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1、精选优质文档-倾情为你奉上线性方程组解的结构线性方程组是线性代数的基本内容，在数学的其他分支、自然科学、工程技术以及生产实际中都经常用到，是一个非常重要的理论基础和数学工具。本课题主要利用向量知识和矩阵的初等变换以及矩阵的秩的相关知识，对线性方程组的解法以及线性方程组解的性质、结构进行较为全面的总结，以便更系统的理解线性方程组及其应用，从而更好地利用线性方程组解决实际问题。一、 基本概念 （1） 齐次线性方程组：，形如（1）的方程组称为数域上的n元齐次线性方程组，它的系数矩阵是，未知量可以表示为，则(1)称为齐次线性方程组的矩阵形式。（2）非齐次线性方程组：形如的方程组成为数域上的n元非齐次线
2、性方程组，它的系数矩阵为,增广矩阵为，未知量可以表示为，则 (2)称为齐次线性方程组的矩阵形式。称齐次线性方程组是线性方程组的导出组。二、 线性方程组有解的判定定理我们将线性方程组（2.1）写成向量形式： （2.2）其中是系数矩阵的第j个列向量，是常数向量。如果线性方程组（2.1）有解，则它等价于有解，此时，是的线性组合。因而，则的极大无关组就是的极大无关组，所以是的线性组合，故方程组（2.1）有解，线性组合的系数就是它的一组解。于是我们有下述定理成立。定理1 线性方程组（1）有解的充分必要条件是增广矩阵与系数矩阵的秩相等。定理2 如果与的秩都相等，且都等于,线性方程组（1）有且只有唯一解。证
3、明：由定理1知道，线性方程组（2.1）的解存在，由于，则显然有。所以可以适当的交换线性方程组（2.1）中方程式的次序，使得的前个行向量线性无关，其余的行向量是前个行向量的线性组合，因此去掉后面的个方程后不影响方程组（2.1）的解，这样我们就得到了一个新的线性方程组，它含有个未知量个方程，并且它的系数矩阵的秩是，所以系数矩阵的行列式不为零。故由克莱姆法则知道它有唯一解。所以线性方程组（2.1）有唯一解。证毕。定理3 如果，则线性方程组（2.1）有无穷多解。证明：设。适当的交换线性方程组（2.1）中的方程式，使得前个行向量线性无关，并去掉其余的方程式后，得到一个与线性方程组（2.1）同解的线性方程
4、组 (2.3)由于，所以线性方程组（2.1）系数矩阵的秩也是，则必有一个阶子式不等于零。不妨设三、 线性方程组解的求法1、 克莱姆法则 2、 利用矩阵的初等变换进行求解 例：（1）解线性方程组 解：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵 显然有，则方程组仅有零解，即.解线性方程组解：将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵 可得，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 （其中，为自由未知量）令，得；令，得；令，得，于是得到原方程组的一个基础解系为，.所以，原方程组的通解为（，）.例3 求齐次线性方程组的一个基础解系，并以该基础解系表示方程组的全部解. 解：将系数矩阵化成简化阶梯形矩阵 可得，则方程组有无穷多解，其同解方
5、程组为（其中,为自由未知量）令，得；令，得，于是得到原方程组的一个基础解系为,所以，原方程组的通解为（其中,为任意实数）.一、 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组的矩阵形式为AX=0(1)其中,。齐次线性方程组(1)的解有下列性质：性质1：如果是齐次线性方程组(1)的两个解，则也是它的解。证：因为是齐次线性方程组(1)的两个解，因此有： , 得：所以也是齐次线性方程组(1)的解。 性质2： 如果是齐次线性方程组(1)的解，是一个任意常数，则也是它的解。证：已知是齐次线性方程组(1)的解，所以有=0,从而 =0,即也是齐次线性方程组(1)的解。 说明:性质1与性质2告诉我们：齐次线性方程组的解
6、的线性组合仍是它的解，齐次线性方程组（1）所有解的集合非空，因为它至少含有零解，又由性质1与性质2，全体解的集合就构成了维向量空间的一个子空间。这个子空间称为齐次线性方程组（1）的解空间。下面来讨论这个解空间。定义1：齐次线性方程组的一组解解，满足：(1) 线性无关；(2) 的任意一个解均可由线性表示。则称是齐次线性方程组 的一个基础解系。定理1如果齐次线性方程组 ，系数矩阵，则齐次线性方程组有非零解，且它的解空间的维数是.证：因为，所以齐次线性方程组有无穷多解，且齐次线性方程组的一般解为： （1）其中为自由未知量。对n-r个自由未知量分别取代入(1)可得齐次线性方程组的n-r个解：下面证明是
