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1、精选优质文档-倾情为你奉上二、双曲线1、（21）（本小题满分14分）08天津已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.（）求双曲线C的方程；（）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.（21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力满分14分（）解：设双曲线的方程为（）由题设得，解得，所以双曲线方程为（）解：设直线的方程为（）点，的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得此方程有两个一等实根，
2、于是，且整理得由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，从而线段的垂直平分线方程为此直线与轴，轴的交点坐标分别为，由题设可得整理得，将上式代入式得，整理得，解得或所以的取值范围是2、（2008上海理18）已知双曲线，为上的任意点。（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点的坐标为，求的最小值；解；（1）设是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是和. 点到两条渐近线的距离分别是和， 它们的乘积是.点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一常数. （2）设的坐标为，则 ， 当时，的最小值为，即的最小值为. 3、（2007湖南理20）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直
3、线与双曲线相交于两点.（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解：由条件知，设，.解法一：（I）设，则则，由得即于是的中点坐标为.当不与轴垂直时，即.又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即.将代入上式，化简得.当与轴垂直时，求得，也满足上述方程.所以点的轨迹方程是.（II）假设在轴上存在定点，使为常数.当不与轴垂直时，设直线的方程是.代入有.则是上述方程的两个实根，所以，于是.因为是与无关的常数，所以，即，此时=.当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时.故在轴上存在定点，使为常数.解法二：（I）同
4、解法一的（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是.代入有.则是上述方程的两个实根，所以. 由得. 当时，由得，将其代入有.整理得.当时，点坐标为，满足上述方程.当与轴垂直时，求得，也满足上述方程.故点的轨迹方程是.（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由（I）有，.以上同解法一的（II）.4、21（本小题满分12分）06山东双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。（1）求双曲线C的方程； （2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。解：（）设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线
5、解得 ，双曲线的方程为（）解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程：，则在双曲线上，同理有：若则直线过顶点，不合题意.是二次方程的两根.，此时.所求的坐标为.解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程，则.，分的比为.由定比分点坐标公式得下同解法一解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程：，则.， .， ，又，即将代入得，否则与渐近线平行。 解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，则 , 。同理 .即。（*）又消去y得.当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。由韦达定理有： 代入（*）式得所求Q点的坐标为专心-专注-专业例1求经过两点P1（2，
6、1）和P2（m，2）（mR)的直线l的斜率，并且求出l的倾斜角及其取值范围.选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.解：(1)当m=2时，x1x22，直线l垂直于x轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角= (2)当m2时，直线l的斜率k=m2时，k0.=arctan,（0，），当m2时，k0arctan，(,).说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围.例2若三点A(2，3），B（3，2），C（，m）共线，求m的值.选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法.解：A、B、C三点共线，ABAC，解得m=.说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.例3已知两点A(1,5),B(3,2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率.选题意图：强化斜率公式.解：设直线l的倾斜角，则由题得直线AB的倾斜角为2.tan2=AB=即3tan2+8tan3=0，解得tan或tan3.tan20,0290,045，tan.因此，直线l的斜率是说明：由2的正切值确定的范围及由的范围求的正切值是本例解法中易忽略的地方.