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1、精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 计算方法牛顿迭代法摘要 迭代法分为精确迭代和近似迭代，而在17世纪提出的牛顿迭代法即属于近似迭代，是一种近似求解方程的方法，即牛顿拉夫森迭代法。其基本思路是经讲非线性函数f(x)线性化，从而将非线性方程f(x)=0近似的转化为线性方程求解。这里我们就来讨论下牛顿迭代发从演变到修正的过程，以及在学习和生活中的各种应用，充分的了解它的功能以及优缺点。 关键词：牛顿迭代算法；近似解；改进Abstract Iteration iteration is divided into precise and approximate iterative, and r
2、aised in the 17th century that are approximate Newton iteration iteration is an approximate method of solving equations, namely Newton Raphson iteration method. The basic idea is that by speaking nonlinear function f (x) linear, nonlinear equation thus f (x) = 0 approximated into linear equations. H
3、ere we come to discuss the next Newton iteration made from the process of evolution to fix, as well as learning and life in a variety of applications, a full understanding of its features and advantages and disadvantages. Keywords: Newton iterative algorithm; approximate solution; improvement; 引言 牛顿
4、拉夫森迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。众所周知，多数方程就不存在求根公式，所以要求精确的根可以说是根本不可能，那么怎么样才能寻找到合适的方法求出跟就显得很是重要，这时牛顿迭代法就依据其在方程f(x)=0的単根附近具有平方收敛，而且还可以用来求方程的重根、福根的优点成为了求解此类方程的重要的方法之一。除此之外，它还具有适用面广，收敛速度快等优点。牛顿迭代法方法简单，每次都是简单的重复计算，也比较适合编程人员编程，并且它还可以用增加迭代的次数来弥补自称位数少的不足。在此基础上它对的初值还可以自己取，即使中间的结果有偶然误差也不会对最后的结果获得造成影响。那什么
5、是牛顿迭代算法呢？下面来讲一下有关于牛顿迭代的原理等一些相关知识。（一）牛顿迭代法的基本原理1牛顿迭代法原理设已知方程的近似根,则在附近可用一阶泰勒多项式近似代替.因此, 方程可近似地表示为.用表示的根,它与的根差异不大文献1. 设,由于满足解得重复这一过程,得到迭代格式这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为.2. 牛顿迭代法的几何解析 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于的线性化近似函数是曲线过点的切线而得名的，求的零点代之以求的零点，即切线与轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式，由得到，从几何图形上看，就
6、是过点作函数的切线，切线与轴的交点就是，所以有，整理后也能得出牛顿迭代公式：。3牛顿迭代法的收敛性计算可得,设是的单根,有,则,故在附近,有.根据不动点原理知牛顿迭代法收敛.4牛顿迭代法的收敛速度定理(牛顿法收敛定理) 设在区间上有二阶连续导数,且满足,在上不变号, 在上不等于0,令有.则对任意,牛顿迭代格式收敛于在中的唯一实根,并且:(1) (2) (3) ,牛顿迭代法为2阶收敛.5.迭代法的变形弦截法1 单点弦截法为避免牛顿迭代法中导数的计算，文献2、7、8可用平均变化率：来近似代替，于是得到如下迭代公式： 称为单点弦截法。单点弦截法具有明显的几何意义，它是用联结点A(，)与点B(，)的直