7、齐次线性方程组的一个基础解系，首先证明线性无关。因为向量组是线性无关，则由上节所证明的性质得线性无关。再证齐次线性方程组的任意一个解都可由线性表示。因为是齐次线性方程组的解，所以满足(1)式：从而即是的线性组合，所以是齐次线性方程组的一个基础解系，因此齐次线性方程组的全部解为：式中为任意常数。例1：求齐次线性方程组的一个基础解系，并用此基础解系表示它的全部解。解： 因为，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为，原方程组与方程组同解对自由未知量分别取=，代入上式得到齐次线性方程组的一个基础解系为： 则齐次线性方程组的全部解为： （为任意常数）例2：求齐次线性方程组的一个基础解系。解：因为，
8、所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为，原方程组与方程组同解 取自由未知量=1，代入上式得齐次线性方程组的一个基础解系为：例3：求齐次线性方程组的一个基础解系。解： 因为，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为，原方程组与方程组同解对自由未知量为分别取和，代入上式得到方程组的一个基础解系为：和二、 非齐次线性方程组解的结构：非齐次线性方程组可表示为AX=b，称齐次线性方程组AX=0为非齐次线性方程组AX=b的导出组。下面讨论非齐次线性方程组的解和它的导出组解之间关系。(1) 如果是非齐次线性方程组AX=b的解，是其导出组AX=0的一个解，则是非齐次线性方程组AX=b的解。证：由已知
9、得 所以有 即是非齐次线性方程组的解。 (2)如果是非齐次线性方程组AX=b的两个解，则是其导出组AX=0的解。证：由得：即是其导出组AX=0的解。定理2：如果是非齐次线性方程组的一个特解，是其导出组的全部解，则是非齐次线性方程组的全部解。由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为： 其中是非齐次线性方程组的一个特解，是导出组的一个基础解系。例4：求非齐次线性方程组的解，用其导出组的基础解系表示其全部解。解：因为，所以非齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为，原方程组与方程组同解取自由未知量，代入上式得非齐次方程组的一个特解为：再求其
10、导出组的基础解系，其导出组与方程组同解对自由未知量为分别取，代入上式得到其导出组的一个基础解系为：则原方程组的全部解为： （为任意常数）例5：求非齐次线性方程组的解，用其导出组的基础解系表示其全部解。解： 因为，所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未知量为，原方程组与方程组同解取自由未知量为，得原方程组的一个特解： 再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组同解对自由未知量分别取，代入上式得到其导出组的一个基础解系为：则原方程组的全部解为：练习：求解非齐次线性方程组：解：因为，所以方程组有无穷多组解，取为自由未知量。得特解：和基础解系：。即得方程组的全部解为：。例6：已知是齐次线性方程组AX
11、0的一个基础解系，证明也是齐次线性方程组AX0的一个基础解系。证：由已知可得：齐次线性方程组AX0的基础解系含有3个解向量，并且由齐次线性方程组解的性质可知都是AX0的解；因此只要证明线性无关即可。设存在数使 成立。整理得： （1）已知是齐次线性方程组AX0的一个基础解系，即得线性无关，则由(1)得，解得：所以线性无关。即也是齐次线性方程组AX0的一个基础解系。例7：设矩阵A。证：AB0的充分必要条件是矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解。证：把矩阵B按列分块：，其中是矩阵B的第i列向量，零矩阵也按列分块则必要性：AB0可得： ，即是齐次方程组AX=0的解。充分性：矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解，即有 得：，即证。例8：设是四元非齐次线性方程组AXb的三个解向量，且矩阵A的秩为3，求AXb的通解。解：因为A的秩为3，则AX0的基础解系含有431个解向量。由线性方程组解的性质得：是AX0的解，则解得AX0的一个非零解为：。由此可得AXb的通解为：。专心-专注-专业