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1、精选优质文档-倾情为你奉上数列复习一. 等差数列的性质总结1.等差数列的定义：（d为常数）（）；2等差数列通项公式： ， 首项:，公差:d，末项: 推广： 从而；3等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或（2）等差中项：数列是等差数列4等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5等差数列的判定方法 （1） 定义法：若或(常数) 是等差数列 （2） 等差中项：数列是等差数列 数列是等差数列（其中是常数）。（4）数列是等差数
2、列,（其中A、B是常数）。6等差数列证明方法定义法：若或(常数)是等差数列.7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：一般可设通项奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（注意；公差为2）8.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有.注：，（4）若、为等差数列
3、，则都为等差数列。(5) 若是等差数列，则 ，也成等差数列。 （6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和1.当项数为偶数时，2、当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）（8）、的前和分别为、，且，则.（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和(10)求的最值法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当 由可得达到最大值时的值 （2） “首负”的递增等差数列中
4、，前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的值或求中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量二. 等比数列的性质总结1、等比数列的定义： 注意（1）、由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q也不为0. （2）、要证明一个数列是等比数列，必须对任意nN，an1an=q，或anan1=q（n
5、2）都成立. 2、等比数列的通项公式3、等比中项4、等比数列的判定方法（1）、an=an1q（n2），q是不为零的常数，an10an是等比数列.（2）、an2=an1an1（n2, an1,an,an10）an是等比数列.（3）、an=cqn（c，q均是不为零的常数）an是等比数列.5、等比数列的性质 设an为等比数列，首项为a1，公比为q.（1）、当q1，a10或0q1，a11，a10或0q0时，an是递减数列；当q=1时，an是常数列；当q1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x28x30的两根，则a20062007_.12已知数列an满足(nN*)，且a11，则an_.三、解答题
6、13、求的值。14、已知等差数列an的前n项和为Sn，且a35，S15225；数列bn是等比数列，b3a2a3，b2b5128.求数列an的通项an及数列bn的前8项和T8；15、设正项等比数列an的前n项和为Sn，已知a34，a4a5a6212.(1)求首项a1和公比q的值；(2)若Sn2101，求n的值16、求数列的前项和17、数列an的前n项和Snn213n1，求数列的通项及|an|的前20项的和T20.18(15分)已知an是等差数列，a25，a514，(1)求an的通项公式；(2)当an的前n项和Sn155，求n的值19. 已知数列的通项公式为 求它的前n项的和.数列综合复习题二1a
7、n是首项a11，公差为d3的等差数列，如果an2 005，则序号n等于( )A667B668C669D6702在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5( )A33B72C84D1893如果a1，a2，a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则( ) Aa1a8a4a5Ba1a8a4a5Ca1a8a4a5Da1a8a4a54方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列，则mn等于( )A1BCD 5等比数列an中，a29，a5243，则an的前4项和为( ).A81 B120 C168 D1926若数列an是等差数列，首项a10，a2 00
8、3a2 0040，a2 003a2 0040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是( )A4 005B4 006C4 007D4 008 7已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2( )A4B6C8D 108设Sn是等差数列an的前n项和，若，则( )A1B1C2D9已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是( )ABC或D10在等差数列an中，an0，an1an10(n2)，若S2n138，则n( )A38B20C10D9二、填空题11设f(x)，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5
