积化和差与和差化积公式(教师版)(共15页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课一、 基本公式复习1、两角和与差公式及规律 2二倍角公式及规律 3、积化和差与和差化积公式 生动的口诀:(和差化积) 口诀 正加正,正在前,余加余,余并肩 正减正,余在前,余减余,负正弦 反之亦然 和差化积公式是积化和差公式的逆用形式,要注意的是: 其中前两个公式可合并为一个:sin+sin=2sincos 积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想,和差化积公式的推导用了“换元”思想。 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能直接运用公式化成积的形式,如果一个正弦与一个余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公

2、式化积。 合一变形也是一种和差化积。 三角函数的和差化积,可以理解为代数中的因式分解,因此,因式分解在代数中起什么作用,和差化积公式在三角中就起什么作用。 3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟,不可分离,在解题过程中,要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下,遇有正、余弦函数的平方,要先考虑降幂公式,然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于:当和、积互化时,角度要重新组合,因此有可能产生特殊角;结构将变化,因此有可能产生互消项或互约因式,从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。sin +sin =2sin(+)/2cos(

3、-)/2的证明过程 因为 sin(+)=sin cos +cos sin , sin(-)=sin cos -cos sin , 将以上两式的左右两边分别相加,得 sin(+)+sin(-)=2sin cos , 设 +=,-= 那么 =(+)/2, =(-)/2 把,的值代入,即得 sin +sin =2sin(+)/2cos(-)/2 cos(-)-cos(+) =(coscos+sinsin)-(coscos-sinsin) =2sinsin sinsin=-1/2-2sinsin =-1/2(coscos-sinsin)-(coscos+sinsin) =-1/2cos(+)-cos(

4、-) 其他的3个式子也是相同的证明方法。4、万能公式 证: 注意:1、上述三个公式统称为万能公式。2、 这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切,即:所以利用它对三角式进行化简、求值、证明,可以使解题过程简洁3、上述公式左右两边定义域发生了变化,由左向右定义域缩小。二、 应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础,应记准该公式的形式.2、倍角公式有升、降幂的功能,如果升幂,则角减半,如果降幂,则角加倍,根据条件灵活选用.3、公式的“三用”(顺用、逆用、变用)是熟练进行三角变形的前提.3、整体原则-从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手,寻求三角变形的思维指向;4、角

5、度配凑方法 ,其中是任意角。三、例题讲解例1 已知,均为锐角, sin=,求+的值。解析:由已知条件有cos=,且0+。 又cos(+)=coscos-sinsin 例2已知() 求() 若求的值解当时,当时,故当n为偶数时,当n为奇数时,例3已知() 求的值;() 当时,求的值解()方法从而,方法设()由已知可得 例4已知求的值. 解 例5已知求的值. 解 将两条件式分别平方,得 将上面两式相加,得 例6 的值等于 ( )A B C D 解故选B.例7 已知cos()= 都是锐角,求cos(+)的值。解析:由已知条件有因为0sin2=,所以02,所以0。又因为0,所以-0。由、得-。又因为c

6、os(-)=,所以。=。从而cos(+)=cos2-(-) =cos2cos(-)+sin2sin(-) 评析:本例通过0sin2= ,发现了隐含条件:0,将-的范围缩小为,进而由cos(-)= ,将-的范围确定为,从而避免了增解。例8 已知,且tan,tna是一元二次方程的两个根,求+的值。解析:由已知条件得tan+tan= ,tantan=40, 所以tan0,tan0。又因为 ,所以所以-+0。又因为tan(+)= =所以+= 。评析:本例根据韦达定理tan+tan= ,tantan=4,挖掘出了隐含条件tan0,tan0,知,得出了+的确切范围,从而顺利求解。例9 已知,求;解:=;例

7、10 已知,的值解:,又因为()及,所以,即,所以注:“已知”与 “未知”的联系是“ =”,从而目标是求出的值例11 已知且是第二象限的角,求解:是第二象限的角, ,即,=注:“未知”与“已知”和“已知”的联系显然是“”例12 已知解:又所以可知是第一象限的角,是第三象限的角, 注:“未知”与“已知”和“已知”的联系显然是“”例13 已知求()()解:解法一:得:;得:,即,所以解法二:把已知和差化积得:得:即得:注:求利用方法一简单,求利用方法二简单一般地,已知两角的正余弦的和与差,求两角和与差的正余弦,往往采用和差化积或者平方后求和与差【 课堂练习1】 1cos105的值为 ( ) A B

8、 C D 2对于任何、(0,),sin(+)与sin+sin的大小关系是 ( ) Asin(+)sin+sin Bsin(+)sin+sin Csin(+)=sin+sin D要以、的具体值而定3已知,sin2=a,则sin+cos等于 ( ) A B C D4已知tan=,tan=,则cot(+2)= 5已知tanx=,则cos2x= 【 课堂练习2】 求下列各式的值 1cos200cos80+cos110cos10= 2(cos15+sin15)= 3化简1+2cos2cos2= 4cos(20+x)cos(25x)cos(70x)sin(25x)= 5 = 【课后反馈1】 1已知0,si

9、n=,cos(+)=,则sin等于 ( ) A0 B0或 C D0或2 的值等于 ( ) A2+ B C2 D 3 ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则C的大小为 ( ) A B C 或 D 或4若是锐角,且sin()= ,则cos的值是 5coscoscos = 6已知tan=,tan=,且、都是锐角求证:+=45 7已知cos()=,cos(+)= ,且()(,),+(,2),求cos2、cos2的值 8 已知sin(+)= ,且sin(+)= ,求 【课后反馈2】 1cos75+cos15的值等于 ( ) A B C D 2a=(sin17+cos17),

10、b=2cos2131,c= ,则 ( ) Acab B bca C abc D bac 3化简= 4化简sin(2+)2sincos(+)= 5 在ABC中,已知A、B、C成等差数列,则tan+tan+tantan的值为 6 化简sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B) 7 化简sin50(1+tan10) 8 已知sin(+)=1,求证:sin(2+)+sin(2+3)=0 参考答案:【 课堂练习1】 1 C 2 B 3 B 4 5【 课堂练习2】 1 2 3 2 4 5tan2【课后反馈1】 1 C 2 C 3 A 4 5 6略 7 cos2=,cos2=1 8 【课后反馈2】 1 A 2 A 3 tan 4 sin 5 6 sin2(AB)7. 1 8 .略 例14 已知,求3cos 2q + 4sin 2q 的值。 解: cos q 0 (否则 2 = - 5 ) 解之得:tan q = 2 原式【 课堂练习1】1. 已知sinx =,且x是锐角,求的值。2. 下列函数何时取得最值?最值是多少? 【课后反馈1】1. 求函数在上的最小值。参考答案:【 课堂练习1】1、2、 、【课后反馈1】1专心-专注-专业

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