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1、精选优质文档-倾情为你奉上261二次函数（一）一、学习目标1知识与技能目标：（1）理解并掌握二次函数的概念；（2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。二、学习重点难点1重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2难点：理解二次函数的概念。三、教学过程（一）创设情境、导入新课：回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？（二）自主探究、合作交流：问题1： 正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2： n边形的对角线数d与边数n之
2、间有怎样的关系?问题3： 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示?问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有 的形式。问题5：什么是二次函数？形如 。问题6：函数y=ax+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ （三）尝试应用：例1 关于x的函数 是二次函数， 求m的值 注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。例2 已知关于x的二次函数，当x=1时
3、，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式(待定系数法)（四）巩固提高：1下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=3x1 ; (2)y=3x2+2; (3)y=3x3+2x2; (4)y=2x22x+1; (5)y=x2x(1+x); (6)y=x2+x2一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积与半径之间的关系式。3、n支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m与球队数n之间的关系式。4、已知二次函数y=x+px+q，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为 5， 求这个二次函数的解析式（五）小结：1二次函数的一般形式是 。2会用
4、法求二次函数解析式。（六）作业设计 261二次函数（二）一学习目标： 1、会用描点法画出y=ax2与 y=ax2+k的图象，理解抛物线的有关概念。2、经历、探索二次函数y=ax2与 y=ax2+k的图象性质的过程，养成观察、思考、归纳的思维习惯。二学习重、难点：1. 重点：画形如y=ax2 与 y=ax2+k的二次函数的图象。2. 难点：用描点法画出二次函数y=ax2 与y=ax2+k的图象以及探索二次函数性质三教学过程：（一）创设情境、导入新课：复习提问：一次函数的图象是 ，反比例函数的图象是 。我们可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象。（二）自主探究、合
5、作交流：做一做：1在同一直角坐标系中，画出函数y=x2 、y=2x2、yx2 的图 象。x3210123y=x29410149y=2x2yx2讨论：观察并比较三个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?（小组讨论、交流结论）结论： 。想一想：函数y=x2 、y=2x2 yx2的图象有什么共同点？又有什么区别?（小组讨论、交流结论）结论： 。结合上述二次函数的性质总结函数y=ax2的图象的性质：1函数y=ax2的图象是一条_，它关于_对称，它的顶点坐标是_。2当a0时，抛物线y=ax2开口_，在对称轴的左边，曲线自左向右_；在对称轴的右边，曲线自左向右_，_是抛物线上位置最低的点；当a0时， 开
6、口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随 x的增大而增大，当x= 时函数有最小值，是 ；a0时，向 平移;当h0时， 开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随 x的增大而增大，当x= 时函数有最小值，是 ；a0时，向 平移;当h0时向 平移;当k0时，向 平移)得到的。问题5：已知抛物线y=4(x3)216 （1）写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标。（2）写出函数的增减性和函数的最值（三）尝试应用：例：要修建一个圆形的喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落
7、地处离中心，水管应多长？分析：先建立如图直角坐标系：以池中心为坐标原点，水管所在的竖直方向为轴，水平方向为轴建立直角坐标系，得到抛物线的解析式，因而求水管的长，即求（四）巩固提高：1、把抛物线向左平移5个单位，再向下平移7个单位所得的抛物线解析式是 2、已知s =(x+1)23，当x为 时，s取最 值为 。3、一个二次函数的图象与抛物线形状、开口方向相同，且顶点为，那么这个函数的解析式是 （五）小结：1、一般地，抛物线ya(xh)2与的图象特点相同；2、二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、
8、后的函数关系式及平移的路径（六）作业 261二次函数（四） 一、学习目标：1能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2 会用公式确定对称轴和顶点坐标。二、学习重点和难点：重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴。难点：配方法的推导过程。三、学习过程：（一）创设情境、导入新课：1、填表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标2、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： 3、用配方法把下列函数化为的形式： （二）自主探究、合作交流：思考：怎样画函数的图象？1、 首先用配方法将函数写成的形式。 =（）+1=2、根据顶点式确定抛物线开口方向向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。3
9、、根据函数对称性列表。54321011052125104、画对称轴，描点，连线：作出二次函数的图象归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象画法，可分三步：用配方法把函数化为形式，利用顶点式确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，利用对称点描点画图。问题：对于二次函数的一般形式，怎样求对称轴、顶点坐标？二次函数yax2bxc(a0)的图象的性质是：1对称轴是 ，顶点坐标是 2当a0时，开口向 ，当x 时，函数有最 值为 ；当a0时，开口向 ，当x 时，函数有最 值为 。（三）尝试应用：例：已知抛物线的顶点在y轴上，求的值?若顶点在x轴上呢？（四）巩固提高：1抛物线yx22x4的顶点坐标是_；对称
10、轴是_；2二次函数yax24xa的最大值是3，求a的值。（五）小结：1、会画二次函数y=ax2+bx+c的图象。2、形如的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：对称轴是 ，顶点坐标是 。（六）作业设计261求二次函数解析式一、知识要点： 1 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式（a0）求解析式。 2 若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式，其中（h，k）为顶点坐标。 3 若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式，其中为抛物线与x轴交点的横坐标。二 重点、难点： 重点：求二次函数的函数关系式；难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。教学过程：
