《2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.8圆锥曲线的综合问题--教师用(共17页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.8圆锥曲线的综合问题--教师用(共17页).doc（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上9.8圆锥曲线的综合问题知识梳理1.直线与圆锥曲线C的位置关系：将直线的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2bxc0.(1)交点个数：当 a0或a0，0 时,曲线和直线只有一个交点；当 a0,0时,曲线和直线有两个交点； 当0）曲线上两点的中点在对称直线上。3.求动点轨迹方程：轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。重难点突破重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方
2、程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能求弦长时用韦达定理设而不求;弦中点问题用“点差法”设而不求.2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用问题1：已知点为椭圆的左焦点，点，动点在椭圆上，则的最小值为 .点拨：设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，结合图形， ，当共线时最小，最小值为热点考点题型探析考点1直线与圆锥曲线的位置关系题型1：交点个数问题例1 设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点
3、Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A，B2，2C1，1D4，4【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法解析 易知抛物线的准线与x轴的交点为Q (2 , 0)，于是，可设过点Q (2 , 0)的直线的方程为，联立其判别式为，可解得 ，应选C.【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论【新题导练】1. （09摸
4、底）已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C；设，平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.(1)求曲线的方程；(2)求m的取值范围.解析（1）设圆上的动点为压缩后对应的点为，则，代入圆的方程得曲线C的方程：（2）直线平行于OM，且在y轴上的截距为m,又,直线的方程为. 由, 得 直线与椭圆交于A、B两个不同点， 解得.m的取值范围是.题型2：与弦中点有关的问题例2（08韶关调研）已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为2. ()求动点M的轨迹方程;()若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD
5、的中点，求直线的方程.【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解解析 ()设，因为,所以化简得:() 设 当直线x轴时,的方程为,则,它的中点不是N,不合题意设直线的方程为 将代入得(1) (2) (1)(2)整理得:直线的方程为即所求直线的方程为解法二: 当直线x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意.故设直线的方程为,将其代入化简得由韦达定理得,又由已知N为线段CD的中点,得,解得,将代入(1)式中可知满足条件.此时直线的方程为,即所求直线的方程为【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ
6、的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁【新题导练】2.椭圆的弦被点所平分，求此弦所在直线的方程。解析设弦所在直线与椭圆交于两点，则，两式相减得：，化简得，把代入得故所求的直线方程为，即3.已知直线yx1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x2y0上，求此椭圆的离心率解析设，AB的中点为,代入椭圆方程得，,两式相减,得. AB的中点为在直线上， ，而 题型3：与弦长有关的问题 例3(山东泰州市联考)已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点（1）求实数的值；（2）问点位于抛物线弧上何
7、处时，面积最大？【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑面积的最大值取得的条件 解析（1）将代入得，由可知，弦长AB，解得；（2）当时，直线为，要使得内接ABC面积最大，则只须使得，即，即位于（4，4）点处【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围【新题导练】4. (山东省济南市高三统一考试)已知椭圆与直线相交于两点（1）当椭圆的半焦距，且成等差数列时，求椭圆的方程；（2）在（1）的条件下，求弦的长度；解析（1）由已知得：，所以椭圆方程为：（2），由，得（文）已知点和，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长（文）解：根据双曲线的定义，可知
8、C的轨迹方程为设，联立得则所以故线段DE的长为考点2：对称问题题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法） 【新题导练】例4 若直线l过圆x2y24x2y0的圆心M交椭圆1于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线l的方程解析 ，设，则又，两式相减得：，化简得，把代入得故所求的直线方程为，即所以直线l的方程为 ：8x9y250.5.已知抛物线y22px上有一内接正AOB，O为坐标原点.求证：点A、B关于x轴对称； 解析设，即，故点A、B关于x轴对称6.在抛物线y24x上恒有两点关于直线ykx3对称，求k的取值范围.解析 （1）当时，曲线上不存在关于直线对称的两点（
9、2）当k0时，设抛物线y24x上关于直线对称的两点，AB的中点为，则直线直线的斜率为直线 ，可设 代入y24x得 ，在直线ykx3上，代入得即,又恒成立，所以1k0综合（1）（2），k的取值范围是（1，0）考点3 圆锥曲线中的范围、最值问题题型：求某些变量的范围或最值 例5已知椭圆与直线相交于两点当椭圆的离心率满足，且（为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系 解析由，得由，得此时由，得，即，故由，得由得，所以椭圆长轴长的取值范围为【名师指引】求范围和最值的方法：几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题代数方法：建立目标函数，再求目