9、)f(6)的值为 .12已知等比数列an中，(1)若a3a4a58，则a2a3a4a5a6 (2)若a1a2324，a3a436，则a5a6 (3)若S42，S86，则a17a18a19a20 .13在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 14在等差数列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，则此数列前13项之和为 .15在等差数列an中，a53，a62，则a4a5a10 .16设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4) ；当n4时，f(n) 三、解答题17(1)已知数列a
10、n的前n项和Sn3n22n，求证数列an成等差数列.(2)已知，成等差数列，求证，也成等差数列.18设an是公比为 q 的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列(1)求q的值；(2)设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由19数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(n1，2，3)求证：数列是等比数列20已知数列an是首项为a且公比不等于1的等比数列，Sn为其前n项和，a1，2a7，3a4成等差数列，求证：12S3，S6，S12S6成等比数列.数列综合复习题一答案一、选择题(每小题5分，共30分) 1若数列an的前n项和Sn
11、n21，则a4等于()A7B8C9 D17解析：Snn21，a4S4S3161(91)7.答案：A2数列an中，an2n229n3，则此数列最大项的值是()A107 B108C108 D109解析：an2n229n32(n2n)32(n)23.当n7时，an最大且等于108. 来源：高考%资源网 KS%5U答案：B3(2010青岛模拟)数列an满足：a12，an1(n2,3,4，)，则a4_；解析：数列an满足a12，an1，a21，a3121，a4112；4(2009福建高考)等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a34，则公差d等于()A1B.C2 D3解析：S36，而a34，a10，d
12、2.答案：C5设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13()A120 B105C90 D75解析：设公差为d且d0.由已知，得.解得a12，d3(d0)a11a12a133a123(a111d)105.答案：B6设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前7项的和为()A63 B64C127 D128解析：公比q416，且q0，q2，S7127，故选C.答案：C7设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则()A2 B4C. D.解析：本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和的公式来源：高考%资源网 KS%5U设等比数列an的首项
13、为a1，则S415a1，a22a1，故选C.答案：C8已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1()A16(14n) B16(12n)C.(14n) D.(12n)解析：q3，q，a14，数列anan1是以8为首项，为公比的等比数列，不难得出答案为C.答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)9(2009全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn.若a55a3，则_.解析：59.答案：910(2009浙江高考)设等比数列an的公比q，前n项和为Sn，则_.解析：由S4，a4a1q3，则15.答案：1511设数列an为公比q1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x28x3
14、0的两根，则a20062007_.解析：解方程4x28x30，得x或.又q1，a2004，a2005.q3.a2006a2007(a2004a2005)q223218.答案：1812已知数列an满足(nN*)，且a11，则an_.解析：本题考查利用递推公式确定数列通项公式据已知有：n2时利用累乘法得：ana11，又验证知a11也适合，故an.答案：三、解答题13、求的值。14、已知等差数列an的前n项和为Sn，且a35，S15225；数列bn是等比数列，b3a2a3，b2b5128.(1)求数列an的通项an及数列bn的前8项和T8；15、设正项等比数列an的前n项和为Sn，已知a34，a4a
15、5a6212.(1)求首项a1和公比q的值；(2)若Sn2101，求n的值解：(1)设等比数列an的公比为q(q0)，则由题设有a4a5a6a212a52416，q24q2，代入a3a1q24，解得a11.(2)由Sn2101，得Sn2n12101，2n210，n10.16、求数列的前项和17、数列an的前n项和Snn213n1，求数列的通项及|an|的前20项的和T20.解：可求an，令2n140，得n7.an中，由a1至a6是负值，a70，而a8及以后各项为正值S772137143，S2020213201139，数列|an|的前20项的和T20S202S71392(43)225.18. 求
16、数列a,2a2,3a3,4a4,nan, (a为常数)的前n项和。19(15分)已知an是等差数列，a25，a514，(1)求an的通项公式；(2)当an的前n项和Sn155，求n的值解：(1)设等差数列an的公差为d，首项为a1.则a1d5，a14d14，解得a12，d3.所以数列an的通项为ana1(n1)d3n1.(2)数列an的前n项和Snn2n.由n2n155，化简得3n2n3100.即(3n31)(n10)0；所以n10.20. 已知数列的通项公式为 求它的前n项的和.21在数列an中，a11，an12an2n.(1)设bn，证明数列bn是等差数列；(2)求数列an的前n项和Sn.