11、（一）自主探究 、合作交流例1 二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式。例2已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，求这个二次函数的关系式； 例3 已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（1，0），求这个二次函数的解析式。例4如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的跨度AB为4m，拱高CO为08m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?（二）巩固练习：1一条抛物线yax2bxc经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。2二次函数yax2bxc与x轴的两交点的横
12、坐标是，与y轴交点的纵坐标是5，求这个二次函数的关系式。3 如图所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系上的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离地面AA1的距离为6米，隧道宽AA1为16米。 （1）求隧道拱抛物线BCB1的函数表达式； （2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。 （三）小结262用函数观点看一元二次方程【知识与技能】1总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方
13、程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根2会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。【教学重点和难点】重点是方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。难点是二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。【教学过程设计】问题： 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h20t5t2。考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行
14、高度能否达到205m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 h=20t5t2。所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。从上面可以看出：二次函数与一元二次方程关系密切。由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？问题：二次函数（1）yx2x2；（2） yx26x9；（3） yx2x0。的图象如图2622所示。（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公
15、共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？总结：一般地，如果二次函数y=的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是 。归纳一般地，从二次函数yax2bxc的图象可知，（1）如果抛物线yax2bxc与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当xx0时，函数的值是0，因此xx0就是方程ax2bxc0的一个根。（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：_，_，_。例题例、利用函数图象求方程x22x20的实数根（精确到01）。小结：总结本节的知识点。26.3.1 实际问题与二次函数(第1课时)教学目标
16、：1、知识与技能：经历数学建模的基本过程。2、方法与技能：会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。3、情感、态度与价值观：体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。教学重点：二次函数在最优化问题中的应用。教学难点：从现实问题中建立二次函数模型。教学设计：一、创设情境、提出问题给你一根长8m的铝合金条，试问： (1)你能用它制成一矩形窗框吗? (2)怎样设计，窗框的透光面积最大? (3)如何验证? 说明：解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再求这个函数关系式的顶点坐标，即得最大值二、自主探究、合作交流探究一：某商品现在的售价为每件6
17、0元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？T：（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？分析： 调整价格包括涨价和降价两种情况：设每件涨价x 元，则每星期售出的商品利润y随之变化。我们先来确定y随x变化的函数式。涨价x元时，每星期少卖 10x 件，销售量可表示为 ： 销售额可表示为： 买进商品需付： 所获利润可表示为： 当销售单价为 元时，可以获得最大利润，最大利润是 元思考：（1）怎样确定x的取值范围？ （2）在降价
18、的情况下，最大利润是多少？三、小结：解这类问题一般的步骤：（1）_；（2）_。四、例练应用，解决问题例：用长为8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？变式：现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面积最大？（结果精确到001米）五、巩固练习1某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只且每日生产的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元) ，售价每只为P(元) ，且R、P与x的关系分别为R = 500 + 30x ， P =
19、170 2x (1)当每日产量为多少时，每日获得利润为1750元? (2)当每日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少?3. 某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用长为16m的旧墙，其余各面用木材围成栅栏，计划用木材围成总长为24m的栅栏，设每间羊圈与墙垂直的一边长x( m)，三间羊围的总面积为S(m2)，则S与x的函数关系式是_，x的取值范围是_，当x=_时，面积S最大，最大面积为_六、 作业布置 2632 实际问题与二次函数(第2课时)教学目标： 1使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。2会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。
20、3发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。重点难点： 重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。 难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。教学过程：一、复习：利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大值和最小值的问题，它的一般方法是：(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。例、已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？二、例题讲解：例题1、B船位
