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1、精选优质文档-倾情为你奉上名思教育个性化辅导教案ggggggggggggangganggang纲 学生: 教师: 班主任: 日期: 时段: 课题 反比例函数的拓展应用教学目标1. 深入理解反比例函数的相关性质2. 能够运用反比例函数解决实际问题 重难点透视1. 反比例函数的图像与性质2. 反比例函数的综合应用 知识点剖析序号知识点预估时间掌握情况 1 2 3 4 5 教学内容内容讲解 1反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=（k为常数，k0）的形式，那么称y是x的反比例函数 2反比例函数的图象和性质 利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比
2、例函数y=具有如下的性质当k0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加是减小；当k0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大 3反比例函数的确定方法：由于在反比例函数关系式y=中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入y=中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式 4用待定系数法求与反比例函数关系式的一般步骤是： 设所求的反比例函数为：y=（k0）；根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；由代入法解
3、待定系数k的值；把k值代入函数关系式y=中 例题剖析 例1 如果函数y=k 的图象是双曲线，且在第二、四象限，那么k的值是多少？ 分析：若函数的图象是双曲线，则此函数为反比例函数y=，且k0，若图象在第二、四象限，则k0，故可求出k的值 解：由反比例函数定义，得 所以k=-1，这时函数为y=- 评注：函数y=kxm反比例函数，则m=-1，k0；若y=是反比例函数，则m=1，k0 例2 函数y=kx和y=（k0时，图象经过一、三象限，当k0时，图象在一、三象限，当k0时的图象是什么？当k0）的图象交于点A，若取k为1，2，3，20，对应的RtAOB的面积分别为S1，S2，S20，则S1+S2+S
4、20=_ 分析：因为过正比例函数与反比例函数的交点作x轴的垂线，x轴，正比例函数与垂线所围成的RtAOB的面积是k的一半 解：105 评注：若k取大于0的自然数1，2，3，n，则对应的RtAOB的面积分别为S1，S2，S3Sn，则S1+S2+S3+Sn= 例4 正比例函数y=-x与反比例函数y=-的图象相交于A、C两点，ABx轴于B，CDx轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为_ 分析：易知四边形ABCD是一平行四边形，故可知其面积为S的4倍，为一常数 解：函数y=x与y=的图象交点A、C的坐标分别为（1，1），（-1，-1），所以AOB的面积等于，根据反比例函数的图象是中心对称图形，得平行
5、四边形ABCD的面积为2 评注：理解反比例函数中的不变量k的几何意义是解题的关键 例5 两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，P2005在反比例函数y=图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，x2005，纵坐标分别是1，3，5，共2005个连续奇数，过点P1，P2，P3，P2005分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），Q2005（x2005，y2005），则y2005=_分析：解题关键是抓住点P1，P2，P3，P2005与点P1，P2，P3，P2005的横坐标相同 解：当点P1，P2，P3，P
6、2005在函数y=的图象上，它们的纵坐标分别取1，3，5，4009时相应的横坐标分别为，Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），Q2005（x2005，y2005）在函数y=的图象上，且这些点的横坐标分别与点P1，P2，P3，P2005的横坐标相同，点Q2005横坐标是所以点Q2005的纵坐标是y2005= 评注：本题以能力立意，一方面通过“数”与“形”的转换考查了学生的数学表达能力，另一方面也考查了学生自主探索与合情推理等能力此类题背景较新颖，有时规律较隐蔽，而成为填空题中的“把关题”例6 反比例函数y=（k0）在第一象限内的图像如图所示，P为该图像上任意一点，PQ垂直于
