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1、1 什么叫一元一次方程什么叫一元一次方程?2 下列方程哪些是一元一次方程下列方程哪些是一元一次方程?(1)243x(2)328xy2(3)235xx3(4)132xx 新课导入新课导入 一辆快客车和一辆中巴车在公路上行驶一辆快客车和一辆中巴车在公路上行驶, ,已知已知快客车每小时比中巴车多行快客车每小时比中巴车多行2020千米千米, ,快客车行驶快客车行驶8080千米所需要的时间与中巴车行驶千米所需要的时间与中巴车行驶6060千米所需要的千米所需要的时间相同时间相同, ,求快客车的速度求快客车的速度 解解: 设快客车每小时行驶设快客车每小时行驶X千米千米,则中巴车每则中巴车每小时行驶小时行驶(
2、x20)千米千米,根据题意可得方程根据题意可得方程: 806020 xx怎样解这怎样解这个方程？个方程？是一元一次是一元一次方程吗？方程吗？【课程标准课程标准】 1了解分式方程的概念了解分式方程的概念, 和产生增根的原和产生增根的原因因 2掌握分式方程的解法，会解可化为一掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根原方程的增根 3会分析题意找出等量关系会分析题意找出等量关系 4会列出可化为一元一次方程的分式方会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题程解决实际问题 教学目标教学目标 【知识与能力知识与能力】 经
3、历经历“实际问题分式方程模型实际问题分式方程模型解分解分式方程式方程检验合理性检验合理性”的过程，发展分析问题、的过程，发展分析问题、解决问题的能力，培养应用意识解决问题的能力，培养应用意识【情感态度与价值观情感态度与价值观】 通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，能用所学间是相互联系的，理论来源于实践，能用所学的知识服务于我们的生活的知识服务于我们的生活重点重点 1审明题意，寻找等量关系，将实际问题转审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型化成分式方程的数学模型 2根据实际意义检验解的合理性根据实际意义检验解
4、的合理性难点难点 1会解可化为一元一次方程的分式方程，会会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根检验一个数是不是原方程的增根 2列分式方程表示实际问题中的等量关系列分式方程表示实际问题中的等量关系 教学重难点教学重难点 （3）已知所得的两位数与原两位数的比值是）已知所得的两位数与原两位数的比值是 ，则可以列出方程为，则可以列出方程为_47 （1）一个两位数的个位数字是）一个两位数的个位数字是4，十位数字为，十位数字为x，则两位数可表示为则两位数可表示为_； （2）如果把个位数字与十位数字对调）如果把个位数字与十位数字对调,那么所得那么所得的两位数又可表示为的两位数又可表
5、示为_；47410104 xx10 x4 40 x 甲、乙两人加工同一种服装甲、乙两人加工同一种服装,乙每天比甲多加乙每天比甲多加工工1件，已知乙加工件，已知乙加工30件服装所用时间与甲加工件服装所用时间与甲加工25件服装所用时间相同，甲每天加工多少件服装件服装所用时间相同，甲每天加工多少件服装? 如果设甲每天加工如果设甲每天加工x件服装，那么可列方程：件服装，那么可列方程：xx30251 某学校组织学生到距离学校某学校组织学生到距离学校15km的东山的东山去游玩去游玩,先遣队与大队同时出发先遣队与大队同时出发,先遣队的速度先遣队的速度是大队速度的是大队速度的1.5倍，结果先遣队比大队早到倍，
6、结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队和大队的速度各是多少？，先遣队和大队的速度各是多少？解：设大队的速度为解：设大队的速度为xkm/h,列方程，得列方程，得. xx15150 51 530251xx15150 51 5. xx 上面所列出的方程与一元一次方程上面所列出的方程与一元一次方程有什么区别？有什么区别？4 1071044xx 一元一次方程的分母不含未知数，一元一次方程的分母不含未知数，而这些方程的分母上含有未知数而这些方程的分母上含有未知数分母中含未知数的方程叫做分母中含未知数的方程叫做分式分式方程方程（fractional equationfractional equation）知识
