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1、精选优质文档-倾情为你奉上课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课）华中师范大学第一附属中学 陈开懋一、教案设计1.教案内容解读在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在必修5的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习必修1的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到必修1之前，或是安排在必修1的“集合”之后，“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二
2、次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解读几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想
3、、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面.根据以上分析，本节课的教案重点确定为教案重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用.2.学生学情诊断本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转
4、化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律.教案难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式.3.教案目标设置(1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系；(2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性；(3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养.4.教案策略分析本课作为初高中内容和方法
5、上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆锥曲线等核心概念必然联系的高度，着眼于继续学习，而又必须遵循数学的自然顺序，避免后继内容的前移。这种课的关键是整合和提升，形成基本套路并了解它在进一步学习中的基本价值。这些都需要问题驱动，循序渐进，在师生互动中不断地归纳总结。回 顾整 合提 升展 望教案流程：5教案过程环节一：回顾 师：同学们，我们初中学过一元一次不等式，同学们说说这个不等式的解集是多少啊？ 生：. 师：诶，怎么算出来的啊？哪位同学来说说？ 生：把移到右边去，再不等式左右两边同时除以3. 师：你的
6、解题依据是什么呢？ 生：不等式的性质. 师：很好，请坐，这位同学利用不等式的性质，从代数的角度把这个不等式解出来了，还有其它的解法吗？ 生：可以先画出一次函数的图象，从图象可以看出不等式的解集. 师：好，我们先画图象，怎么画这个函数的图象？ 生：找两个点. 师：找那两个点比较好？生：与坐标轴的交点.师：与轴的交点是多少?生：.师：这是怎么出来的啊？ 生：令. 即，这个方程的根. 师：很好，与轴的交点的横坐标恰好是对应一次方程的根. 与轴的交点是多少？生：令. 得，交点.师：所以这个不等式的解集就是？生：，即图象在轴上方时所对应的的范围.师：很好，请坐，由此可以看出一次函数、一次方程和一次不等式
7、三者之间有着密切的联系，谁来概括一下？ 生：一次方程的根就是一次函数图象与轴交点的横坐标（即一次函数的零点），一次不等式的解集就是一次函数图象在轴上方时所对应的的范围， 一次方程的根也是一次不等式解集的端点师：同学们再想一想，这三者之间为什么会有关系呢？生：师：我们从代数表达式来看一看， 一次方程、一次不等式和一次函数，这个三个表达式有什么共同点？，都含有一次式，对吧，所以它们之间有关系.【评析】回顾初中知识，利用一次函数的图象理解一次方程和一次不等式. 由三个“一次”，类比引出课题，并为三个“二次”的研究提供思路.环节二：整合师：很好，一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的关系.
