《二元一次方程组解题技巧讲义(补课用)(共57页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二元一次方程组解题技巧讲义(补课用)(共57页).doc（57页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上 二元一次方程组解题技巧讲义（补课用）一、二元一次方程组的有关概念： 1.二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程 它的一般形式: ， 如等是二元一次方程。2.二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集3.二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组一般地，能使二元一次方程组的
2、两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解 它的一般形式为: 其中不全为零， 如：都是二元一次方程组。 4.二元一次方程组的解法：代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法。加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法例题精析： 例1.方程ax-4y=x
3、-1是二元一次方程，则a的取值为（ ）A、0B、1C、1D、2解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程选B 变式题1：如果（a2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？ 解题思路：（a2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，a20，b+10，a2，b1 例2.若二元一次方程3x-2y=1有正整数解，则x的取值应为（）A、正奇数B、正偶数C、正奇数或正偶数D、0解题思路：由，x、y都是正整数，选A 变式题1：方程组的解是否满足2xy=8？满足2xy=8的一对x，y的值是否是方程组的解？ 解：满足，不一定 的
4、解既是方程x+y=25的解，也满足2xy=8，方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程2xy=8的解有无数组，如x=10，y=12，不满足方程组 例3.已知二元一次方程组 的解是,则a+b的值为_。 解题思路：根据方程组的定义，把x=2，y=1代入方程组，转化为关于a、b的方程组，解出a与b的值，问题就解决了，也可应用整体思想，直接求出a+b的值。 解：把x=2，y=1代入原方程组， 得 (1)+(2)得3(a+b)=9，a+b=3 变式题1：已知二元一次方程组为，则_，_. 变式题2：若是二元一次方程，则m:n 值等于_. 变式题3：若方程组的解之和：x+y=5，求k的值，并解此方程组.
5、变式题4：若方程组的解与相等，则_. 变式题5： 若二元一次联立方程式的解为x=a，y=b，则a-b=？ 例4.4x+1=m(x2)+n(x5),则m、n的值是_ 解题思路：将此方程变形为：4x+1=(m+n)x-(2m+5n),即含x的系数相等，常数相等。由此可得：m+n=4，-(2m+5n)=1。联立求解的m、n的值。 变式题1：若x2+（3y+2）2=0，则x-y的值是_ 变式题2：若x3m32yn1=5是二元一次方程，则m=_，n=_ 变式题3：已知代数式与是同类项，那么的值分别是_ 变式题4：已知x1+（2y+1）2=0，且2xky=4，则k=_ 变式题5：已知x，y是有理数，且（x
6、1）2+（2y+1）2=0，则xy的值是多少？ 解：由（x1）2+（2y+1）2=0，可得x1=0且2y+1=0， x=1，y=1/2当x=1，y=1/2时，x-y=1/2；当x=-1，y=1/2时，xy=3/2 变式题6：如果，则的值为 例5.已知方程x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为 解：经验算是方程x+3y=5的解，再写一个方程，如xy=3 变式题1： 以为解的一个二元一次方程是_ 变式题2：二元一次方程x+y=5的正整数解有_ 变式题3：已知的解，则m=_，n=_ 变式题4：解方程组时，一学生把看错而得:，而正确的解是那么、的值是_(答案：a=4
7、、b=5、c=-2） 变式题5： 甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错中的，解得，试求的值。（答案：2） 变式题6：已知方程组与有相同的解，则 ， 。（m=1/2、n=12) 变式题7：已知关于的方程组与有相同的解，求的值。（a=14/19、b=-21/11) 例6. 已知：一等腰三角形的两边长满足方程组则此等腰三角形的周长为_ 例7. 若方程组的解满足0，则的取值范围是_ 解题思路：两方程相加得4x+4y=2+2a,则x+y=0,则a1。 例8. （2009江西）方程组的解是（ ）AB CD 解题思路：本题有两种解法：一种是解方程组，求出其解；另一种是将被选答案代入方程组，
8、逐个验证。答案：B 例9.已知。求关于的方程组的解。 分析：先解的解，代入另一方程组，求。 解： ，得 代入，得 将代入到中，得 评析：此题是两个方程组形成阶梯式形式，第一个方程组是为第二个方程组作准备的。 例10.解方程组： 分析：此题可有两种解法，一种是把方程组加以整理，化为关于的二元一次方程组；另一种是将看作m，看作，求出后再求，这是一种换元法。 解法一：原方程化为： 解得 解法二：设，得 解得 解得 评析：换元法是一种重要的数学方法，通过换元，使方程或方程组转化为较为简单的形式，从而化难为易，化繁为简。 例11. 解方程组： 分析：若采用去分母的方法去解，将会出现二次项，从而加大解题难