10、标函数的最值【新题导练】7. 已知P是椭圆C：的动点，点关于原点O的对称点是B，若|PB|的最小值为，求点P的横坐标的取值范围。解析由，设，解得或又或8. 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标 解析 设，因AB与x轴不平行，故可设AB的方程为，将它代入得由得即，将代入得当且仅当即时取等号，此时，所以，点M 为或时，到y轴的最短距离最小，最小值为9.直线m：ykx1和双曲线x2y21的左支交于A，B两点，直线过点P（2，0）和线段AB的中点M，求在y轴上的截距b的取值范围 解析 由消去y得：解得设M（x0，y0）则三点共线令
11、上为减函数.10.已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；（2）求|PA|PB|的最小值和最大值解析（1）最小值为（2）最大值为10|BC|；最小值为10|BC|考点4 定点，定值的问题题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量例6 已知P、Q是椭圆C：上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系证明：设知同理当，从而有设PQ的中点为，得线段PQ的中垂线方程为当线段PQ的
12、中垂线是x轴，也过点【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）【新题导练】11.已知抛物线C的方程为yx22m2x(2m21) (mR)，则抛物线C恒过定点 解析(1,0) 令x1得y012.试证明双曲线1（a0，b0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.解析 双曲线上任意一点为，它到两渐近线的距离之积考点6 曲线与方程题型：用几种基本方法求轨迹方程例7已知抛物线C： y24x，若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端
13、点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程解析由抛物线y24x,得焦点F(1,0),准线 x1 (1)设P(x,y)，则B(2x1,2y),椭圆中心O,则|FO|BF|e,又设点B到l的距离为d,则|BF|de,|FO|BF|BF|d,即(2x2)2(2y)22x(2x2),化简得P点轨迹方程为y2x1(x1)名师指引 求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，本题用到直接法，但题目条件需要转化【新题导练】13.点P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是 .解析 相关点法14.过双曲线C:的右焦点F作直线l与双
14、曲线C交于P、Q两点，,求点M的轨迹方程解析右焦点（2，0），设得，直线l的斜率又,两式相减得,把，代入上式得15.已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为求动点的轨迹方程； 解析（1）由条件知，动点的轨迹为椭圆，其中半焦距为，点P在y轴上时最大，由余弦定理得，动点的轨迹方程16. (广东实验中学)已知圆C:.(1)直线过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若，求直线的方程；(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量，求动点的轨迹方程.(3) 若点R(1,0)，在（2）的条件下，求的最小值.解析（1）当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的
15、两个交点坐标为和，其距离为，满足题意 1分若直线不垂直于轴，设其方程为，即2分设圆心到此直线的距离为，则，得，4分故所求直线方程为3x4y50综上所述，所求直线为3x4y50或x1 5分(2)设点M的坐标为(x0,y0)，Q点坐标为(x,y)则N点坐标是(x0, 0) ， 即， 7分又， 9分直线m /y轴，所以，,点的轨迹方程是 ()10分（3）设Q坐标为(x,y)， ，11分又()可得：.13分 14分课后训练基础巩固训练1. 已知是三角形的一个内角，且，则方程表示 （A）焦点在x轴上的椭圆 （B）焦点在y轴上的椭圆 （C）焦点在x 轴上的双曲线 （D）焦点在y 轴上的双曲线1.解析 B.
16、 由知，2. 已知点M（3，4）在一椭圆上，则以点M为顶点的椭圆的内接矩形的面积是（ ）（A）12 （B）24 （C）48 （D）与椭圆有关2. 解析 C 由椭圆的对称性可知; 3. 已知点F（，直线，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是 （ ） A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线3.解析D. MBMF4. 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有_条.4.解析 3； 垂直于实轴的弦长为4,实轴长为2.5. 是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是 5.解析; 6. 若双曲线与圆有公共点，则实数的取值范围为 . 6.
17、 解析 综合提高训练7. 已知抛物线的弦AB经过点P（4，2）且OAOB（O为坐标原点），弦AB所在直线的方程为 7.解析 12x 23y20 记住结论：8.已知椭圆 ，直线l到原点的距离为求证：直线l与椭圆必有两上交点.8.解析 证明：当直线l垂直x轴时，由题意知：不妨取代入曲线E的方程得： 即G（，），H（，）有两个不同的交点，当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：由题意知：由直线l与椭圆E交于两点, 综上，直线l必与椭圆E交于两点9. 求过椭圆内一点A（1，1）的弦PQ的中点M的轨迹方程9.解析解：设动弦PQ的方程为，设P（），Q（），M（），则： 得：当时，由题意知，即式与联立消去k
18、，得当时，k不存在，此时，也满足故弦PQ的中点M的轨迹方程为：10 .已知抛物线过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B若,求a的取值范围10 .解析直线的方程为，将，得:设直线与抛物线的两个不同交点的坐标为、，则 又，解得11. 过抛物线的焦点作一条斜率为k(k0)的弦，此弦满足：弦长不超过8；弦所在的直线与椭圆3x2 2y2 2相交，求k的取值范围11. 解析：抛物线的焦点为(1，0)，设弦所在直线方程为由得2分故由，解得k21由得8分由，解得k2 3 因此1k2 |AB|，从而P点的轨迹T是中心在原点，以A、B为两个焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中，2a6，2c4，椭圆方程为 专心-专注-专业