8、我们再来看一下一元二次函数，一元二次方程、一元二次不等式，. 师：从它们表达式来看，好像也有相同的部分，是什么呀？，二次多项式，对吧？那么这三个二次之间是否也有类似三个一次之间的关系呢？这就是我们这节课要研究的内容，首先请同学们画画这个二次函数的图象. （板书课题）画一画 画出二次函数的图象.看一看 观看几何画板动画，随着动点C横坐标x的变化，纵坐标y的变化情况.说一说 （1） 当取哪些值时，？ （2）方程的根为； 当取哪些值时，？ 不等式的解集为； 当取哪些值时，？ 不等式的解集为. 问题2：一元二次方程，一元二次不等式和一元二次函数，三者之间有什么关系？动画展示：变一变问题3：对于一般的一
9、元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数，三者之间有什么关系？小组合作探究： 师：二次函数、方程和不等式三者之间有着密切的联系，函数是核心，图象是载体，可以通过函数的观点来处理方程和不等式问题.一元二次函数一元二次方程一元二次不等式图象【评析】以具体的常系数的二次函数、方程、不等式为例，让学生通过类比三个“一次”，理解三个“二次”之间的内在联系，突出二次函数在“三个二次”中的中心地位。并对一般情形的二次函数、方程和不等式之间的关系进行整合，培养学生的数学抽象、几何直观、逻辑推理等核心数学素养，具体策略是问题驱动，在教案中，鼓励学生自主探索、合作研究.师：好，对于一个具体的一元二次不等式，我们会
10、求解集，如果反过来，已知不等式的解集，你会求这个不等式吗？同学们思考这样的一个问题： 【例1】已知关于的不等式的解集为，求实数的值. 【评析】逆向变式，强化一元二次函数、方程和不等式的内在联系. 生1：依题意，是对应一元二次方程的两根，将和代入方程得，即， 解得. 生2：依题意，是对应一元二次方程的两根， 由韦达定理有，解得.师：很好，请坐. 根据三个“二次”之间的关系，不等式的解集就是函数图象在轴下方时，所对应的的取值范围，所以正好是图象与轴交点的横坐标，也就是方程的两个根，从而根据韦达定理，可以求出的值. （画图分析） 环节三：提升辩证唯物主义告诉我们，任何事物都是运动、变化、发展的，当我
11、们将方程和不等式中常系数改为字母时, 随着字母取值的不同，方程的根和不等式的解会发生相应的变化，这类方程和不等式称为含参方程和含参不等式，下面我们一起来研究两个含参问题.0y1x师：我们再把前面那个具体的方程变一下，系数上加一个参数，同学们思考这样的一个问题： 【例2】已知关于的方程，一根小于，另一根大于，求实数的取值范围.【评析】含参二次方程问题，继续对二次方程和二次函数进行整合提升，用函数的观点来处理方程问题.生1：设，则，解之得.师：有不同意见吗？生2：不对，应该还要.师：诶，生2好像说得很有道理呢？还有其它观点吗？生3：我觉得生1是对的，因为的作用是控制图象与轴有两个交点，而这是开口向
12、上的抛物线，也能保证与轴有两个交点.师，同学们同意哪位同学的说法？生：曾子轩.师：很好，题目要求这个方程的两根，一个小于，一个大于，根据函数与方程的关系，方程的根就是函数图象与轴交点的横坐标，我们可以通过控制二次函数的图象来控制方程的根，也就是要保证函数图象与轴的交点，一个在1的左侧，一个在1的右侧. 只需要，就可以控制住这个二次函数的图象了，当然如果把加进去，可不可以？也是可以的. 我们从代数的角度来检验一下，看两种解法的答案是否一样？法1：法2：.师：这是一个方程问题，我们可以根据函数与方程的关系将它转化为函数问题来处理. 师：我们再把前面那个具体的不等式也变一下，系数上加一个参数，同学们
13、思考这样的一个问题： 【例3】若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【评析】含参二次不等式问题，继续对二次不等式和二次函数进行整合提升，用函数的观点来处理不等式问题. 组内学生相互讨论，分析解题思路，再让学生先分析.学生分析：只需二次函数，在这一段的图象位于轴上方，应分三种情况讨论，当对称轴在区间的左边、中间和右边.师：非常不错啊，刘钰欣同学将这个不等式问题等价转化为函数图象问题，只需要函数图象在这一段的图象位于轴上方即可. 如何保证图象在轴上方呢？我们边看动画一起来分析. 动画展示：随着的取值变化，函数图象与轴的位置关系. 师：当对称轴在区间的左边时，怎么样就能保证图象在轴上方？ 生：只需
14、要， 师：很好，因为当对称轴在区间的左边时，函数在这一段的图象是上升的，即随着的增大而增大，只需要最小值即可. 师：当对称轴在区间的里面时，怎么样就能保证图象在轴上方？ 生：. 师：还可以通过什么来控制？ 生：. 师：就是函数的最小值大于零即可. 师：再来看，当对称轴在区间的右边时，怎么样就能保证图象在轴上方？ 生：只需要， 师：很好，因为当对称轴在区间的右边时，函数在这一段的图象是下降的，即随着的增大而减小，只需要最小值即可. 下面同学们把具体的解答过程写出来，找一个同学上黑板完成具体过程： 生：记，这个函数的对称轴为，则 当时，只需要，解得, 又，所以；当时，只需要，解得，又， 所以； 当