9、度。我们把方程组看成，如果用，换元，将化为整式方程组去解。 解：设，原方程组变为： 解得 即 评析：此方程组称为分式方程组，以后还要进一步学习，通过换元，可以使它转化为二元一次方程组。这里只是为了使同学们见一见换元法解其他方程组的方法，开阔一下眼界，如果有困难，可在以后继续学习。 例12. 解方程组 解题思路：因为y的系数绝对值是1，所以用代入消元法解较简单。 解： 由，得y=2x-8 把代入，得3x+2(2x-8)=5 3x+4x-16=5 x=3 把x=3代入，得y=23-8=-2 方程组的解为 x=3 y=-2 点评：解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度。来源
10、:Zxxk.Com 例13.解方程组解题思路：方程化为，再用加减法解，答案：变式题1.解方程组：变式题2.已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。答案1. 2. 变式题3.当a为何整数值时，方程组有正整数解。 变式题4.已知3x4yz=0，2x+y8z=0，求的值。 变式题5.在解关于x、y方程组可以用（1）2+（2）消去未知数x；也可以用（1）+（2）5消去未知数y；求m、n的值。 变式题6.已知（xyz0），则xyz的值为（） 变式题7.已知x+2y+3z=54，3x+y+2z=47，2x+3y+z=31，那么代数式x+y+z的值是_ 变式题8.已知3x2a+b35y3a2
11、b+2=-1是关于x、y的二元一次方程，则（a+b）b=。 变式题9.写出2x+3y=12的所有非负整数解为_。 变式题10.已知=,则abc=_。 变式题11.已知是方程2x3y=1的解，则代数式的值为_。 变式题12.已知有理数x、y、z满足xz2+3x6y7+（3y+3z4）2=0，求证：x3ny3n1z3n+1x=0变式题13.甲、乙两人共同解方程组,由于甲看错了方程中的,得到方程组的解为；乙看错了方程中的,得到方程组的解为。试计算的值.变式题14.已知，则x：y：z= ；解：将方程组中由 得：y3z=0 y=3z 把 代入 中得：x = 2z x：y：z=2z:3z:z= 2：3：1
12、 变式题15. 若4x+5y=10，且5x+4y=8，则。解：由题意得：由 + 得：9x+9y=18 即：x + y= 2由 得：x y=-2所以 -1变式题16. 若3x-4y=0，且xy0，则的值等于 。解. 由3x-4y=0得：3x=4y，把3x=4y代入 得 = 点评：此题巧妙借助代入法解决求定值问题。变式题17.已知，则x：y：z= ；分析：此方程组中含有三个未知数，要解决该问题，就需要大胆创新，我们只学习了解二元一次方程组，根据化“未知”为“已知”的数学化归思想，就创造性地把它看作是关于x、y的二元一次方程组，从而找到解决问题的突破口。解：由得：y3z=0 y=3z把y=3z代入解
13、得：x=2zx：y：z=2：3：1 变式题18.已知，则可得的值为 .解：由得：=6注：此题若看作关于x、y的二元一次方程组先求x、y的值，再代入计算就显得非常繁琐，若巧妙运用“加减法”基本思想方法，就会收到奇效。变式题19.若4x+3y+5=0，则3(8yx)5(x+6y2)的值等于_； 分析：通过审题容易知道，可以先将3(8yx)5(x+6y2)化简得-8x6y+10，再利用整体代入或部分代入易求出其值。解：4x+3y+5=0，4x+3y=-53(8yx)5(x+6y2)= 24y-3x-5x-30y+10=8x6y+10=-2（4x+3y）+10=2（-5）+10=20反思：此题也可以由
14、4x+3y+5=0得x=，在代入求值。变式题20.若5x-6y=0，且xy0，则的值等于 。解. 由5x-6y=0得：5x=6y，把5x=6y代入得=反思：此题巧妙借助代入法可轻松解决。 参考题：二元一次方程组解题训练1. (2007 广东省) 以为解的二元一次方程组是（ ）2. (2008 浙江省杭州市) 已知是方程的一个解，那么的值是（ ）3. (2009 福建省福州市) 二元一次方程组的解是（ ）4. (2009 福建省泉州市) 方程组的解是（）5. (2009 广西桂林市) 已知是二元一次方程组的解，则的值为（ ）6. (2009 江西省) 方程组的解是（ ）7. (2010 云南省红
15、河州市) 如果与是同类项，则和的取值是（ ）8. (2010 山东省济南市) 二元一次方程组的解是（ ）9. (2010 山东省莱芜市) 已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）10. (2010 山东省潍坊市) 二元一次方程组的解是（）.11. (2010 重庆市江津区) 方程组的解是（ ）12. (2010 江苏省苏州市) 方程组的解是（ ）13. (2010 湖北省襄樊市) 已知：一等腰三角形的两边长满足方程组则此等腰三角形的周长为( )14. (2010 广东省珠海市) 方程组的解是 15. (2008 贵州省毕节地区) 写出一个以为解的二元一次方程组 16. (2009 湖南
16、省怀化市) 方程组 的解为 17. (2009 山东省德州市) 若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为 18. (2009 甘肃省白银九市) 方程组的解是19. (2007 浙江省舟山市) 三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”参考他们的讨论，你认为题目的解应该是_20. (2009 福建省南平市) 21. (2009 湖南省湘西市) 解方程：解方程组： 22. (2010 广东省广
