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1、精选优质文档-倾情为你奉上高考专题突破四 高考中的立体几何问题1.正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为_.答案平行解析如图取B1C1的中点为F，连结EF，DF，DE，则EFA1B1，DFB1B，平面EFD平面A1B1BA，DE平面A1B1BA.2.设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：x、y、z均为直线；x、y是直线，z是平面；z是直线，x、y是平面；x、y、z均为平面.其中使“xz且yzxy”为真命题的是_.答案解析由正方体模型可知为假命题；由线面垂直的性质定理可知为真命题.3.(2016无锡模拟)如图，在棱长为6的
2、正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E4，C1F3，连结EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1DBC的体积为_.答案66解析如图，连结DF，DC1，那么几何体EFC1DBC被分割成三棱锥DEFC1及四棱锥DCBFC1，那么几何体EFC1DBC的体积为V346(36)66125466.故所求几何体EFC1DBC的体积为66.4.如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别为侧棱VC、VB上的点，且满足VC3EC，AF平面BDE，则_.答案2解析连结AC交BD于点O，连结EO，取VE的中点M，连结AM，MF，VC3EC，VMMEEC，又AOC
3、O，AMEO，又EO平面BDE，AM平面BDE，又AF平面BDE，AMAFA，平面AMF平面BDE，又MF平面AMF，MF平面BDE，又MF平面VBC，平面VBC平面BDEBE，MFBE，VFFB，2.5.如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.若PAAC，PA6，BC8，DF5.则直线PA与平面DEF的位置关系是_；平面BDE与平面ABC的位置关系是_.(填“平行”或“垂直”)答案平行垂直解析因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，
4、所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC，又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.题型一求空间几何体的表面积与体积例1(2016全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥D-ABCFE的体积.(1)证明由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得，故ACEF，由此
5、得EFHD，折后EF与HD保持垂直关系，即EFHD，所以ACHD.(2)解由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4，所以OH1，DHDH3，于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面DHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.又由得EF.五边形ABCFE的面积S683.所以五棱锥D-ABCFE的体积V2.思维升华(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规
6、则几何体，再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图).求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.解(1)底面正三角形中心到一边的距离为2，则正棱锥侧面的斜高为.S侧329.S表S侧S底9(2)296.(2)设正三棱锥PABC的内切球的球心为O，连结OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.VPABCVOPABVOPBCVOPACVOABCS侧rSABCrS表r(32)r.又VPABC(2)212，(32)r2，
7、得r2.S内切球4(2)2(4016).V内切球(2)3(922).题型二空间点、线、面的位置关系例2(2016扬州模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点.(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积.(1)证明在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC.因为AB平面ABC，所以BB1AB.又因为ABBC，BCBB1B，所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明方法一如图1，取AB中点G，连结EG，FG.因为E
8、，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.方法二如图2，取AC的中点H，连结C1H，FH.因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HFAB，又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，所以EC1綊AH，所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1HAE，又C1HHFH，AEABA，所以平面ABE平面C1HF，又C1F平面C1HF，所以C1F平面ABE.(3)解因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱
9、锥EABC的体积VSABCAA112.思维升华(1)证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.证明C1F平面ABE：()利用判定定理，关键是在平面ABE中找(作)出直线EG，且满足C1FEG.()利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面C1HF满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化.(2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化.(2016南京模拟)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，S
10、C的中点.求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.证明(1)由ASAB，AFSB知F为SB中点，则EFAB，FGBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.(2)由平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，则AFBC.又BCAB，AFABA，则BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.题型三平面图形的翻折问题例3(2015陕西)如图1，在直角梯形 ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平
11、面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值.(1)证明在题图1中，连结EC，因为ABBCADa，BAD，ADBC，E为AD中点，所以BC綊ED，BC綊AE，所以四边形BCDE为平行四边形，故有CDBE，所以四边形ABCE为正方形，所以BEAC，即在题图2中，BEA1O，BEOC，且A1OOCO，从而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)解由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)知，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高，由题图1知，A1OABa，平行四边形BCDE
12、的面积SBCABa2，从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3，由a336，得a6.思维升华平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.(2016苏州模拟)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图(2)折叠，折痕EFDC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后，点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积.(1)证明因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.