21、于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，B船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？（1）两船的距离随着什么的变化而变化？(2)经过t小时后，两船的行程是多少？ 两船的距离如何用t来表示？分析：设经过t小时后AB两船分别到达A，B，两船之间距离为AB= 。因此只要求出被开方式为最小值，就可以求出两船之间的距离s的最小值。例2、某饮料经营部每天的固定成本为200元，某销售的饮料每瓶进价为5元。销售单价(元)6789101112日均销售量(瓶)480440400360320280240(1)若记销售单价比每瓶进价多x元时
22、，日均毛利润(毛利润售价进价固定成本)为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到01元)？最大日均毛利润为多少？ 本章中考真题选1（2010安徽） 若二次函数配方后为则、 的值分别为（ ）（A）0.5 （B）0.1 （C）4.5 （D）4.1【答案】C2（2010甘肃兰州） 二次函数的图象的顶点坐标是 （ ） A（1，8） B（1，8） C（1，2） D（1，4）【答案】A3（2010甘肃兰州） 抛物线图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为，则b、c的值为 （ ） A . b=2， c=2 B. b=2，c
23、=0 C . b= 2，c=1 D. b= 3， c=2【答案】B4（2010甘肃兰州） 抛物线图象如图所示，则一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为 （ ）xxxxx第15题图【答案】D5（2010江苏盐城）给出下列四个函数：；（）时，y随x的增大而减小的函数有 （ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C6（2010浙江金华） 已知抛物线的开口向下,顶点坐标为（2，3） ,那么该抛物线有 （ ）A. 最小值 3 B. 最大值3 C. 最小值2 D. 最大值2【答案】B 7（2010 山东济南）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是（ ）A3 B2 C1 D0【答案】B 8
24、（2010 浙江衢州）下列四个函数图象中，当x0时，y随x的增大而增大的是（）Oyx11AOyx11COyx11DOyx11B【答案】C 9.（2010 福建三明）抛物线的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）AB且 CD且【答案】B 10（2010 河北）如图5，已知抛物线的对称轴为，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为 （ ）OxyA图5x=2BA（2，3） B（3，2） C（3，3） D（4，3） 【答案】D 11（2010 山东莱芜）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过 （ ）xyOA第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限【答
25、案】D 12（2010年贵州）函数在同一直角坐标系内的图象大致是( ) 【答案】C.13（2010年贵州）把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x3x5，则（ ）Ab=3，c=7Bb=6，c=3 Cb=9，c=5Db=9，c=21【答案】A.14（2010湖北荆州）若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，则E（x，）可以由E（x，）怎样平移得到？ A向上平移个单位 B向下平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位【答案】D15（2010北京）将二次函数yx22x3，化为y(xh)2k的形式，结果
26、为（ ）Ay(x1)24By(x1)24 Cy(x1)22 D y(x1)22【答案】D 16（2010山东泰安）下列函数：；，其中的值随值增大而增大的函数有（ ）A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 【答案】C17（2010江苏徐州）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x2009)(x2010)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为 A向上平移4个单位 B向下平移4个单位 C向左平移4个单位 D向右平移4个单位【答案】B 18（2010 甘肃）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a0）若此炮弹在第7秒与第14
27、秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A第8秒 B第10秒 C第12秒 D第15秒【答案】B 二、填空题1（2010 湖南株洲）已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”下图分别是当，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 .【答案】2（2010浙江宁波） 如图，已知P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当P与轴相切时，圆心P的坐标为 . 【答案】或(对一个得2分)三、解答题1（2010湖北省咸宁）已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）（1）证明；（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值【答案】
28、（1）证明：依题意，是一元二次方程的两根根据一元二次方程根与系数的关系，得， （2）解：依题意，由（1）得二次函数的最小值为2（2010云南楚雄）已知：如图，抛物线与轴相交于两点A(1，0)，B(3，0).与轴相交于点C（0，3）（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点D（）是抛物线上一点，请求出的值，并求出此时ABD 的面积【答案】解：（1）由题意可知 解得 ，所以抛物线的函数关系式为（2）把D（）代人函数解析式中，得所以3（2010黑龙江哈尔滨）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD。设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：
29、平方米） （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且ABAD，请求出此时AB的长。【答案】解：（1）根据题意， （2）当S=50时， ， 整理得解得当AB=5时，AD=10；当AB=10时，AD=5， AB=5答：当矩形ABCD的面积为50平方米且时，AB的长为5米4（2010山东青岛）某市政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
30、（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本进价销售量）【答案】解：（1）由题意，得：w = (x20)y=(x20)().答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润 3分（2）由题意，得：解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.法二：，抛物线开口向下.当30x40时，w2000x32，30x32时，w2000，y随x的增大而减小.当x = 32时，y最小180.当进价一定时，销售量越小，成本越小，（元）.6分（3）法一：，抛物线开口向下.当30x40时，w2000x32，当30x32时，w2000 设成本为P（元），由题意，得：，P随x的增大而减小.当x = 32时，P最小