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1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数相关的最值问题例1. 如图，抛物线yx24x5与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点(1)求直线AC的解析式及顶点D的坐标；(2)若Q为抛物线对称轴上一动点，连接QA、QC，求|QAQC|的最大值及此时点Q的坐标；(3)连接CD，点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A、C重合)，过P作PEx轴交直线AC于点E，作PFCD交直线AC于点F，当线段PEPF取最大值时，求点P的坐标及线段EF的长；(4)在(3)问的条件下，将P向下平移个单位得到点H，在抛物线对称轴上找一点L，在y轴上找一点K，连接OL，LK，KH，求线段OLLKKH的最小值，并求
2、出此时点L的坐标；(5)在(3)问的条件下，将线段PE沿着直线AC的方向平移得到线段PE，连接DP，BE，求DPPEEB取最小值时点E的坐标针对训练 1如图，直线ykxb(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(4，0)、B(0，3)，抛物线yx22x1与y轴交于点C.(1)求直线ykxb的解析式；(2)若点P(x，y)是抛物线yx22x1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3)若点E在抛物线yx22x1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CEEF的最小值2如图，已知抛物线yx2x与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交
3、于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DHx轴于点H，过点A作AEAC交DH的延长线于点E.(1)求线段DE的长度；(2)如图，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为线段PF上方抛物线上的一点，求当CPF的周长最小时，MPF面积的最大值是多少3如图，对称轴为直线x2的抛物线经过A(1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点(1)求此抛物线的解析式；(2)若PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？说明理由4已知，如图，二次函数yax22ax
4、3a(a0)图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧)，点H，B关于直线l：yx对称(1)求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数的解析式；(3)过点B作直线BKAH交直线l于点K，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HNNMMK和的最小值5如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，过点A作ADBC交y轴于点D.(1)求平行线AD、BC之间的距离；(2)点P为线段BC上方抛物线上的一动点，当PCB的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到直线BC上点M处，再沿垂直于
5、直线BC的方向运动到直线AD上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止当点Q的运动路径最短时，求点Q经过的最短路径的长6如图，抛物线yx2x3 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点Q为顶点，点D为点C关于对称轴的对称点(1)求点D的坐标和tanABC的值；(2)若点P是抛物线上位于点B、D之间的一个动点(不与B、D重合)，在直线BC上有一动点E，在x轴上有一动点F.当四边形ABPD的面积最大时，一动点G从点P出发以每秒1个单位的速度沿PEF的路径运动到点F，再沿线段FA以每秒2个单位的速度运动到A点后停止，当点F的坐标是多少时，动点G在运动过程中所用时间最少？二次函数相关的最值问题答案例1.
6、 解：(1)yx24x5(x24x)5(x2)29，D(2，9)当x0时，y5，C(0，5)当y0时，x11，x25，A(5，0)，B(1，0)，yACx5；(2)因为点Q在抛物线对称轴上，由抛物线对称性知QAQB，由C(0，5)和B(1，0)可求得yBC5x5，根据三角形三边关系可知，当点Q，C，B三点共线时，|QBQC|最大，即|QAQC|最大，可求直线yBC5x5与抛物线对称轴交点Q为(2，15)，此时|QAQC|最大值BC.解：(3)过P作PQy轴，交AC于Q，再作FMPQ于M，如图，直线AC：yx5，设P(t，t24t5)，Q(t，t5)，PQ(t24t5)(t5)t25t.PEFC
7、AO45，PEPQt25t，PFCD，kCD2kPF，tanMPF，设FMnMQ，则PM2n，PQ3n，PFn，即PFPQ，PEPF(3)n(1)PQ，当PQ最大时，PEPF取最大值，而PQt25tPE，当t时，PEPF取最大值，此时P，EFPM.(4)如图：在(3)问的条件下，P，H，作H关于y轴的对称点H1，作O关于抛物线对称轴对称点O1，所以O1(4，0)，H1，连接O1H1，则O1H1长即为OLLKKH的最小值，直线O1H1：yx，直线O1H1与抛物线对称轴交点即为L点的位置，此时L，OLLKKH的最小值O1H1；(5)在(3)问的条件下，PEPE，在线段PE平移过程中，PE即PE长度
