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1、精选优质文档-倾情为你奉上19.2.3 一次函数与方程、不等式一、内容和内容解析1.内容.一次函数与一元一次方程、二元一次方程(组)、一元一次不等式的关系.2.内容解析.函数、方程和不等式是初中数学的核心内容，函数是联系方程、不等式的纽带.利用函数图象，可以直观地表示方程（组）和不等式及其解（解集）的含义.研究函数、方程、不等式之间的联系可以深化相关知识的理解，优化知识结构.而建立这种联系的关键是建立一次函数与二元一次方程的联系.综上所述，本课教学重点是：用函数观点理解方程、不等式及其解（解集）的意义.二、目标和目标解析1目标（1）认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的
2、联系.会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.（2）经历用函数图象表示方程和不等式的过程，进一步体会“以形表数，以数释形”的数形结合思想.2目标解析 目标（1）达成的标志是：能用函数的观点看二元一次方程、一元一次方程和一元一次不等式，知道函数反映的是变量之间对应关系的整体，不等式是反映变量之间对应关系的部分，方程则反映了具体的变量的值之间的对应关系. 目标（2）达成的标志是：通过以函数图象为中介，用函数的观点看方程和不等式，进一步体会用图象可以直观地描述函数、方程、不等式之间的联系；能根据问题情境，合理选择函数、方程和不等式模型解决问题，并能以函数图象为中介，用变量分析的方法进行这三
3、种模型的转换.三、教学问题诊断分析 学生已经分别学习过一次函数、一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式，知道它们都是刻画现实问题中数量关系的重要模型，但没有建立这些知识之间的有效联系，不知道方程、不等式模型与函数模型的联系与区别. 把一次函数图象上的点的坐标与方程（组）的解建立联系，这是学习的难点.要引导学生把方程的解（x,y）看作是一对变量x和y，并进一步看作函数图象上的点，把描述方程的曲线看作以解为坐标的平面上的点集. 四、教学过程设计2号2号2号1号1号1号图1 （一）创设情境，提出问题 问题1 1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔1
4、5m处出发，以0.5 m/min的速度上升.两个气球都上升了1h. 请用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系. （和）师生活动：教师用动画展示气球的运动过程，学生独立写出函数解析式.设计意图：通过动画展示两气球高度的变化过程，让学生能直观地感知到两气球相对高度的变化（谁高），通过用函数式表示变化过程，得到研究一次函数与二元一次方程（组）关系的素材.追问1： 确定了一次函数的解析式，也就确定变量的变化规律.我们得到了两个式子：，如果把x，y看作未知数，那么，这两个式子表示什么意义？设计意图：让学生用方程观点看一次函数，发现一次函数的表达式是一个二
5、元一次方程.追问2： 这说明一次函数与二元一次方程应该有密切的联系，具体是怎样联系的呢？设计意图：提出问题，明确学习内容，引导学生把注意聚焦在思考一次函数与二元一次方程关系上.（二）分析问题，解决问题问题2从数量关系看，一次函数与二元一次方程有什么联系？师生活动：教师引导学生分别用函数观点看二元一次方程，用方程观点看一次函数，发现其联系（如图2）.图2 设计意图：让学生体会从式子的角度看，只要把未知数和变量的角色互换，则二元一次方程和一次函数也实现了互相转化。从数量关系讲，本质是相同的，只是看的角度不同、观点不同.追问1：如果从形的观点看，它们之间又有什么联系呢？追问2： 在同一坐标系内，（1
6、）画出函数的图象；（2）画出以方程的5组解为坐标的点.有什么发现？设计意图：引导学生通过画图和图形观察，直观地发现以方程的解为坐标的点全部在函数的图象上，函数图象上的每点都是方程的一组解.反之，方程的每一组解都是函数图象上一点的坐标.师生活动：教师引导学生总结：不管从数的角度还是从形的角度看，一次函数和二元一次方程的数量关系的本质相同，只不过是观点不同、表现形式不同（如图3）.图3 在此基础上推广到一般（如图4）：图4从数的角度看2用函数观点看二元一次方程组.我们知道，两个有相同未知数的二元一次方程组成的方程组一般有一个解，那么从函数的观点看，这有什么含义？让我们还是从气球的上升问题说起.问题
7、5 由于两气球上升的速度不同，开始时1号气球低，2号气球高，那么，永远如此吗？问题6什么时刻，2号气球的高度赶上1号气球的高度？大家会从数和形两方面分别加以研究吗？师生活动：教师把学生分成两组，一组同学从数量关系角度研究；另一组同学从图形角度研究. （1）从数量关系的研究：xyO2025（20，25）1号气球的高度与时间关系为； 2号气球的高度与时间关系为当两气球在同一时刻的高度相同时，时间a和高度b同时满足这两个方程，也就是由这两个方程组成的方程组的解. 解方程组得：，所以气球上升20分钟时，它们的高度相同，都是25米. （2）从形的角度研究： 在同一坐标系中画出两个函数的图象： 从中发现，
8、当x=20时，对应的函数值相等，都是25，也就是说，两直线交于一点，交点坐标为（20，25）.设计意图：引导学生用函数的观点，从数和形两方面深化对二元一次方程组的解的认识.为形成下面对一次函数与二元一次方程组的关系的归纳提供样例. 追问：你能把得到的结论推广到一般吗？师生活动：教师引导学生总结：由上可知，每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解二元一次方程组相当于：求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解二元一次方程组相当于：确定两条相应直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法解二元一次方程组. 方程（
9、组）和函数之间互相联系，用函数的观点可以把它们统一起来，解决问题时，可以根据具体情况把它们灵活地结合起来使用.设计意图：通过对问题解决过程的反思总结，发现一次函数和二元一次方程组关系的一般规律.（三）知识应用：用函数观点看一元一次方程和不等式例1下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对这三个方程进行解释吗？（1）（2）（3）.师生活动：教师引导学生发现，解这三个方程，就是求函数的函数值分别为3,0，-1时对应的自变量的值，并画出图象如图4：xyO3-1的解的解的解图4追问1：能把得到的结论推广到一般吗？师生活动：教师引导学生得出：一般地，一元一次方程（a，b，c为常数，a）的解就是当函数
10、的函数值为c时的自变量的值.追问2：我们知道，任何一元一次方程都可以化为的形式，你能用函数观点解析这个方程吗？师生活动：教师引导学生得出，解任何一元一次方程，都可以转化为求一次函数值为0的自变量的值的问题，如图5.xyO的解图5设计意图：用数形结合的方法，建立一次函数与一元一次方程的联系.例2下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般吗？（1）（2）（3）.师生活动：教师引导通过观察发现不等式与函数的关系，并进一步归纳：解不等式，就是求函数值大于c（小于c）时，对应的自变量取值范围.并在此基础得到：解一元一次不等式可以转化为求函数的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围（如图6）.xyO的解集图6的解集（五）回顾总结，深化提高思考下面问题，总结本课的学习.1 请用函数的观点，从数形两方面说说你对二元一次方程有什么新的的新理解；2 请用函数观点，从数和形两个角度说说对二元一次方程组的认识；3 请用函数的观点，说说你对一元一次方程有什么新的认识；4 请用函数的观点，说说一次函数与一元一次不等式的联系.（六）作业 教科书习题19.2，8，10,11.板书设计： 19.3一次函数与方程、不等式气球问题解答例1例2求两条直线交点坐标就是解解析式组成的二元一次方程组专心-专注-专业