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1、精选优质文档-倾情为你奉上1（湖南省永州市）探究问题：（1）阅读理解：如图（A），在已知ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PAPBPC的值为ABC的费马距离CBAP（图A）CBAD（图B）如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有ABCDBCDAACBD，此为托勒密定理（2）知识迁移：请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边ABC外接圆的 上任意一点求证：PBPCPA根据（2）的结论，我们有如下探寻ABC（其中A、B、C均小于120）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在ABC的外部以BC为边长
2、作等边BCD及其外接圆；第二步：在上任取一点P，连结PA、PB、PC、PD易知PAPBPCPA(PBPC)PA_；DBCAP（图D）PBAC（图C）第三步：请你根据（1）中定义，在图（D）中找出ABC的费马点P，并请指出线段_的长度即为ABC的费马距离BCA30（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的ABC（其中A、B、C均小于120），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值2（湖南
3、省娄底市）如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB2，DC10，ADBC5，点M、N分别在边AD、BC上运动，并保持MNAB，MEDC，NFDC，垂中分别为E、F（1）求梯形ABCD的面积；（2）探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由；CABDMNFE（3）探究二：四边形MNFE能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由3. (浙江义乌)如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线将直线平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E（1）将直线向右平移，设平移距离CD为(t0)，直角梯形OABC被直
4、线扫过的面积（图中阴影部份）为，关于的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；当时，求S关于的函数解析式；AOBMDC图12yx（2）在第（1）题的条件下，当直线向左或向右平移时（包括与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由 4（湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知
5、点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.5. 某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站由供水站直接铺设管道到另外两处如图，甲，乙两村坐落在夹角为的两条公路的段和段（村子和公路的宽均不计），点表示这所中学点在点的北偏西的3km处，点在点的正西方向，点在点的南偏西的km处为使供水站铺
6、设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段某处），甲村要求管道建设到处，请你在图中，画出铺设到点和点处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段某处），请你在图中，画出铺设到乙村某处和点处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？MAECDBF乙村甲村东北图MAECDBF乙村甲村图OO2009-25为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并
7、约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元该产品每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示（1）求月销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润销售额生产成本员工工资其它费用），该公司可安排员工多少人？（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？421406080x（元）（万件）yO2010-25已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，b），其中且、为实数（3）（1）求一次函
8、数的表达式（用含b的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1x2 |的范围2-10-26如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动设运动时间为t秒（1）用t的式子表示OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；BAPxCQOy第26题图（3）当OPQ与PAB和QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线
9、段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比来源:Zxxk.Com2011-25使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数的零点。 己知函数 (m为常数)。 （1）当=0时，求该函数的零点；（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式。26如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0,2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其
10、一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，ABQ为定值；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。2012-25在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工已知生产这种产品的成本价为每件20元经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为
11、：（年获利=年销售收入生产成本投资成本）（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围26如图半径分别为m，n（0mn）的两圆O1和O2相交于P，Q两点
12、，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，O2与x轴，y轴分别切于点R，点H（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由2013-25设是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数” （1）反比