7、要点知识要点指出下列方程中的分式方程：指出下列方程中的分式方程： 1(4)132xx1(5)20 xx2241(6)142xxx23(1)013xx0312)3( x35(2)2xx想一想一元一次方程的解法，并且解方程想一想一元一次方程的解法，并且解方程 xx232136解：去分母（方程两边同乘解：去分母（方程两边同乘6 6）得）得2（x2) (3x+2) 6去括号，得去括号，得2x43x 26移项，得移项，得2x43x 260合并同类项，得合并同类项，得x12系数化成，得系数化成，得x 12回顾回顾结合上面解一元一次方程的方法，想一想结合上面解一元一次方程的方法，想一想如何求分式方程的解？如
8、何求分式方程的解？30251xx解这个分式方程应该解这个分式方程应该去分母去分母. xx15150 51 5解：解：方程两边同乘以方程两边同乘以15x，得，得150.75x22.5，解这个方程，得解这个方程，得x10检验检验:将将x10代入原方程得代入原方程得:左边左边=.150 51 5 10=1.5,右边右边=1510=1.5,左边左边=右边右边 x10是原方程的解是原方程的解解方程：解方程：参照上面解方程的方法，解下面两个方程：参照上面解方程的方法，解下面两个方程：3025(1)1xx4 107(2)1044xx3025(1)1xx解：解： 方程两边同乘以方程两边同乘以x（x1），得），
9、得30 x25(x1)，解这个方程，得解这个方程，得x5检验检验:将将x5代入原方程得代入原方程得:左边左边=3051=5,右边右边=255=5,左边左边=右边右边 x5是原方程的解是原方程的解4 107(2)1044xx解：解：4 (410 x)7(10 x4)，x2检验检验:将将x2代入原方程得代入原方程得:左边左边= 4 102710 244右边右边=74左边左边=右边右边 x2是原方程的解是原方程的解解这个方程，得解这个方程，得方程两边同乘以方程两边同乘以4(10 x4)，得，得 求分式方程的解，只要在方程的两边求分式方程的解，只要在方程的两边同乘各分式的同乘各分式的最简公分母最简公分
10、母，将分式方程转，将分式方程转化成化成整式方程整式方程（一元一次方程）来解（一元一次方程）来解 如何求分式方程如何求分式方程的解，你知道了吗？的解，你知道了吗？解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤:1方程两边同乘以各分母的最简公分母，方程两边同乘以各分母的最简公分母，约去分母将分式方程化为一元一次方程；约去分母将分式方程化为一元一次方程；2解这个一元一次方程；解这个一元一次方程；3检验，将所求得的一元一次方程的解检验，将所求得的一元一次方程的解代入原方程左右两边代入原方程左右两边归纳归纳 下列各分式方程，去分母时，要乘以的下列各分式方程，去分母时，要乘以的最简公分母分别是什么？最简公分母分
11、别是什么？(2)x x4(52)x1()y yxxxxxyyyyy232240701044411=-+-=+-=-解下列方程解下列方程xx2118981解：去分母，方程两边同乘最简公分母解：去分母，方程两边同乘最简公分母(x9) (x9)，得整式方程，得整式方程 x918解，得解，得 x9检验检验: :将将x9 9代入原方程检验，发现这时分母代入原方程检验，发现这时分母x9 9和和x2 28181的值都为的值都为0,0,相应的分式无意义因此相应的分式无意义因此x9 9虽是方程虽是方程x9 9不是原方程不是原方程x9 91818的解，但不是原的解，但不是原分式方程的解分式方程的解2118981x
12、x该分式方程无解该分式方程无解解分式方程时解分式方程时, ,对所得根必须检验对所得根必须检验检验的方法可以是代入原方程检验为检验的方法可以是代入原方程检验为了简便，通常把求得的根代入变形时所乘的了简便，通常把求得的根代入变形时所乘的整式整式( (最简公分母最简公分母) )，看它的值是否为零，使，看它的值是否为零，使它为零的根不是原方程的根，是增根，必须它为零的根不是原方程的根，是增根，必须舍去舍去增根的定义增根的定义增根增根: :在去分母在去分母, ,将分式方程转化为整式方程将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根的过程中出现的不适合于原方程的根产生的原因产生的原因: :分式方