13、又因为ABCD是矩形，CDAD，PD与CD交于点D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.(2)解因为PDDC，PC2，CD1，PCD60，所以PD，由(1)知FDCF，在直角三角形DCF中，CFCD.如图，过点F作FGCD交CD于点G，得FGFCsin 60，所以DEFG，故MEPE，所以MD .SCDEDEDC1.故VMCDEMDSCDE.题型四立体几何中的存在性问题例4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面BMD1N与棱CC1，AA1分别交于点M，N，且M，N均为中点.(1)求证：AC平面BMD1N.(2)若A
14、DCD2，DD12，O为AC的中点.BD1上是否存在动点F，使得OF平面BMD1N？若存在，求出点F的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(1)证明连结MN.因为M，N分别为CC1，AA1的中点，所以ANAA1，CMCC1.又因为AA1CC1，且AA1CC1，所以ANCM，且ANCM，所以四边形ACMN为平行四边形，所以ACMN.因为MN平面BMD1N，AC平面BMD1N，所以AC平面BMD1N.(2)解当点F满足D1F3BF时，OF平面BMD1N，证明如下：连结BD，则BD经过点O，取BD1的中点G，连结OF，DG，又D1F3BF，所以OF为三角形BDG的中位线，所以OFDG.因为BD2
15、DD1，且G为BD1的中点，所以BD1DG，所以BD1OF.因为底面ABCD为正方形，所以ACBD.又DD1底面ABCD，所以ACDD1，又BDDD1D，所以AC平面BDD1，又OF平面BDD1，所以ACOF.由(1)知ACMN，所以MNOF.又MN，BD1是平面四边形BMD1N的对角线，所以它们必相交，所以OF平面BMD1N.思维升华对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在这假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.(2016镇江模拟)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，
16、ADDC，ABDC.(1)求证：D1CAC1；(2)问在棱CD上是否存在点E，使D1E平面A1BD.若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由.(1)证明在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连结C1D，DCDD1，四边形DCC1D1是正方形，DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1D，AD平面DCC1D1，又D1C平面DCC1D1，ADD1C.AD平面ADC1，DC1平面ADC1，且ADDC1D，D1C平面ADC1，又AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)解假设存在点E，使D1E平面A1BD.连结AD1，AE，D1E，设AD1A1DM，BDAEN，连结MN，平面AD1E平面A1BDM
17、N，要使D1E平面A1BD，可使MND1E，又M是AD1的中点，则N是AE的中点.又易知ABNEDN，ABDE.即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面A1BD.1.(2016连云港模拟)如图所示，已知平面平面l，.A，B是直线l上的两点，C，D是平面内的两点，且ADl，CBl，DA4，AB6，CB8.P是平面上的一动点，且有APDBPC，则四棱锥PABCD体积的最大值是_.答案24解析由题意知，PAD，PBC是直角三角形，又APDBPC，所以PADPBC.因为DA4，CB8，所以PB2PA.作PMAB于点M，由题意知，PM.令AMt(0t6)，则PA2t24PA2(6t
18、)2，所以PA2124t.所以PM，即为四棱锥PABCD的高，又底面ABCD为直角梯形，S(48)636.所以V36121224.2.(2016南京模拟)已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l，m.给出下列命题：lm；lm；ml；lm.其中正确的命题是_.(填写所有正确命题的序号)答案解析若l，则l，又m，则lm，故正确；若l，则l或l，又m，则l与m可能平行、相交或异面，故错误；若l，m，则lm，又m，则l与可能平行、相交或l，故错误；若l，l，则，又m，则m，故正确.综上，正确的命题是.3.(2016苏州模拟)如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，连结BD，AC1，B1D1，
19、CD1，B1C，现有以下几个结论：BD平面CB1D1；AC1平面CB1D1；CB1与BD为异面直线.其中所有正确结论的序号为_.答案解析由题意可知，BDB1D1，又B1D1平面CB1D1，BD平面CB1D1，所以BD平面CB1D1，正确；易知AC1B1D1，AC1B1C，又B1D1B1CB1，所以AC1平面CB1D1，正确；由异面直线的定义可知正确.4.(2016泰州二模)如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC；平面DCF平面BFC.在翻折过程中，