8、不变，将DP沿PE向右平移PE的长即个单位，得到DE，如图，则四边形DDPE为平行四边形，故DPDE，要使得DPPEEB最小，即DPEB最小，即要使DEEB最小，当D，E，B三点共线时，DEEB最小，设DB与直线AC交于点E.由题意知D，直线BD：yx，E，即点E的坐标为(，)针对训练：1. 解：(1)直线ykxb经过A(4，0)、B(0，3)，解得yx3.(2)过点P作PHAB于点H，过点H作x轴的平行线MN，分别过点A、P作MN的垂线段，垂足分别为M、N.设H(m，m3)，则M(4，m3)，N(x，m3)，P(x，x22x1)PHAB，PHNAHM90，AMMN，MAHAHM90.MAHP
9、HN，AMHPNH90，AMHHNP.MAy轴，MAHOBA.OBANHP.整理得：dx2x，所以当x时，d取最小值，此时P(，)(3)抛物线的对称轴为直线x1，作点C关于直线x1的对称点C，过点C作CFAB于F.过点F作JKx轴，分别过点A、C作AJJK于点J，CKJK于点K，则C(2，1)设F(m，m3)，CFAB，AFJCFK90，CKJK，CCFK90，CAFJ，JK90，AFJFCK.，解得m或m4(不符合题意，舍去)F(，)，C(2，1)，FC.CEEF的最小值CF.2. 解：(1)对于抛物线yx2x，令x0，得y，即C(0，)，D(2，)，DH，令y0，即x2x0，得x11，x2
10、3，A(1，0)，B(3，0)，AEAC，EHAH，ACOEAH，即，解得：EH，则DE2 ；(2)如图，找点C关于DE的对称点N(4，)，找点C关于AE的对称点G(2，)，连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，CPF的周长CFPFCPGFPFPN最小，直线GN的解析式：yx；直线AE的解析式：yx；直线DE的解析式：x2.联立得：F(0，)，P(2，)，过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M(m，m2m)，则Q(m，m)(0m2)；SMFPSMQFSMQPMQ2MQm2m，对称轴为直线m，而02，抛物线开口向下，m时，MPF的面积有最大值，为.3. 解：(1)对
11、称轴为直线x2，设抛物线解析式为ym(x2)2k.将A(1，0)，C(0，5)代入得：解得y(x2)29x24x5.(2)M(0，1)，C(0，5)，PCM是以点P为顶点的等腰三角形，点P的纵坐标为3.令yx24x53，解得x2.点P在第一象限，P(2，3)四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要MEPF最小，则四边形PMEF的周长最小如图，将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得M1(1，1)；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2(1，1)；连接PM2，与x轴交于F点，此时MEPFPM2最小设直线PM2的解析式为ymxn，将P(2，3)，M2(1，1)代入得：解得：m，n，
12、yx.当y0时，解得x.F(，0)a1，a.a时，四边形PMEF周长最小4. 解：(1)依题意，得ax22ax3a0(a0)，解得x13，x21，B点在A点右侧，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(1，0)，证明：直线l：yx，当x3时，y(3)0，点A在直线l上(2)过顶点H作HCAB交AB于C点，点H、B关于过A点的直线l：yx对称，AHAB4，又点H为抛物线顶点，则点H在抛物线对称轴上，AHBHAB4.在RtACH中，由勾股定理得CH2 ，顶点H(1，2 )，代入二次函数解析式，解得a，二次函数解析式为yx2x.(3)直线AH的解析式为yx3 ，直线BK的解析式为yx，由解得即K(3，2
13、)，则BK4，点H、B关于直线AK对称，HNMN的最小值是MB，过点K作KDx轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，则KEKD2 ，QMMK，QEEK2 ，AEQK，BMMK的最小值是BQ，即BQ的长是HNNMMK的最小值，BKAH，BKQHEQ90，由勾股定理得QB8，HNNMMK的最小值为8.5. 解：(1)令y0，即x2x30，解得：x1，x23 ，A(，0)，B(3 ，0)，当x0时，y3，C(0，3)，在RtBOC中，BO3 ，CO3，BC3 ，sinCBO.因为ADBC，sinBADsinCBO.过B作BHAD于点H，sinBAD，BH；平行线AD、BC间
14、的距离为 .(2)过P作PQy轴，交BC于点Q，设P(m，m2m3)，直线BC：yx3，Q(m，m3)，SPCBPQ(xBxC)(m2m)，当m时，SCPB最大，此时，P(，)取点B关于AD的对称点B，将B沿BB方向平移个单位长度得B，此时B与点H(，)重合连接HP，交BC于点M，点M即为所求(PMNMBN)最小PHMN.6. 解：(1)令x2x3 0，解得x14 ，x2，A(4 ，0)，B(，0)，在yx2x3 中，令x0，则y3 ，C(0，3 )，OC3 ，BO，在RtCOB中，tanABC3，由yx2x3 知，对称轴直线为x，点D(3 ，3 )；(2)由B(，0)，D(3 ，3 )可得直线BD解析式：yx，过P作PKx轴交BD于点K，设P(m，m2m3 )，则K(m，m)，S四边形ABPDSABDSPBD，SABD是定值，S四边形ABPD最大时，即SPBD最大SPBD(xBxD)(yPyK)m23 m，当m时，SPBD最大，此时点P坐标为(，)作点P(，)关于直线BC的对称点P(，)，以A为顶点，在x轴下方作BAT30，过P作直线AT的垂线分别交BC、x轴于点E、F，此时，点G在运动过程中所用时间最少，点F坐标为(，0)专心-专注-专业