13、程两边同乘以一个分式方程两边同乘以一个零因式零因式后后, ,所得的根是整式方程的根所得的根是整式方程的根, ,而不是分式方而不是分式方程的根程的根使分母值为零的根使分母值为零的根 一般地，解分式方程时，去分母后所得整一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为式方程的解有可能使原方程中分母为0 0，因此应，因此应如下检验：如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为如果最简公分母的值为0 0，则整式方程的解是原，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解的解归纳归纳
14、 问题问题: : 对于分式方程可以用去分母的方法对于分式方程可以用去分母的方法求解，但求出来的根却有可能不是原方程的根，求解，但求出来的根却有可能不是原方程的根，这种现象是怎么产生的这种现象是怎么产生的?（1） 解上述方程的依据是什么解上述方程的依据是什么?（2） 由由a=b能否得出能否得出ac=bc ?（3）由）由ac=bc能否得出能否得出a=b ?【例例1】 解分式方程解分式方程2x313xx2 解：方程两边同乘解：方程两边同乘（x3），），得得2x12 (x3),解，得解，得x3检验：检验：x3时，时，(x3) =，3不是原不是原分式方程的解分式方程的解【例例2】 解分式方程解分式方程解
15、：方程两边同乘解：方程两边同乘(x(x2)2)，得，得1(x1) 3 (x2),解，得解，得 x2x2时时(x2) ，2不是原分式方不是原分式方程的解，原分式方程无解程的解，原分式方程无解检验：检验：xxx 11322（1）（2） xxxx21 59011解：方程两边同乘以最简公分母解：方程两边同乘以最简公分母(x1)(x1)，得（，得（x1)2 =5x9解整式方程解整式方程,得得 x1=1, x2=8检验检验:把把x1=1，x2=8代入原方程代入原方程当当x1=1时时, 原方程的两个分母值为原方程的两个分母值为零，分式无意义，因此零，分式无意义，因此x1=1不是不是原方程的根原方程的根当当x
16、2=8时时, 左边左边=, 右边右边= 原方程的根是原方程的根是x=8增根增根左边左边=右边右边, 因此因此x2=8是原方程的根是原方程的根7979解分式方程的一般步骤：解分式方程的一般步骤：分式方程分式方程去分母去分母整式方程整式方程解整式方程解整式方程xa检验检验最简公分母为最简公分母为最简公分母不为最简公分母不为a a是分式方是分式方程的解程的解目标目标a a不是分式方不是分式方程的解程的解归纳归纳解下列方程解下列方程.15215(2)33xx（1）x=17（2）x=1523(1)034xx22236(3)11114(5)1112(5)2212xxxxxxxxxxx 45无解无解无解无解
17、【例例3】某单位将沿街的一部分房屋出租某单位将沿街的一部分房屋出租,每间每间房屋的租金第二年比第一年多房屋的租金第二年比第一年多500元元,所有房屋的租所有房屋的租金第一年为金第一年为9.6万元万元,第二年为第二年为10.2万元万元求出租房屋求出租房屋的总间数的总间数分析分析:设出租房屋的总间数为设出租房屋的总间数为x间间第一年每间房屋的租金第一年每间房屋的租金 元元;第二年每间房屋的租金第二年每间房屋的租金 元元;因为第二年每间房屋的租金因为第二年每间房屋的租金 =第一年每间房屋的租金第一年每间房屋的租金 +500,所以列方程所以列方程:x96000 xx96000102000500 x10
18、2000解解: :设出租房屋的总间数为设出租房屋的总间数为x x间列方程间列方程, ,得得方程两边同乘方程两边同乘x, ,得得96000500 x10200096000102000500 xx解解, ,得得x12检验检验:当当x1时时x0, x1是原分式方程的解是原分式方程的解 答答:出租房屋的总间数为出租房屋的总间数为12间间某单位将沿街的一部分房屋出租某单位将沿街的一部分房屋出租,每间房屋的租每间房屋的租金第二年比第一年多金第二年比第一年多500元元,所有房屋的租金第一年所有房屋的租金第一年为为9.6万元万元,第二年为第二年为10.2万元万元分别求两年每间出租分别求两年每间出租房屋的租金房