17、解：(1)证明：an12an2n，1，bn1bn1，又b1a11，因此bn是首项为1，公差为1的等差数列(2)由(1)知n，即ann2n1，Sn120221(n1)2n2n2n1，2Sn121222(n1)2n1n2n.两式相减，得Snn2n20212n1n2n2n1(n1)2n1. 7等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则an的公比为_解析：由题意知4S2S13S3.当q1时，42a1a133a1，即8a110a1，a10，不符合题意，所以q1.当q1时，应有4a13，化简得3q2q0，得q或0(舍去)答案：复习题2参考答案一、选择题1C解析：由题设，代入通项公
18、式ana1(n1)d，即2 00513(n1)，n6992C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力设等比数列an的公比为q(q0)，由题意得a1a2a321，即a1(1qq2)21，又a13，1qq27解得q2或q3(不合题意，舍去)，a3a4a5a1q2(1qq2)3227843B解析：由a1a8a4a5，排除C又a1a8a1(a17d)a127a1d，a4a5(a13d)(a14d)a127a1d 12d2a1a84C解析：解法1：设a1，a2d，a32d，a43d，而方程x22xm0中两根之和为2，x22xn0中两根之和也为2，a1a2a3a416d4，d，a1，a4是一个方
19、程的两个根，a1，a3是另一个方程的两个根，分别为m或n，mn，故选C解法2：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x42，x1x2m，x3x4n由等差数列的性质：若gspq，则agasapaq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2，于是可得等差数列为，m，n，mn5B解析：a29，a5243，q327， q3，a1q9，a13， S41206B解析：解法1：由a2 003a2 0040，a2 003a2 0040，知a2 003和a2 004两项中有一正数一负数，又a10，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2 003a2 004，即a2 0030，a2 0040.S4
20、0060，S4 007(a1a4 007)2a2 0040，故4 006为Sn0的最大自然数. 选B(第6题)解法2：由a10，a2 003a2 0040，a2 003a2 0040，同解法1的分析得a2 0030，a2 0040，S2 003为Sn中的最大值Sn是关于n的二次函数，如草图所示，2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，在对称轴的右侧根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B的左侧，4 007，4 008都在其右侧，Sn0的最大自然数是4 0067B解析：an是等差数列，a3a14，a4a16，又由a1，a3，a4成等比数列，(a14)2a1(a16
21、)，解得a18，a28268A解析：1，选A9A解析：设d和q分别为公差和公比，则413d且4(1)q4，d1，q22，10C解析：an为等差数列，an1an1，2an，又an0，an2，an为常数数列，而an，即2n119，n10二、填空题11解析：f(x)，f(1x)，f(x)f(1x)设Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)，则Sf(6)f(5)f(0)f(4)f(5)，2Sf(6)f(5)f(5)f(4)f(5)f(6)6，Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)312（1）32；（2）4；（3）32解析：（1）由a3a5，得a42，a2a3a4a5a632（2），a5a6(a1
22、a2)q44（3），a17a18a19a20S4q163213216解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与，同号，由等比中项的中间数为6，插入的三个数之积为62161426解析：a3a52a4，a7a132a10，6(a4a10)24，a4a104，S13261549解析：da6a55，a4a5a107(a52d)49165，(n1)(n2)解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，f(k)f(k1)(k1)由f(3)2，f(4)f(3)3235，f(5)f(4)42349，f(n)f(n1)(n1)，相加
23、得f(n)234(n1)(n1)(n2)三、解答题17分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数证明：（1）n1时，a1S1321，当n2时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5，n1时，亦满足，an6n5(nN*)首项a11，anan16n56(n1)56(常数)(nN*)，数列an成等差数列且a11，公差为6（2），成等差数列， 化简得2acb(ac) 2，也成等差数列18解：（1）由题设2a3a1a2，即2a1q2a1a1q，a10，2q2q10，q1或（2）若q1，则Sn2n当n2时，SnbnSn10，故Snbn若q，则Sn2n ()当n2时，SnbnSn1，故对于nN+，当2n9时，Snbn；当n10时，Snbn；当n11时，Snbn19证明：an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，整理得nSn12(n1) Sn，所以故是以2为公比的等比数列20证明：由a1，2a7，3a4成等差数列，得4a7a13a4，即4 a1q6a13a1q3， 变形得(4q31)(q31)0， q3或q31(舍) 由； 111q61； 得 12S3，S6，S12S6成等比数列专心-专注-专业