13、例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式； （3）若二次函数是闭区间上的“闭函数”，求实数的值。26如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点A，点B，动点P在第一象限内，由点P向轴，轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P运动时，矩形PMON的面积为定值2 （1）求的度数； （2）求证：；（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段 AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角 形的外接圆面积为，的面积为 试探究：是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由 （第26题）
14、2014-25在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（1，1），（0，0），（，），都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足2x12，|x1x2|=2，令t=b22b+，试求出t的取值范围26、如图，
15、抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点A（0，2）（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，P始终与x轴相交；（3）设P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1x2）两点，当AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标考点：2014-25二次函数综合题分析：（1）先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=，运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）假设函数y=3kx+s1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=3kx+s1，整理得（3k1
16、）x=1s，再分三种情况进行讨论即可；（3）先将A（x1，x1），B（x2，x2）代入y=ax2+bx+1，得到ax12+（b1）x1+1=0，ax22+（b1）x2+1=0，根据方程的解的定义可知x1，x2是一元二次方程ax2+（b1）x+1=0的两个根，由根与系数的关系可得x1+x2=，x1x2=，则（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=4，整理得出b22b=（2a+1）22，则t=b22b+=（2a+1）2+再由2x12，|x1x2|=2，得出4x24，8x1x28，即88，又a0，解不等式组得出a，进而求出t的取值范围解答：解：（1）点P（2，m）是“梦之点”，m=2，点P（2，
17、2）在反比例函数y=（n为常数，n0）的图象上，n=22=4，反比例函数的解析式为y=；2）假设函数y=3kx+s1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=3kx+s1，整理，得（3k1）x=1s，当3k10，即k时，解得x=；当3k1=0，1s=0，即k=，s=1时，x有无穷多解；当3k1=0，1s0，即k=，s1时，x无解；综上所述，当k时，“梦之点”的坐标为（，）；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s1时，不存在“梦之点”；（3）二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），x1=ax1
18、2+bx1+1，x2=ax22+bx2+1，ax12+（b1）x1+1=0，ax22+（b1）x2+1=0，x1，x2是一元二次方程ax2+（b1）x+1=0的两个不等实根，x1+x2=，x1x2=，（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=（）24=4，b22b=4a2+4a1=（2a+1）22，t=b22b+=（2a+1）22+=（2a+1）2+2x12，|x1x2|=2，4x20或0x24，4x24，8x1x28，88，a0，a（2a+1）2+=，t考点：/26、二次函数综合题分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可；（2）设P（x，y），表示出P
19、的半径r，进而与x2比较得出答案即可；（3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，抛物线的一般式为：y=ax2，=a（）2，解得：a=，图象开口向上，a=，抛物线解析式为：y=x2，故a=，b=c=0；（2）设P（x，y），P的半径r=，又y=x2，则r=，化简得：r=x2，点P在运动过程中，P始终与x轴相交；（3）设P（a，a2），PA=，作PHMN于H，则PM=PN=，又PH=a2，则MH=N
20、H=2，故MN=4，M（a2，0），N（a+2，0），又A（0，2），AM=，AN=，当AM=AN时，=，解得：a=0，当AM=MN时，=4，解得：a=22（负数舍去），则a2=4+2；当AN=MN时，=4，解得：a=22（负数舍去），则a2=42；综上所述，P的纵坐标为0或4+2或42解：（1）当时，令，则解得 同理，当时，-4分 （直接写出这个函数式也记4分）2010 26解：(1) CQt，OP=t，CO=8 OQ=8tSOPQ（0t8） 3分(2) S四边形OPBQS矩形ABCDSPABSCBQ32 5分四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32 6分（3）当OPQ与PAB和QPB相似
21、时, QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是QPB90又BQ与AO不平行 QPO不可能等于PQB，APB不可能等于PBQ根据相似三角形的对应关系只能是OPQPBQABP 7分解得：t4经检验：t4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P（，0）B（，8）且抛物线经过B、P两点，抛物线是，直线BP是： 8分设M（m, ）、N(m，) M在BP上运动 与交于P、B两点且抛物线的顶点是P当时， 9分 当时，MN有最大值是2设MN与BQ交于H 点则、SBHMSBHM ：S五边形QOPMH3:29当MN取最大值时两部分面积之比是3：29 10分2011 25. （1）当=0时，该函数的零点为和。
22、（2）令y=0，得=无论取何值，方程总有两个不相等的实数根。即无论取何值，该函数总有两个零点。（3）依题意有，由解得。函数的解析式为。令y=0，解得A()，B(4,0)作点B关于直线的对称点B，连结AB，则AB与直线的交点就是满足条件的M点。易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）。连结CB，则BCD=45BC=CB=6，BCD=BCD=45BCB=90即B（）设直线AB的解析式为，则，解得直线AB的解析式为，即AM的解析式为。26、（1）过点B作BCy轴于点C，A(0,2)，AOB为等边三角形，AB=OB=2，BAO=60，BC=，OC=AC=1，即B（）（2）当点P
23、在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性，PAQ=OAB=60，PAO=QAB，在APO和AQB中，AP=AQ，PAO=QAB，AO=ABAPOAQB总成立，ABQ=AOP=90总成立，当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，ABQ为定值90。（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行。 当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若ABOQ，四边形AOQB即是梯形，当ABOQ时，BQO=90，BOQ=ABO=60。又OB=OA=2，可求得BQ=，由（2）可知，APOAQB，OP=BQ=，此时P的坐标为（）。当点P在x轴正半轴上时，点Q在嗲牛B的上方，此时