17、州市) 23. (2010 江苏省南京市)解方程组 解方程组24. (2010 山东省青岛市) 25. (2010 山东省日照市)解方程组： 解方程组 26. (2010 湖南省怀化市) 27. (2010 广西贺州市)解方程组： 解方程组： 28. (2010 广西钦州市) 29. (2010 浙江省丽水市)解方程组： 解方程组二、二元一次方程组的应用： 1.列方程解应用题的基本关系量： （1）行程问题：速度时间=路程 （2）航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类 顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速 逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度-水（风）速 （3）工程问题：工
18、作效率工作时间=工作量 一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位一的工程问题。 （4）和差倍总分问题： 较大量=较小量+多余量，总量=倍数倍量 （5）浓度问题：溶液浓度=溶质 （6）产品配套问题：加工总量成比例 （7）增长率问题： 原量（1增长率）=增长后的量， 原量（1减少率）=减少后的量 （8）银行利率问题： 免税利息=本金利率时间， 税后利息=本金利率时间本金利率时间税率 （9）利润问题： 利润=售价进价，利润率=（售价进价）进价100% （10）盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量 （11）数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、
19、特征及其表示 （12）几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式 （13）年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的 2.对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解 例1、某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助， 资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生
20、和小学生人数的部分情况如下表：初一年级初二年级初三年级捐款数额（元）400042007400捐助贫困学生（名）23捐助贫困小学生人数（名）43（1）求a、b的值；（2）初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用， 请将初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中。（不需写出计算过程）解题思路：本题存在两个等量关系，分别是捐助2名中学生的学习费用4 名小学生的学习费用4000和捐助3名中学生的学习费用3名小学生的学习费用4200。解：（1）根据题意，得解这个方程组，得 （2）初三年级学习捐助贫困中学生人数为4（名）， 捐助贫困小学生人数为7（名）。例2、在社会实践活动中，某校甲、
21、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？解：设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时辆，根据题意得： 3x-y=210000，y=x+2000.解得：x=11000，y=13000答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车
22、流量为每小时13000辆。例3. 某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 来源:学|科|网Z|X|解：（1）解法一：设书包的单价为元，则随身听的单价为元根据题意，得解这个
23、方程，得答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。解法二：设书包的单价为元，随身听的单价为元根据题意，得解这个方程组，得答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。（2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：（元）因为361.6400，所以可以选择超市A购买。在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共需花费现金：3602362（元）因为362400，所以也可以选择在超市B购买。因为362361.6，所以在超市A购买更省钱。变1：王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元。其中种
24、茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元。问王大伯一共获纯利多少元？答案解：设王大伯种了亩茄子，亩西红柿，根据题意得： 解得：王大伯共获纯利：2400102600156300（元）答：王大伯共获纯利6300元。变2.甲乙二人，若乙给甲10元，则甲所有的钱为乙的3倍，若甲给乙10元，则甲所有的钱为乙的2倍多10元，求甲乙各拥有多少钱？解：设甲原来有X元，乙原来有Y元。X+10=3（Y-10）X-10=2（Y+10）+10变3：一块矩形草坪的长比宽的2倍多10米，它的周长是132米，则宽和长分别是多少？提示：设宽为X米，长为Y米Y-2X=102（X+Y