7、线，代替曲线求取与横轴交点作为近似值的方法，以后再过(，)与(，)两点，作直线求取与横轴的交点作为，等等。其中(，)是一个固定点，称为不动点，另一点则不断更换，故名单点弦截法。可以证明，单点弦截法具有收敛的阶r1，即具有线性收敛速度。2 双点弦截法若把单点弦截法中的不动点(，)改为变动点(，)，则得到下面的双点弦截法的迭代公式： 用弦截法求根的近似值，在几何上相当于过点(，)，和点(，)作弦，然后用弦与轴的交点的横坐标作为的新的近似值。由于在双点弦截法中，构造的迭代公式在计算新的近似值时，不仅用到点上的函数值，而且还用到点及其函数值，这就有可能提高迭代法的收敛速度。与牛顿法一样，如果函数在其根
8、附近具有直到二阶的连续导数，且，则弦截法具有局部收敛性，即当初始近似值充分接近于时，按双点弦截法迭代公式得到的迭代序列收敛于根。可以证明弦截法具有超线性收速度，且收敛阶数为P1.618。双点弦截法迭代公式与前面介绍的单点迭代法有明显的不同，就是在计算时要用到前两步的计算结果、，所以在使用迭代公式前，必须先给出两个初始值、，因此，这种迭代法也称两步法，而单点迭代法称为一步法。（二）牛顿迭代的修正随着算法的逐步发展以及人们对算法研究的更加的透彻，并且伴随着算法在人们生产、生活和学习各个领域的中运用范围的扩大，使得牛顿迭代法在演变中逐步的得到修正，使得其功能更加的完备，计算的结果更加的精细和准确，更
9、好的为人们的生产和生活服务。研究人员逐步利用牛顿迭代法和微分中值定理文献3、4、5、7“中值点”的渐进性，提出了多点迭代：一种修正的Newton Raphsn算法给出了牛顿(Newton-Rapfson)算法的一种修正的形式，并证明了当时修正的牛顿(Newton-Rapfson)算法是二阶收敛的，当参数时是三阶收敛时，数值实验得出结果，与经典牛顿迭代法相比，该修正牛顿(Newton-Rapfson)算法具有一定的优势.众所周知的，数值求解非线性方程的根的方法很多.经典的牛顿迭代法是非线性方程组求根的一个基本的方法，它二次收敛到单根，线性收敛到重根.牛顿法因收敛速度快而得到广泛应用，也倍受学者的
10、重视，近年来很多文献中提出各种改进的牛顿方法.文献9中利用Newton-Rapfson迭代法和微分中值定理“中值点”的渐进性，提出的一种多点迭代的算法.设满足下述条件： ，. ，在上保号。 （A) 根据微分中值定理，即存在，使得：，而.因此，当与的距离无限接近时有：图2OADCPyx .也就是说，在区间不甚大的时候，中值点一定在其渐近的位置附近，并随区间变小而趋于其渐近的位置.图所示的迭代算法构造图本方案基于上述考虑，给出一种通过迭代点而选取另一个点，利用两个点进行迭代求近似根的新方法.这种方法虽然在迭代中又只利用了一个其它的点，但其计算精度却相当的高，它的某一种特殊情形恰是通常的Newton
11、-Rapfson迭代算法.为了更加直观起见，我们通过几何直观图来构造这种迭代算法.设满足条件(A)，当选定初值(仅要求)，如图所示，作交点的切线交轴于B ， AQ线段的斜率为：. 由微分中值定理得知，存在使得：. 而，因此，我们取数，在点作切线PC，图中AD平行于PC.即用点P的导数取代点A的导数，而继续用点的迭代格式得到的点D的坐标. 重复上述过程，得到多点迭代公式： . (1) 其中，.下面我们对上述事实，从理论上加以严格的证明.定理 设满足条件(A)，则由多点迭代公式(1)产生的序列必收敛于上的唯一，这里，.证明: 函数在上连续，由连续函数根的存在定理，从知道在上的根存在，又由条件以及保
12、号知道，在上不变号，故在上是单调函数，因此在上的根存在且唯一.由定理条件曲线可有如下四种不同的情况：(1)，则单调上升，；(2)，则单调下降，；(3)，则单调上升，；(4)，则单调下降，.通过对自变量的变号或者对函数的变号可将四种情况归结为一种情况，所以我们只需对其情况(一)证明迭代过程(1)收敛就可以了.若初值，所以，故有 .一方面，且.下证.若，由的单调性有：，又因，因此就有，与Newton迭代算法的收敛性矛盾.由(一)的假设及可得：. 一般地，若，同样可以证明由式(1)得到满足.依极限理论的必有极限.对式(1)两边取极限，由极限理论可求得.再由，可知函数方程在上的根是唯一的，因此有.当时
13、，式(1)即为Newton-Rapfson迭代公式.下面这种是一种三阶收敛的牛顿迭代法的修正形式（三）牛顿迭代的应用1.牛顿迭代法计算附息国债的实时收益率 随着市场规模的扩大和机构投资者的增多，加上市场格局的变化，国债在证券市场中的地位和作用逐渐提高，许多投资者逐渐把目光转向国债市场。国债实时收益率是反映市场利率变化和衡量国债投资价值的重要指标，但是许多投资者对附息国债的实时收益率计算却无从下手。本文将介绍利用牛顿迭代法计算附息国债的实时收益率。2.附息国债实时收益率的理论计算公式附息国债实时收益率也就是附息国债的内含收益率(或内部收益率，IRR )，文献6内含收益率以下面的公式为基础计:.