24、，若AQOB，四边形AOQB即是梯形，当AQOB时，ABQ=90，QAB=ABO=60。又AB= 2，可求得BQ=，由（2）可知，APOAQB，OP=BQ=，此时P的坐标为（）。综上，P的坐标为（）或（）。2012-25解答：解：（1）252830，把28代入y=40x得，y=12（万件），答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；（2）当 25x30时，W=（40x）（x20）25100=x2+60x925=（x30）225，故当x=30时，W最大为25，及公司最少亏损25万；当30x35时，W=（250.5x）（x20）25100=x2+35x625=（x35）212.5故当
25、x=35时，W最大为12.5，及公司最少亏损12.5万；对比1，2得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；（3）当 25x30时，W=（40x）（x201）12.510=x2+59x782.5令W=67.5，则x2+59x782.5=67.5化简得：x259x+850=0 x1=25；x2=34，此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，25x30；当30x35时，W=（250.5x）（x201）12.510=x2+35.5x547.5，令W=67.5，则x2+35.5x547.5=67.5，化简得：x271x+1230=0 x1=30
26、；x2=41，此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30x35，答：到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是25x30或30x3526解答：解：（1）由题意可知O1（m，m），O2（n，n），设过点O1，O2的直线解析式为y=kx+b，则有：（0mn），解得，所求直线的解析式为：y=x（2）由相交两圆的性质，可知P、Q点关于O1O2对称P（4，1），直线O1O2解析式为y=x，Q（1，4）如解答图1，连接O1QQ（1，4），O1（m，m），根据两点间距离公式得到：O1Q=又O1Q为小圆半径，即QO1=m，=m，化简得：m210m+17=0 如解答图1，连接O2Q，同
27、理可得：n210n+17=0 由，式可知，m、n是一元二次方程x210x+17=0 的两个根，解得：x=5，0mn，m=5，n=5+O1（m，m），O2（n，n），d=O1O2=8（3）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx+c，因为开口向下，所以a0如解答图2，连接PQ由相交两圆性质可知，PQO1O2P（4，1），Q（1，4），PQ=，又O1O2=8，S1=PQO1O2=8=；又S2=（O2R+O1M）MR=（n+m）（nm）=；=1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1抛物线过点P（4，1），Q（1，4），解得，抛物线解析式为：y=ax2（5a+1）x+5+4a，令y=0，则有：ax
28、2（5a+1）x+5+4a=0，设两根为x1，x2，则有：x1+x2=，x1x2=，在x轴上截得的线段长为1，即|x1x2|=1，（x1x2）2=1，（x1+x2）24x1x2=1，即（）24（）=1，化简得：8a210a+1=0，解得a=，可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a0）矛盾，不存在这样的抛物线2013BCA30D1.（2）证明：由托勒密定理可知PBACPCABPABC 2分ABC是等边三角形ABACBCPBPCPA 3分PD AD 6分（3）解：如图，以BC为边长在ABC的外部作等边BCD，连接AD，则知线段AD的长即为ABC的费马距离 8分BCD为等边三角形，BC4C
29、BD60，BDBC4ABC30，ABD90在RtABD中，AB3，BD4AD5（km）从水井P到三个村庄所铺设的输水管总长度的最小值为5km-10分2解：（1）过点A作AHDC于H，交MN于点G在梯形ABCD中，ABCD，AB2，DC10，ADBC5DH(102)4，AH3 2分S梯形ABCD (ABDC)AH(210)318 4分（2）四边形MNFE的面积有最大值ABCD，MNAB，MNCD，即MNEFMEDC，NFDC，MENF，MEF90四边形MNFE是矩形 5分设MEx，则AG3xCABDMNFEHGMEDAHD90，MDEADHMDEADH，即，DExMNDC2DE10x 6分S矩形
30、MNFE MEMNx(10x)x 210x(x)27分当x时，四边形MNFE的面积有最大值，S最大8分（3）四边形MNFE能为正方形设MEx，则由（2）知MN10x当MEMN，即x10x，即x时，四边形MNFE为正方形 10分S正方形MNFE x 2()2 12分3. 解： （1）2分，S梯形OABC=12 2分当时，直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积直角三角开DOE面积4分（2存在 （每个点对各得1分）5分对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二： 以点D为直角顶点，作轴 设.（图示阴影），在上面二图中分别可得到点的生标为P（12，4）、P（
31、4，4）E点在0点与A点之间不可能； 以点E为直角顶点 同理在二图中分别可得点的生标为P（，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能.以点P为直角顶点同理在二图中分别可得点的生标为P（4，4）（与情形二重合舍去）、P（4，4），E点在A点下方不可能.综上可得点的生标共5个解，分别为P（12，4）、P（4，4）、P（，4）、P（8，4）、P（4，4）下面提供参考解法二：以直角进行分类进行讨论（分三类）：第一类如上解法中所示图，直线的中垂线方程：，令得由已知可得即化简得解得 ；第二类如上解法中所示图，直线的方程：，令得由已知可得即化简得解之得 ，第三类如上解法中所示图，直线的方程：，令得由已知可得即
32、解得（与重合舍去）综上可得点的生标共5个解，分别为P（12，4）、P（4，4）、P（，4）、P（8，4）、P（4，4）4. 解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；则设抛物线的解析式为(a0) 又点D(0，-3)在抛物线上，a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1 y=x2-2x-3自变量范围：-1x34分 解法2：设抛物线的解析式为(a0) 根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上 ，解之得：y=x2-2x-33分自变量范围：-1x34分 (2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM， 在RtMOC中，OM=1，CM=2
33、，CMO=60,OC= 在RtMCE中，OC=2，CMO=60，ME=4点C、E的坐标分别为(0，)，(-3,0) 6分切线CE的解析式为8分(3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k0) -9分 由题意可知方程组只有一组解即有两个相等实根，k=-2过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-35. 解：方案一：由题意可得：，点到甲村的最短距离为-（1分）点到乙村的最短距离为将供水站建在点处时，管道沿铁路建设的长度之和最小即最小值为（3分）方案二：如图，作点关于射线的对称点，则，连接交于点，则，（4分）在中，两点重合即过点（6分）在线段上任取一点，连接，则，把供水站建在乙村的点处，管道沿线路铺设的长度之和最小即最小值为（7分）方案三：作点关于射线的对称点，连接，则作于点，交于点，交于点，为点到的最短距离，即在中，两点重合，即过点在中，（10分）在线段上任取一点，过作于点，连接显然把供水站建在甲村的处，管道沿线路铺设的长度之和最小即最小值为-（11分）综上，供水站建在处，所需铺设的管道长度最短（12分）专心-专注-专业