25、）=132变4：一批书分给组学生，每人6本则少6本，每人5本则多5本，该组共有多少名学生，这批书共有多少本？提示：设有X名学生，Y本书，6X=Y+65X+5=Y X=11，Y=60变5：某班学生有x人，准备分成y个组开展活动，若每个组7人，则余3人；若每个组8人，则差5人.求全班的人数和所分组数。提示：设全班有x,所分组数为y组，则；变6：三年级有学生246人，其中男生比女生人数的2倍少3人，求男、女生各有多少人？提示：设男生有X名，女生有Y名X+Y=246Y=2X-3变7：甲乙两条绳共长17米，如果甲绳子减去五分之一，乙绳增加1米，两条绳子相等，求甲、乙两条绳各长多少米？提示：设甲绳长X米，
26、乙绳长Y米，则X+Y=17X-1/5X=Y+1变8：已知长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，求黄河、长江各长多少千米？提示：设黄河长度为X米，长江长度为Y米，则X-Y=8366Y-5X=1284变9：甲乙两个商店各进洗衣机若干台，若甲店拨给乙店12台，则两店的洗衣机一样多，若乙店拨给甲店12台，则甲店的洗衣机比乙店洗衣机数的5倍还多6台，求甲、乙两店各进洗衣机多少台？X-2=12+125（Y-12）+6=X+12变10：小红和小华各自购买新书若干本，已知小红买的比小华的2倍多6本，如果小红给小华9本，则小华是小红的2倍，小红和小华各买新书多少本？提示：题中有两
27、个未知数-小红买的新书、小华买的新书； 题中有两个相等关系 （1）小红买的新书2X小华买的新书=6； （2）2X（小红买的新书9）=（小华买的新书+9）解：设小红买新书X本，小华买新书Y本，根据题意得X2Y=6 2X（X9）=Y+9解得X=16，Y=5变11：把3米长的铁丝分成两段，做成一个正方形和一个长方形框，已知长方形的长是宽的2倍，长方形的长比正方形的边长长0。3米，求两个图形的面积。提示：设长方形框的宽为x，则长为2x,再设正方形的边长为y米，根据题意，得2(x+2x)+4y=32x-y=0.3解得x=0.3,y=0.3,长方面的面积=0.18 正方形框的面积=0。09。变12：有甲、
28、乙两条绳子，其中甲绳长的3/8与乙绳长的1/3叠合后，全长238厘米，求甲乙两绳长各是多少厘米？提示：设甲绳长是x厘米，乙绳长是y厘米。则3/8x=1/3y x+(1-1/3)y=238解得x=136 y=153.变13：小明春节原有压岁钱若干元，先用去一部分，剩余的钱为用去的2倍，后来又用掉1200元，最后剩下的钱为原有的三分之一，问小明原来有压岁钱多少元？提示：设原有X元，先用去Y元X-Y=2YX-Y-1200=1/3X。解得X=3600元。变14：某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩，游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，而每个女生都看见涂
29、蓝色的人数是涂红色人数的35，则晚会上男、女生各有几人？分析：每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的倍少人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有男生的人数，而是除自己之外的男生人数，同理，女生看到的人数关系也应是除去自己以外的男、女生人数关系。正解：设晚会上男生有x人，女生有y人。把代入，得y3/52(x1)11，所以x12答：晚会上男生有12人，女生有21人。变15：某班有学生49人，一天该班一男生因事请假，当天的男生人数恰好是女生人数的一半，男生有 17 人，女生有 32 人例4.一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大
30、27，求这个两位数。分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数xy10x+y10x+y=x+y+9新两位数y10y+x10y+x=10x+y+27解方程组，得，因此，所求的两位数是14点评：1、56十位上的数字5表示5个10 ，个位上的数字6表示6个1，那么56可写成 5X10+6 。2、（1）一个三位数百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c。请你表示出这个三位数：设百位上的数字为x，则这个百位数可表示为：100x+10（x+3）+（x+5）（2）已知：一个三位数十位上的数字
31、比百位上的数字大3，个位上的数字比十位上的数字大2。请你表示出这个三位数：设百位上的数字为x，则这个三位数可表示为：100x+10（x+3）+（x+5）（3）若各位上的数字之和不大于11，求这个三位数。x+（x+3）+（x+5）113、326=3210+6=3100 +26 7321=7300 +211234=12100 +34abc表示一个三位数，则abc=a100+bc=ab10+c 若abcd表示一个四位数，则abcd=ab100+cd变1：两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。已知前一个四位
32、数比后一个四位数大2178，求这个两位思考：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数可表示为100X+Y 在较大的两位数的左边写上较小的两位数，得到一个四位数可表示为100Y+X 解：设在较大的两位数为x，较小的两位数为y，则有x+y=68(100x+y)(100y+x)=2178解得x=45 y=23答：这两个两位数分别是45和23变2：一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又已知百位数字的9倍比由十位和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数。解：设百位数字为x，由十位和个位数字组成的两位数为y，则原来的三位数为10