7、x轴，垂足为Q设POQ的面积为S，那么S的值与k的值是否存在关系？若有关系，请写出S与k之间的关系式；若没有关系，请说明理由 分析：因为SPOQ=OQPQ，若设P点坐标为P（x，y），则OQ=x，PQ=y，又因为P点在第一象限，所以x0，y0，因此可以得到SPOQ=xy，而由y=可以得到xy=k，于是可以确定S与k的关系式 解：S与k之间的关系式为S=k， 设P点的坐标为P（x，y），则OQ=x，PQ=y 点P在第一象限内，x0，y0， OQ=x，PQ=y SPOQ =OQPQ=xy 又xy=k，SPOQ =k评注：反比例函数的系数k与过双曲线上的点作x轴、y轴的垂线所围成的矩形的面积之间的关
8、系在解题中作用很大，要熟练掌握 例7 如图所示，已知反比例函数y=的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P、Q两点，并且P点的纵坐标是6 （1）求这个一次函数的解析式；（2）求POQ的面积 分析：由已知条件P点的纵坐标是6，而点P在反比例函数y=上，可以求得P点的横坐标为x=2，即P点坐标为（2，6） 又P点也在一次函数y=kx+4上，把点（2，6）代入即可求出一次函数的解析式，POQ的面积可以分成PON与QON两部分，这两部分的面积能通过P、Q两点的坐标得到 解：（1）点P在反比例函数y=的图像上，且其纵坐标为6 =6解得x=2，P（2，6） 又点P在函数y=kx+4的图像上， 6=2k+
9、4，解得k=1 所求一次函数的解析式为y=x+4（2）解方程组点Q的坐标为（-6，-2） 令y=0，代入y=x+4，解得x=-4 函数y=x+4的图像与x轴的交点是N（-4，0） PON和QON的公共边ON=4，ON边上的高分别为PA=6，QB=2 SPOQ =SPON +SQON =46+42=16 评注：本题涉及一次函数及反比例函数的图像，识别图形的形状位置及交点是挖掘此类题目隐含条件的关键例8 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图）观测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中
10、每立方米的含药量为6毫克，请根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为_，自变量x的取值范围是_；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_ （2）研究表明，当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 分析：这是一道紧扣生活热点的应用题，应引起同学们的重视，同时要学会看图形 解：由图知药物燃烧时，函数为正比例函数 设y与x的解析式为y=kx（k0） 点（8，6）在直线上，6=8k，k=， y与x的解析式为y=x（08） （2）将x=1.6
11、代入反比例函数解析式中 y=30（分钟） 答：从消毒开始，至少要经过30分钟后学生才能回教室 （3）把y=3分别代入两个函数解析式，解得x=4和x=16，而16-4=1210 即空气中每立方米的含药量不低于3毫克的持续时间为12分钟，这次消毒有效要善于从图象中提取有效信息、从实际问题中构建出数学模型例9 某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：2001200220032004投入技改资金x（万元）2.5 3 44.5产品成本y（万元/件）7.2 64.5 4 （1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪
12、种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式； （2）按照这种变化规律，若2005年已投入技改资金5万元 预计生产成本每件比2004年降低多少万元？ 如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）？ 分析：观察表格发现“投入技改资金x”与“产品成本y”的积不变，故表中数据满足反比例函数关系 解：（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b 当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6 一次函数解析式为y=-2.4x+13.2 把x=4时，y=4.5代入此函数解析式 左边右边，其不是一次函数 同理，其
13、也不是二次函数 设其为反比例函数，解析式为y= 当x=2.5时，y=7.2可得7.2=，得k=18 反比例函数为y= 验证：当x=3时，y=6，符合反比例函数 同理可验证： x=4时，y=4.5；x=4.5时，y=4成立 可用反比例函数y=表示其变化规律 （2）解：当x=5万元时，y=3.6 4-3.6=0.4（万元）， 生产成本每件比2004年降低0.4万元 当y=3.2时，3.2=，得x=5.625， 5.625-5=0.6250.63（万元） 还需投入0.63万元 评注：这是一道渗透新课程理念的好题它没有直接给出函数的解析式，而是让学生从表中获取信息，来索取与其变化规律相合拍的函数，并付