15、时，只需要，解得,与矛盾. 综上：.师：找个同学来点评一下.生：答案正确，但解题过程有点不对，没有讨论和的情况.师：很好，这两种情况，可以加在哪里比较好.生：加在中间.师：很好，对于含参问题，我们除了要选择恰当的分类讨论标准之外，还应该注意分类讨论还应做到不重不漏.师：好，这是一个不等式问题，我们仍然将它转化为一个函数问题来处理. 环节四：展望 师：同学们，今天莅临我们课堂的还有一位神秘嘉宾，大家想不想见一下？生：想.师：掌声有请.嘉宾：学弟，学妹们好，首先自我介绍一下，我是现在高三（15）班的刘今欣同学，很高兴走进学弟学妹们的课堂，和大家一起交流、学习. 嘉宾：大家都知道一元二次函数是中考的
16、压轴题，那么，我们今天学习的二次函数、二次方程和二次不等式在以后的高中学习中有什么作用呢？课前，陈老师给我布置了一个任务，让我归纳整理一下. 二次函数、二次方程和二次不等式在高中数学其它领域的应用. 其实三个“二次”及其相关问题的处理方法广泛应用于高中数学的各大核心模块：如数列、三角函数、立体几何、解读几何、导数等. 下面重点以三个“二次”在解读几何中的应用为例，让同学们对三个“二次”在以后学习中的地位和作用有所了解. 【案例1】直线与双曲线的右支交于不同的两点，求实数的取值范围.解：联立方程，消去，得到的一元二次方程 直线与双曲线C的右支交于不同两点，等价于方程有两个不相等的正实数根.即对应
17、二次函数图象与轴有两个交点，且交点在轴右侧. 我们可以通过以下几个条件控制二次函数的图象. 解得的取值范围是【案例2】（2016年江苏高考第19题）试卷和答案如下： 已知函数 设， 求方程的根； 若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值； 略 解：，由可得， 则，即，则，； 由题意得恒成立， 令，则由可得， 原问题等价于不等式，对任意的在上恒成立， 记， 当对称轴，即时，显然成立； 当对称轴，即时，只需，即； 当对称轴，即时，只需，与矛盾； 综上，所以实数的最大值为 【案例3】（2016年全国卷文科高考第11题）试卷和答案如下： 函数的最大值为 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 解：因为
18、，而，所以当时，取最大值5， 以上是最终可以转化为二次函数、二次方程和二次不等式的题目，其实还有更多的考题是考其他类型的方程、不等式问题，也可以用函数的观点，数形结合的思想来处理，如 【案例4】（2016年山东卷文理高考第15题，填空压轴）试卷和答案如下： 已知函数其中若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_ 解：画出函数图像如下图所示： 由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得时间关系，我暂时只讲这么多，欢迎同学们以后常来找我交流，预祝学弟学妹们早日适应华师一的学习. 也预祝大家在这个顶尖中学度过愉快而又成功的三年高中生活！【评析】结课：从高
19、中数学的核心问题中回望基础，让学生加深对三个“二次”作用的理解，并试图产生对进一步学习的期待.师：很好，谢谢这位学长. 高中数学中的许多问题，都与三个“二次”直接有关或间接有关. 二次函数、二次方程和二次不等式的研究方法为研究其它函数、方程和不等式提供了套路. 以后，对于其它类型的方程和不等式问题，我们仍然可以用函数的观点来处理. 师：这里其实还蕴含着一种重要的数学思想方法，同学们说说，是什么？生：数形结合，师：著名数学家华罗庚专为数形结合思想写了一首诗，我们一起来朗诵一下.数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非。二、教案反思本课力图尝试在解决问题的过程中，让学生经过自主探究、合作学习和教师动态演示，完成知识的回顾、整合、提升、展望通过教案实践，认识到多一点精心预设，就能融一份动态生成，体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”，注意到由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教案任务”转向“促进学生发展”可取之处：教案设计打破常规，不走寻常路，利用问题驱动完成本节课的教案目标，突出了以生为本，探索了衔接课的一种新模式改进之处：本课在基本运算，用直观支持运算，以及通过展示未来课题让学生感悟运算价值等，都做了力所能及的工作. 但如何真正驱动学生在运算方面自觉探索、自觉积累、自觉训练，如何提高学生的运算素养，还有待于教案的创新.专心-专注-专业