单调性如表：x（，0）（0，1）1（1，2）（2，+）h（x）0+h（x）极小值当x0时，h

26、（x）0，又h（2）e2，h（x）的大致图象如图：（11分）（9分）所以，要使得f（x）有3个零点，则实数a的取值范围为（2e，e2）（e2，+）（12分）（二）选考题：共（10分）请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数，a0）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为（1）设P是曲线C上的一个动点，若点P到直线l的距离的最大值为，求a的值；（2）若曲线C上任意一点（x，y）都满足y|x|+2，求a的取值范围【解答】解：（1）依题意得曲线C的普通方

27、程为：x2+（ya）24，因为sin（）2，所以sincos4，因为xcos，ysin，所以直线l的直角坐标方程为：xy40，所以圆心C（0，a）到直线的距离为，依题意得222，因为a0，解得a8（2）因为曲线C上任意一点（x，y）都满足y|x|+2，所以2，所以|a2|，解得a22或a2+2，又a0，所以a的取值范围为2+2，+）选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+k|+|x2|（kR）（1）若k4，求不等式f（x）x22x4的解集；（2）设k4，当x1，2时都有f（x）x22x+4，求k的取值范围【解答】解：（1）k4时，函数f（x）|2x+4|+|x2|，所以f（x），当x

28、2时，由f（x）x22x4化为3x2x22x4，解得1x2，所以此时不等式无解；当2x2时，由f（x）x22x4化为x+6x22x4，解得2x5，所以是2x2；当x2时，由f（x）x22x4化为3x+2x22x4，解得1x6，所以是2x6；综上所述，不等式f（x）x22x4的解集为x|2x6；（2）设k4，则2，当x1，2时，f（x）3x+2k，不等式f（x）x22x+4化为3x+2kx22x+4，即x2+x+k+20；设g（x）x2+x+k+2，则g（x）0在x1，2恒成立，即g（2）4+2+k+20，解得k8，k的取值范围是（，8声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/4/9 19:22:04；用户：SS张老师；邮箱：；学号：专心-专注-专业

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