14、诸于具体实际的应用问题之力 例10 已知，如图所示，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=（k0，x0）的图像上，点P（m，n）是函数y=上的任意一点，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分面积为S （1）求B点的坐标和k的值；（2）当S=时，求点P的坐标；（3）写出S关于m的函数关系式 分析：把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含n的代数式表示，解题的关键是双曲线关于y=x对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密 解：（1）依题意，设B点坐标为（x0，y0） 所以S正方形OA
15、BC=x0y0=9，x0=y0=3 即B（3，3），所以x0y0=k，k=9； （2）P（m，n）在y=上，S正方形OEP1F=mn=9，所以S矩形OAGF=3n，由已知可得S=9-3n=，解得n=，m=6，所以P1（6，）如图（a）所示，同理可求得P2（，6） （3）如图（b）所示，当0m3时，因为点P坐标为（m，n），所以S矩形OEGC=3m，S=S矩形OEPF-S矩形OEGC 所以S=9-3m（0m3） 如图（c）所示，当m3时，因为P点坐标为（m，n） 所以S矩形OAGF=3n，mn=9，n=，所以S=9-3n=9-评注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组
16、得到，求符合某种条件的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程（组），解方程（组）便可求得有关点的坐标，对于几何问题，还应注意图形的分类讨论 例11 三个反比例函数（1）y=；（2）y=；（3）y=在x轴上方的图象如图所示，由此推出k1，k2，k3的大小关系 分析：由图象所在的象限可知：k10，k30；在（2）（3）中，为了比较k与k的大小，可取x=a0，作直线x=a，与两图象相交，找到y=与y=的对应函数值b和c，由于k2=ab，k3=ac，而cb0，因而k3k2k1 解：k3k2k1 评注：比较反比例函数的系数k的大小一般先从图象上去考虑，图象在一、三象限的
17、k值比图象在二、四象限的k值大，同一个象限内图象在外部的k值比在内部的k值大 例12 已知点（1，3）在函数y=（k0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y=（k0）的图象经过A、E两点，点E的横坐标为m（1）求k的值；（2）求点C的横坐标（用m表示）；（3）当ABD=45时，求m的值 分析：由点P在反比例函数上，可以先求出k值，利用对称性可以求出点C的坐标 解：（1）因为点（1，3）在函数y=（x0）的图象上， 所以3=，所以k=3； （2）因为点E在函数y=的图象上，所以E点的纵坐标为所以点E的坐标为（m，），设B点的坐标为（b，0），所以A点的坐标为（b，
18、） 因为A点在函数y=的图象上，所以=，所以b=所以C点的横坐标为OB+BC=b+2（m-b）=+2（m-）=+m=m； （3）当ABD=45时，AB=AD，所以=-=m所以m2=6，又因为m0，所以m= 评注：此题是函数和几何综合题，所以在解题中一定要先看图、读懂图，找出图形中的内在联系 例13 有一个RtABC，A=90，B=60，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数y=的图象上，求点C的坐标 分析：通过画图可发现：点A的位置有两种情况（在第一象限的那支图象上或在第三象限的那支图象上），点B、C的位置也有两种情况（可能点靠近原点，也可能点不靠近原点），
19、解题时要注意利用反比例函数图象的对称性 解：本题共有4种情况（1）如图，过点A做ADBC于D，AB=1，B=60，BD=，AD=，在RtADC中，DC=，所以OC=，即点C1的坐标为（，0）（2）如图，过点A作AEBC于E则AE=，OE=2，CE=，所以OC=即点C2的坐标为（，0）根据双曲线的对称性，得点C3的坐标为（-，0），点C4的坐标为（-，0）所以点C的坐标分别为：（，0）、（，0）、（-，0）、（-，0） 评注：根据题意，进行分类，是解决本题的突破口此题涉及与反比例函数相关的综合性问题，能较好地展示学生的思维过程和思维个性，着重考查学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力，具有较好的选拨功能课堂总结：课后作业： 课堂反馈： 非常满意 满意 一般 差 学生签字： 校长签字： _专心-专注-专业