14、(5)式中：附息国债实时收益率(内含收益率)；w：交易结算日至下一利息支付日的天数以上一利息支付日(LIPD)至下一利息支付日(NIPD)之间的天数，即：.c:每次支付的利息额；n：剩余的利息支付次数；：交易结算日的市场价格(全价，即：净价+累积利息)。3.收益率的实际计算方法下面以696券(696券于1996年6月14日发行，10年期，票面年利率为11. 83%，附息国债)为例，介绍附息国债实时收益率的具体计算方法。设1997年6月14日之前的某一天购入696券的价格为，每百元每年的实时收益率为x，离第一次发放利息(1997年6月14日)的时间为t(年数)，则： 发行一年后的除权价：发行二年
15、后的除权价： 发行九年后的除权价：最后一年的到期本息为：上面一共10个方程可决定10个未知数：, , , ，将以上10个方程整理，消去, , , 得到.从以上例子可以看出，设距离兑付期为n年(取整数)的附息国债到期本金为M，每年票面利息为:，购入价格为的国债的到期收益率为x，那么：.此方程式中已知购入价格，每年票面利息为c，到期本金M，剩余年数取整为n(注:这里的n和(5)式中的n有区别),t为当前交易日至下一附息日的天数除以上一次利息支付日至下次利息支付日的天数，即t为当前日至下一个利息支付日的年数。 这是一个非线性代数方程，一般不能直接求解，只能采用逐次通近的迭代方法求解，即当知道解的某一
16、初始近似值后，从它开始逐步逼近所要求的解x，我们选用牛顿迭代法解以上方程。4.用牛顿迭代法计算牛顿迭代法是迭代法的一种，是求解函数方程的一种有效方法，其基本特征是计算格式简单且收敛较快。文献10给定方程f(x) =0。以及根的初始近似值，并假设函数f (x)在的邻域内导数存在。设是方程f(x) =0。的根，即成立，将其在处按泰勒公式展开得：.略去含及以后各项得近似等式：因而得的近似表达式：以作为初始近似根的改正值得：重复应用以上做法可得：.此即为牛顿迭代公式。对于方程：，设y=1+x，整理得：.设：则：应用牛顿迭代公式：，选取误差，y的初始近似值为，有：.若，则停止迭代，取，否则继续迭代.对于
17、，如果则继续，否则停止迭代，得到方程的根，国债收益率。根据以上牛顿迭代公式编计算程序，可求得附息国债的实时收益率。总结迭代算法是一种用途非常广泛的方法，这里不仅很好的介绍和诠释了这个方法，而且还涉及了有关于牛顿迭代法的修正，以及还有向大家展示了牛顿迭代法的一种变形方法弦截法。都是为了让大家更加的了解和运用也牛顿迭代法，最后还给出了用牛顿迭代法计算附息国债的实时收益率的思路。希望今后的生产和生活中大家可以灵活运用。 参考文献1徐萃薇，孙绳武.计算方法引论（第三版）M.北京：高等教育出版社，2007,3739.2朱建新，李有法等.数值计算方法（第三版）高等教育出版社.2004,2223. 3陈新一
18、Newton迭代法的一个改进【J】数学的实践与认识，2006，32(2)：2912944 张荣，薛圜民修正的j次收敛的牛顿迭代法【J】大学数学，2005，21(1)：80825王晓峰.一种修正的牛顿迭代法J，2010，33（1）长春理工大学学报，178-179.6霍文文主编.债券投资技巧M.上海:上海科技出版社，2001年8月版.3339.7袁东锦NUMERICALANALYSIS.东南大学出版社.2005,4041.8HeJi-huan.ImprovementofNewtoninterationmenthodJ.InternationalJournalofNonlinearScienceandNumericalSimulation20001(3):239-240.9 钱宝琮.中国数学史M.北京：科学出版社，1992. 10E.Hairer,S.P.Nrsett,G.Wanner.Solving Ordinary Different Equations(Nonstiff Problems).Second Edition.科学出版社.154.