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1、精选优质文档-倾情为你奉上圆锥曲线的应用问题例析江苏省姜堰中学 张圣官 （）在教育部2003年颁布的普通高中数学课程标准中，特别提到要“发展学生的数学应用意识”，其中写道：“高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强”，“高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。”随着新课程理念的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产实际中的应用为背景的应用问题已经开始进入了我们的教材，并在各种考试中崭露头角。下面就举例说明圆锥曲线常见的几类应用题。1。圆锥曲线在建筑、工程中的应用问题圆锥曲线因其方程简单，线型多变美观
2、，且具有某些很好的力学性质，因此在建筑、工程等方面有着广泛的应用。例1 在大西北的荒漠上A、B两地相距2 km，现在准备在荒漠上围成一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长度为8 km，（1）问农艺园的最大面积能达到多少？（2）该荒漠上有一条直水沟刚好经过点A，且与AB成300角。现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园内的水沟要重新设计改造，因此对水沟可能被农艺园围进的部分暂时不加固。 图1问暂时不加固的部分有多长？ 解：平行四边形相邻两边长之和为4 km，故另两顶点C、D在以A、B为焦点的椭圆上。如图1，以AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴建立直角坐标
3、系，则椭圆方程为 （1）（点C在短轴端点），农艺园的最大面积为 。（2）直水沟的方程是，暂不加固部分即直线被椭圆所截弦长， 代入椭圆方程得，13x2+8x-32=0 弦长= 。例2（1997年上海高考试题）公园要建造一个圆形的喷水池。在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上的抛物线路径如图2所示。为了使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离为1米处达到距离水面最大高度为2.25米。如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
4、图2 解：建立如图2所示直角坐标系，则水流呈现的抛物线方程为y=a(x-1)2+2.25 将A（0，1.25）代入得，a= -1，抛物线方程为y= - (x-1)2+2.25 。 令y=0得x=2.5，或x= -0.5（舍去） 水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不落到池外。2。圆锥曲线在天文计算中的应用问题许多天体运行的轨道都是圆锥曲线。我国的“神舟5号”飞船顺利地实现了载人航天飞行，以及人造地球卫星运行等都与圆锥曲线相关。例3 如图3，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439 km，远地点B（离
5、地面最远的点）距地面2384 km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371 km。求卫星运行的轨道方程（精确到1 km）。解：建立直角坐标系，使A、B、F2在x轴上，F2为椭圆右焦点（记F1为左焦点） 设椭圆方程为， 图3 则a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6371+439=6810 a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+2384=8755 解得a=77825 , c=972.5 因此，卫星的轨道方程是 。例4（1991年上海高考题）设有一颗彗星，沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这抛物线的焦点处。当此彗星离地球d（万千米）时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴
6、的夹角为300。求这彗星与地球的最短距离。解：设抛物线方程为y2=2px(p0) 设过焦点F且倾斜角为300的直线与抛物线相交于A、B两点， 则|FA|=，|FB|=， 当时，；当时，。 故这彗星与地球的最短距离为或（万千米）。3。圆锥曲线中与“声速”等有关的应用题科学家在对“声速”等的研究中发现，可以利用圆锥曲线的方程来求解某些方位问题，它可以应用在军事及海洋研究中。例5 在相距800 m的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差2 s，且声速是340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。解：以AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴建立直角坐标系，设爆炸点P（x,y）， |PA|-|PB|=3402
7、=680， P点轨迹为双曲线，2a=680,2c=800 a=340,c=400, b2=c2-a2=44400 因此所求轨迹方程为 。例6 A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6千米，C在B的北偏西300，相距4千米，P为敌炮兵阵地。某一时刻，A处发现敌炮兵阵地P的某心号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号。该信号传播速度为1千米/秒，现A若要炮击P地，试求炮击的方位角。解：如图4，以AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴建立直角坐标系，则B（-3，0），A（3，0），C（-5，） 图4由于B、C同时发现信号，所以P在线段BC的中垂线PD：上，而|P
8、B|-|PA|=4，故P又在以A、B为焦点的双曲线上，将两方程联立，解得或（舍去），即P（8，），所以，即直线PA倾斜角为600，故A炮击P的方位角应为东偏北600。4。与圆锥曲线光学性质相关的应用问题有关椭圆、双曲线、抛物线的光学性质，数学新教材在其阅读材料圆锥曲线的光学性质及其应用中做了介绍。概括起来有以下三个有趣的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点。例7 如图5，电影放映机上的聚光灯泡的
9、反射镜的轴截面是椭圆的一部分，灯丝在焦点F2处，其与反光镜的顶点A的距离|F2A|=1.5cm，椭圆的通径|BC|=5.4cm。为了使电影机片门获得最强的光线，灯泡应安在距片门多远的地方？图5分析：根据椭圆镜面的光学性质，从椭圆一个焦点射出的光线经过椭圆反射后应聚焦在另一焦点上，故片门应放在另一焦点F1上。解：设焦距|F1F2|=2C，建立如图1坐标系，则B（C，2.7）， 由椭圆定义知，|BF1|BF2|=2|OA|， 即灯泡应安在距片门12cm处。例8 有一光源在双曲线的右焦点上，光线从光源射出后，在双曲线的右支的上半支的P点处反射，P点的横坐标为，求入射光线和反射光线所在直线的方程。解：
10、在双曲线中，a=1，b=，c=2，左焦点F1（2，0），右焦点F2（2，0）， P（，y）在双曲线右支上半支上，（y0），解得y=。入射光线F2P所在直线方程为y=。根据双曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点F2发出，经过靠近F2的双曲线的一支反射后，其反射光线在另一焦点F1与反射点的连线延长线上，故反射光线经过左焦点F1（2，0），反射光线所在直线方程为y=。例9 已知探照灯的轴截面是抛物线y2=x，如图6所示，表示平行于轴y=0（即x轴）的光线于抛物线上的点P、Q的反射情况，设点P的纵坐标为a（a0）。问a取何值时，从入射点P到反射点Q的光线的路程PQ最短？分析：光源置于抛物镜面的焦点处，光线经抛物镜面反射成一束平行光线射出，这是抛物线的光学性质。因此入射光线与反射光线平行，说明PQ必过抛物线y2=x的焦点F（，0）。图6解：由题设知，P点坐标为（a2，a），PQ方程为，代入y2=x得，Q（），|PQ|=|PF|FQ|=a2。要求由入射点P到反射点Q的路程最小时的参数a的值，由|PQ|=（a2）2=1，且a=时等号成立知，入射点为（，）时路程PQ最短。此时P、Q两点关于x轴对称，PQ即为抛物线的通径。专心-专注-专业