19、屋的租金?第一年出租的房屋数第一年出租的房屋数= =第二年出租的房屋数第二年出租的房屋数等量关系等量关系: :解解: :设第一年每间房屋的租金为设第一年每间房屋的租金为x x元元, ,则则96000102000500.xx方程两边同乘方程两边同乘x( (x500),500),得得96000 (x500) 102000 x解解, ,得得x8000检验检验:当当x8000时时x(x500),0, x8000是是原分式方程的解原分式方程的解 则第二年每间房屋的租金为则第二年每间房屋的租金为:x+50080005008500(元元)答：第一年每间房屋的租金为答：第一年每间房屋的租金为8000元，元，第
20、二年第二年每间房屋的租金为每间房屋的租金为8500元元 【例例4】某市从今年某市从今年1月月1日起调整居民用水日起调整居民用水价格价格,每每m3水费上涨三分之一水费上涨三分之一,小丽家去年小丽家去年12月月的水费是的水费是15元元,今年今年2月的水费是月的水费是30元已知今元已知今年年2月的用水量比去年月的用水量比去年12月的用水量多月的用水量多5m3,求该求该市今年居民用水的价格市今年居民用水的价格?分析分析:小丽家今年小丽家今年2月份的用水量月份的用水量小丽家去年小丽家去年12月份的用水量月份的用水量= 5m3每个月的用水量每个月的用水量水的单价水的单价=每个月的用水费每个月的用水费今年的
21、用水单价今年的用水单价=去年用水单价去年用水单价(1+)所以所以,首先要表示出小丽家这两个月的用水量首先要表示出小丽家这两个月的用水量每个月的用水量每个月的用水量=水费水费/水的单价水的单价13解解: :设该市去年用水的价格为设该市去年用水的价格为x x元元/ /m m3 3, ,则今则今年的水价为年的水价为(1+1/3)x(1+1/3)x元元/m/m3 3, ,根据题意得：根据题意得：3 01 551(1)3xx答答: :该市今年居民用水的价格为该市今年居民用水的价格为2 2元元/ /m m3 3解这个方程，得解这个方程，得 x=1.5经检验，经检验，x=1.5是原分式方程的根是原分式方程的
22、根41.52()3元元【例例5】照相机成像应用了一个重要原理，照相机成像应用了一个重要原理， 即（即（v f)，其中，其中f表示照相机镜头表示照相机镜头的焦距，的焦距，u表示物体到镜头的距离，表示物体到镜头的距离，v表示胶片表示胶片（像）到镜头的距离，如果一架照相机（像）到镜头的距离，如果一架照相机f已固定，已固定，那么就要依靠调整那么就要依靠调整u、v来使成像清晰，问在来使成像清晰，问在f，v已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离u?fuv111解解: :111fuv方程两边同乘方程两边同乘fvu,fvu,得得uvfvfu解解, ,得得fvuvf答答:在
23、在f，v已知的情况下，物体到镜头的距离已知的情况下，物体到镜头的距离U的值为的值为 fvvf检验检验: :由于由于f,vf,v都是正数都是正数, ,且且fv,fv,所以所以 是原分式方程的解是原分式方程的解fvuvf （1）学校要举行跳绳比赛，同学们都积极）学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习甲同学跳练习甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以个所用的时间，乙同学可以跳跳216个；又已知甲每分钟比乙少跳个；又已知甲每分钟比乙少跳20个，求每个，求每人每分钟各跳多少个人每分钟各跳多少个解：设甲每分钟跳解：设甲每分钟跳x x个个, ,列方程列方程, ,得得18021620 xx解解, ,得得 x10
24、0经检验，经检验，x=100是原分式方程的根是原分式方程的根 所以乙每分钟跳所以乙每分钟跳x2010020120(个个)答答:甲每分钟跳甲每分钟跳100个个,乙每分钟跳乙每分钟跳120个个 （2）一项工程要在限期内完成如果第一）一项工程要在限期内完成如果第一组单独做，恰好按规定日期完成；如果第二组单组单独做，恰好按规定日期完成；如果第二组单独做，需要超过规定日期独做，需要超过规定日期4天才能完成，如果两天才能完成，如果两组合作组合作3天后，剩下的工程由第二组单独做，正天后，剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是多少天好在规定日期内完成，问规定日期是多少天?解解:设规定日期
