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1、精选优质文档-倾情为你奉上一元二次函数解法讲义【知识梳理】1.定义：一般地，如果,那么2.二次函数(配方得：的形式，其中 3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.的符号决定抛物线的开口方向：(1)当时，开口向上；顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，当 ,y值最小，最小值为 (2)当时，开口向下；顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，当 ,y值最大，最大值为 (3)相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴（或重合）的直线记作.特别地，y轴记作直线.4.顶点决定抛物线的位置:几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相
2、同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，顶点是，对称轴是直线.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为，对称轴是直线.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.6.抛物线 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置:由于抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴 0（即、同号）时，对称轴在轴左侧（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）的大小
3、决定抛物线与轴交点的位置.当，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.7.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：.已知图像上三点或三对的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标，通常选用交点式：.8.直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线得交点为.（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).（3）抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴
4、的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点：同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点； 方程组无解时与没有交点.（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于是方程的两个根，故经典例题： yx例1图 -11O【例1】二次函数的图像如
5、图所示，那么、这四个代数式中，值为正的有（ ）A、4个 B、3个 C、2个 D、1个21世纪教育网解析：1 0答案：A评注：由抛物线开口方向判定的符号，由对称轴的位置判定的符号，由抛物线与轴交点位置判定的符号。由抛物线与轴的交点个数判定的符号，若轴标出了1和1，则结合函数值可判定、的符号。【例2】已知，0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0），求原抛物线的解析式。分析：由可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。解：可设新抛物线的解析式为，则原抛物线的解析式为，又易知原抛物线过点（1，0），解得原抛
6、物线的解析式为：评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称，反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称；探索与创新：21世纪教育网【问题】已知，抛物线（、是常数且不等于零）的顶点是A，如图所示，抛物线的顶点是B。（1）判断点A是否在抛物线上，为什么？（2）如果抛物线经过点B，求的值；这条抛物线与轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理
7、由。 解析：（1）抛物线的顶点A（，），而当时，所以点A在抛物线上。（2）顶点B（1，0），；设抛物线与轴的另一交点为C，B（1，0），C（，0），由抛物线的对称性可知，ABC为等腰直角三角形，过A作AD轴于D，则ADBD。当点C在点B的左边时，解得或（舍）；当点C在点B的右边时，解得或（舍）。故。评注：若抛物线的顶点与轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。针对练习：一填空题1.把抛物线向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个单位，得抛物线 .2.函数图象的对称轴是 ，最大值是 .3.正方形边长为3，如果
8、边长增加x面积就增加y，那么y与x之间的函数关系是 .4.二次函数，通过配方化为的形为 .5.二次函数（c不为零），当x取x1，x2（x1x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是 .6.抛物线当b=0时，对称轴是 ，当a，b同号时，对称轴在y轴 侧，当a，b异号时，对称轴在y轴 侧.7.抛物线开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是 .8.若a时，函数值随x的增大而 .9.二次函数（a0）当a0时，图象的开口a0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a0时，情况相反. 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点. 只要解析式的二次
9、项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同. 一元二次方程（a0）的根，就是抛物线与x 轴 交点的横坐标. A. B. C. D.19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ） A.x=1 B.x=-2 C.x=3 D.x=-320. 图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ） A.y=(x+2 )2 -2 B.y=(x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2 -221.若抛物线的对称轴是则（ ） A.2 B. C.4 D.22.若函数的图象经过点（1，-2），那么抛物线的性质说得全对的是（ ）A. 开口向下，
10、对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交B. 开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交C. 开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交D. 开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交23.二次函数中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ） A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1）24.函数与（a0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）25.如图，抛物线与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC=3，SABC=6，则b的值是（ ） A.b=5 B.b=-5 C.b=5 D.b=426.二次函数（a0），若要使函数值永远小于零，则自变量x的取值范围是（ ） AX取任何实数 B.x0 D.x027.抛物线向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为（ ） A. B. C. D.28.二次函数（k0）图象的顶点在（ ） A.y轴的负半轴上 B.y轴的正半轴上 C.x轴的负半轴上 D.x轴的正半轴上29.四个函数：（x0），（x0），其中图象经过原点的函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个30.不论x为值何，函数（a0）的值永远小于0的条件是（ ） A.a0，0 B.a0,0 Ca0 D.a0,0专心-专注-专业