33、0x+y，对调的三位数为10y+x，则9x=y310y+x=100x+y45x=4y=39则原来的三位数为100x+y=4100+39=439。另解：设百位数字为x，十位数字y，个位数字为z，则有9x=10y+z3(100x+10y+z)(100y+10z+x)=45得x=410y+z=9x+3=39则原来的三位数是100x+10y+z=1004+39=439变3.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数分析：本题涉及两位数的计算问题从实际问题中可的两个相等关系：（1）个位数字十位数字=5；（2）新数+原数=143根据这
34、两个相等关系，可通过设十位数字为x，个位数字为y，列方程组求到十位数字和个位数字，然后确定两位数.解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y根据题意，得解这个方程组，得所以这个两位数是410+9=49变4.有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数和一位数.分析：一位数后面多写一个0，则这个一位数扩大了10倍,如果两位数为x,一位数为y,则根据两位数的和为146可得x+10y=146;根据被除数=除数商数+余数可得x=6y+2,由此可得到方程组.通过解方程组确定两位数和一位数.解：设这个两位
35、数为x，这个一位数为y，根据题意,得，解得所以这个两位数为56,一位数为9.变5.有一个两位数，其值等于十位数字与个位数字之和的4倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，则可列方程组为解这个方程组，得所以这个两位数为24变6.一个三位数和一个两位数的差为225，在三位数的左边写这个两位数，得到一个五位数，在三位数的右边写上这个两位数，也得到一个五位数，已知前面的五位数比后面的五位数大225，求这个三位数和两位数设三位数为x，两位数为y解得这个三位数是250，两位数为25变7.如下图，在33的方格内，填写了一些代数式和数（1）在图中各行、各列及对角线上
36、三个数之和都相等，请你求出x、y的值；（2）把满足（1）的其它6个数填入图的方格内分析：本题是一道与表格数字排列有关的信息试题，根据各行、各列及对角线上的数字和相等，可列方程组解决所列的方程组不惟一解：（1）由已知条件可得解得（2）将代入表格，所得表格如图所示变8.甲、乙两人做加法，甲将其中一个加数后面多写了一个0，所得的和是2342，乙将同一个加数后面少写了一个0，所得的和是65，求原来的两个加数原来的两个加数分别是42和230提示：设这两个加数分别是x、y，其中y是两人同时看错的数，根据题意，得变9有一个三位数，各数位上的数字之和等于14，个位上的数字比十位上的数字大4，如果把百位上的数字
37、与个位上的数字对调，所组成的新数比原数的3倍多98，求这个三位数是多少？提示：设百位数字是x，十位数字是y，个位数字是z，根据题意，得这个三位数是248变10.已知二位数，其十位数字的3倍与个位数字的和是21，它的个位与十位数字对调后，所得的新数比原数大9，请问原数是多少？提示：设十位数字为X，个位数字为Y，此二位数为10X+Y；依题意得3X+Y=21 、 10Y+X=（10X+Y）+9 解得原数为56。 例5.一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九
38、折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解方程组，解得，因此，此商品定价为200元点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价利润率（盈利百分数）特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念例6.某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多
39、套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数2=每天生产的螺母数1因此，设安排人生产螺栓，人生产螺母，则每天可生产螺栓25个，螺母20个，依题意，得，解之，得故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（1）“二合一”问题：如果件甲产品和件乙产品配成一套，那么甲产品数的倍等于乙产品数的倍，即；（2）“三合一”问题：
40、如果甲产品件，乙产品件，丙产品件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：例7.在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？解：设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则，整理，得，解得，因此，巡逻车的速
41、度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离例8.某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？分析：“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量
42、”且“货物的体积等于船的容积”设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则，整理，得，解得，因此，甲、乙两重货物应各装150吨点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等例9.某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得，解得.点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的