20、可能成立的结论是_.(填写结论序号)答案解析因为BCAD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则错误；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BPCF时就有BDFC，而ADBCAB234，可使条件满足，所以正确；当点P落在BF上时，DP平面BDF，从而平面BDF平面BCF，所以正确；因为点D的射影不可能在FC上，所以平面DCF平面BFC不成立，即错误.故答案为.5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当_时，D1E平面AB1F.答案1解析如图，连结A1B，则A1B是D1E在平面ABB1A1内的射影.AB1A1B，D1EAB1，又D1E平面AB
21、1FD1EAF.连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影，D1EAFDEAF.ABCD是正方形，E是BC的中点，当且仅当F是CD的中点时，DEAF，即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F，1时，D1E平面AB1F.6.(2016连云港模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ABAC，点E是BC上一点，且平面BB1C1C平面AB1E.(1)求证：AEBC；(2)求证：A1C平面AB1E.证明(1)过点B在平面BB1C1C内作BFB1E，平面BB1C1C平面AB1E，平面BB1C1C平面AB1EB1E，BF平面AB1E.AE平面AB1E，BFAE.又在直三棱柱ABCA1B1
22、C1中，BB1平面ABC，AE平面ABC，BB1AE.BB1BFB，AE平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，AEBC.(2)连结A1B，设A1BAB1G，连结GE，AEBC，ABAC，BECE，又A1GBG，GE是A1BC的中位线，GEA1C.GE平面AB1E，A1C平面AB1E，A1C平面AB1E.7.(2016南通、扬州、泰州联考)如图，在四棱锥PABCD中，PC平面PAD，ABCD，CD2AB2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点.(1)求证：PC平面BMN；(2)求证：平面BMN平面PAC.证明(1)设ACBNO，连结MO，AN，因为ABCD，ABCD，N为CD的中点，所以ABCN
23、，且ABCN，所以四边形ABCN为平行四边形，所以O为AC的中点，又M为PA的中点，所以MOPC.又因为MO平面BMN，PC平面BMN，所以PC平面BMN.(2)方法一因为PC平面PDA，AD平面PDA，所以PCAD.由(1)同理可得，四边形ABND为平行四边形，所以ADBN，所以BNPC，因为BCAB，所以平行四边形ABCN为菱形，所以BNAC.因为PCACC，所以BN平面PAC.因为BN平面BMN，所以平面BMN平面PAC.方法二连结PN，因为PC平面PDA，PA平面PDA，所以PCPA.因为PCMO，所以PAMO.又PCPD.因为N为CD的中点，所以PNCD，由(1)得ANBCCD，所以
24、ANPN，又因为M为PA的中点，所以PAMN，因为MNMOM，所以PA平面BMN.因为PA平面PAC，所以平面PAC平面BMN.8.(2016北京东城区一模)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB2，BAD60，M是PD的中点.(1)求证：OM平面PAB；(2)求证：平面PBD平面PAC.(3)当三棱锥CPBD的体积等于时，求PA的长.(1)证明因为在PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，所以OMPB.又OM平面PAB，PB平面PAB，所以OM平面PAB.(2)证明因为底面ABCD是菱形，所以BDAC.因为PA平面ABCD，BD平
25、面ABCD，所以PABD.又ACPAA，所以BD平面PAC.又BD平面PBD，所以平面PBD平面PAC.(3)解因为底面ABCD是菱形，且AB2，BAD60，所以SBCD.又VCPBDVPBCD，三棱锥PBCD的高为PA，所以PA，解得PA.9.(2016盐城测试)如图，已知三棱柱ABCABC中，平面BCCB底面ABC，BBAC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA3，E，F分别在棱AA，CC上，且AECF2.(1)求证：BB底面ABC；(2)在棱AB上找一点M，使得CM平面BEF，并给出证明.(1)证明如图，取BC的中点O，连结AO，三角形ABC是等边三角形，AOBC.平面BCCB底面ABC，AO平面ABC，平面BCCB平面ABCBC，AO平面BCCB.又BB平面BCCB，AOBB.又BBAC，AOACA，AO平面ABC，AC平面ABC，BB底面ABC.(2)解显然点M不是点A，B，若棱AB上存在一点M，使得CM平面BEF，过点M作MNAA交BE于N，连结FN，MC，MNCF，即CM和FN共面，又平面MNFC平面BEFFN，CMFN，四边形CMNF为平行四边形，MN2，MN是梯形ABBE的中位线，M为AB的中点.故当M为AB的中点时，CM平面BEF.专心-专注-专业