25、是设规定日期是x天，列方程，得天，列方程，得1133()144xxxx解解, ,得得x12经检验，经检验，x= =12是原分式方程的根是原分式方程的根 答答:规定日期是规定日期是12天天 （3）甲、乙两地相距）甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去千米，某人从甲地去乙地，先步行乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了千米，然后改骑自行车，共用了2小小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度倍，求步行的速度和骑自行车的速度解解:设步行的速度是设步行的速度是x km/h列方程列方程,得得719724xx解解,
26、 ,得得答答:步行的速度为步行的速度为5千米千米/时时,骑自行车的速度为骑自行车的速度为20千米千米/时时x=5经检验经检验, ,x=5是原分式方程的根是原分式方程的根 所以骑自行车的速度为所以骑自行车的速度为:4x4520(km/h)（1）审审仔细审题，找出等量关系仔细审题，找出等量关系;（2）设设合理设未知数合理设未知数;（3）列列根据等量关系列出方程根据等量关系列出方程(组组);（4）解解解出方程解出方程(组组);（5）验验;（6）答答答题答题归纳归纳列分式方程解应用题的基本步骤列分式方程解应用题的基本步骤: :1解分式方程的一般步骤：解分式方程的一般步骤：分式方程分式方程去分母去分母整
27、式方程整式方程解整式方程解整式方程xa检验检验最简公分母为最简公分母为最简公分母不为最简公分母不为a a是分式方是分式方程的解程的解目标目标a a不是分式方不是分式方程的解程的解 课堂小结课堂小结 （1）审审仔细审题，找出等量关系仔细审题，找出等量关系;（2）设设合理设未知数合理设未知数;（3）列列根据等量关系列出方程根据等量关系列出方程(组组);（4）解解解出方程解出方程(组组);（5）验验;（6）答答答题答题2列分式方程解应用题的基本步骤列分式方程解应用题的基本步骤: :257mxxm1已知方程已知方程 的解是的解是x=2， 则则m的值为的值为_mxxm25703 随堂练习随堂练习 2xm
28、xx3132 2 方程方程 没有实数解，没有实数解， 则值是（则值是（ ） A0 B1 C 4 D 8xmxx3144DR2112RRRR 1212ARR.R R2112RRBRR.121C.RR1212DR R.RR3已知已知 （R1、R2均为正数）均为正数） ，则，则 R的值为（）的值为（）12111RRRD 4关于关于x的方程的方程 有实数有实数 根，则根，则a的取值范围是（的取值范围是（ ） Aa2 Ba0且且a2 Ca 2 Da2 xaxxax21112D5解下列方程：解下列方程：12(1)0 x1x1()5x212x552xx()xx33233x 13无解无解x 1036当当x为何
29、值时为何值时,分式分式 的值相等的值相等?xxxx113与与解解: :由题意得由题意得, ,113xxxx= =解解, ,得得 x3经检验，经检验，x=3是原分式方程的根是原分式方程的根 所以当所以当x3时时,分式分式 的值相等的值相等113xxxx与与7 甲、乙两车同时从甲、乙两车同时从A地出发，到相距地出发，到相距120千米的千米的B地去，若甲车与乙车速度之比为地去，若甲车与乙车速度之比为23，且甲车比乙车晚到且甲车比乙车晚到2.5小时，求两车速度小时，求两车速度解解: :设甲车速度为设甲车速度为x x千米千米/ /小时小时, ,则乙车速度为则乙车速度为 千米千米/ /小时列方程小时列方程
30、, ,得得32x1201202 532.xx解解, ,得得 x16经检验经检验,x=16是原分式方程的根是原分式方程的根 所以乙车速度为所以乙车速度为: : ( (千米千米/ /小时小时) ) 33162422x答答:甲车速度为甲车速度为16千米千米/小时小时,则乙车速度为则乙车速度为24千米千米/小时小时8轮船在顺水中航行轮船在顺水中航行80千米所需的时间和千米所需的时间和逆水航行逆水航行60千米所需的时间相同已知水流的千米所需的时间相同已知水流的速度是速度是3千米千米/时，求轮船在静水中的速度时，求轮船在静水中的速度解解: :设轮船在静水中的速度为设轮船在静水中的速度为x x千米千米/ /时时, ,列方程列方程, ,得得806033xx解解, ,得得 x21经检验经检验，x=21是原分式方程的根是原分式方程的根 答答:轮船在静水中的速度为轮船在静水中的速度为21千米千米/时时