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1、精选优质文档-倾情为你奉上全等三角形辅助线举例试题与解析答案一选择题（共1小题）1如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120，以D为顶点作一个60角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为（）A5B6C7D8考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：要求AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明BDFCND，及DMNDMF，从而得出MN=MF，AMN的周长等于AB+AC的长解答：解：BD
2、C是等腰三角形，且BDC=120，BCD=DBC=30，ABC是边长为3的等边三角形，ABC=BAC=BCA=60，DBA=DCA=90，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在BDF和CND中，BDFCND（SAS），BDF=CDN，DF=DN，MDN=60，BDM+CDN=60，BDM+BDF=60，在DMN和DMF中，DMNDMF（SAS）MN=MF，AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6故选B点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键二填空题（共1小题）2
3、ABC中，AB=7，AC=3，则BC边的中线AD的取值范围是2AD5考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系菁优网版权所有分析：如图，延长AD至E，使DE=AD，就可以得出ADBEDC，就可以得出CE=AB，在ACE中，由三角形的三边关系就可以得出结论解答：解：如图，延长AD至E，使DE=AD，D是BC的中点，BD=CD在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS）AC=EBAC=3，EB=373AE7+3，42AD10，2AD5故答案为：2AD5点评：本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形三边关系的运用，解答时运用三角形全等将线段转化在同一三角形中是关键三解答题（共
4、13小题）3以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BAD=CAE=90，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是AMDE，线段AM与DE的数量关系是DE=2AM；（2）将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（090）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）ED=2AM，AMED延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再结合已知条件可以证明DAEABG
5、，根据全等三角形的性质可以得到DE=2AM，BAG=EDA，再延长MG交DE于H，因为BAG+DAH=90，所以HDA+DAH=90这样就证明了AMED；（2）延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF，证出FABEAD，利用全等三角形的性质得到BF=DE，F=AEN，从而证出FPD+F=APE+AEN=90，得到FBDE，根据AMFB，可得到AM=FB解答：（1）ED=2AM，AMED；证明：延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再延长MA交DE于HAC=BG，ABG+BAC=180又DAE+BAC=180，ABG=DAE再证：DAEABGDE=2AM，B
6、AG=EDA延长MA交DE于H，BAG+DAH=90，HDA+DAH=90AMED（2）结论仍然成立证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BFDABA，EAAF，BAF=90+DAF=EAD在FAB和EAD中，FABEAD（SAS）BF=DE，F=AEN，FPD+F=APE+AEN=90FBDE又CA=AF，CM=MBAMFB，且AM=FB，AMDE，AM=DE点评：本题考查了旋转的性质和相似三角形的性质，利用旋转不变性找到三角形全等的条件此题综合性较强，要注意观察图象的特点4已知：如图，ABC中AC=AB，AD平分BAC，且AD=BD求证：CDAC考点：全等三角形的
7、判定与性质；等腰三角形的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：过D作DEAB于E，根据等腰三角形性质推出AE=AB，DEA=90，求出AE=AC，根据SAS证DEADCA，推出ACD=AED即可解答：解：过D作DEAB于E，AD=BD DEABAE=AB，DEA=90，AC=ABAE=ACAD平分BACBAD=CAD，在DEA和DCA中，DEADCA，ACD=AED，ACD=90，ACDC点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出DEADCA，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中5如图，ADBC，EA，EB分别平分DAB，CBA，CD过点E
8、，求证：AB=AD+BC考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：先过E作EFAD，交AB于F，则DAE=AEF，EBC=BEF，因为EA、EB分别平分DAB和CBA，所以AF=EF=FB，再根据梯形中位线定理得出AB=AD+BC解答：解：过E作EFAD，交AB于F，则DAE=AEF，EBC=BEF，EA、EB分别平分DAB和CBA，EAF=AEF，EBF=BEF，AF=EF=FB，又EFADBC，EF是梯形ABCD的中位线，EF=，AF+FB=2EF，AB=AD+BC点评：主要考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是平行线的判定和梯形中位线定理，解题的关键是要灵活运用已
9、知条件求出EF=6如图，ABC内，BAC=60，ACB=40，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：延长AB到D，使BD=BP，连接PD则D=5由已知条件不难算出：1=2=30，3=4=40=C于是QB=QC又D+5=3+4=80，故D=40于是APDAPC（AAS），所以AD=AC即AB+BD=AQ+QC，等量代换即可得证解答：证明：延长AB到D，使BD=BP，连接PD则D=5AP，BQ分别是BAC，ABC的平分线，BAC=60，ACB=40，1=2=30，
10、ABC=1806040=80，3=4=40=CQB=QC，又D+5=3+4=80，D=40在APD与APC中，AP=AP，1=2，D=C=40APDAPC（AAS），AD=AC即AB+BD=AQ+QC，AB+BP=BQ+AQ点评：本题实际是以角平分线AP为对称轴将APC翻折成APD利用对称变换解题常常选择角平分线，某一线段的垂直平分线作为对称轴作辅助线构造全等三角形是关键7如图，在四边形ABCD中，BCBA，AD=CD，BD平分ABC，求证：A+C=180考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：首先过点D作DEBC于E，过点D作DFAB交BA的延长线于F，由
11、BD平分ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由AD=CD，即可判定RtCDERtADF，则可证得：A+C=180解答：解：过点D作DEBC于E，过点D作DFAB交BA的延长线于F，BD平分ABC，DE=DF，DEC=F=90，在RtCDE和RtADF中，RtCDERtADF（HL），FAD=C，BAD+C=BAD+FAD=180点评：此题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用8如图，在四边形ABCD中，ADBC，点E是AB上的一个动点，若B=60，AB=BC，且DEC=60，判断AD+AE与BC的关系并证明你的结
12、论考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定菁优网版权所有专题：动点型分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题解答：解：有BC=AD+AE连接AC，过E作EFBC交AC于F点B=60，AB=BC，ABC为等边三角形，EFBC，AEF为等边三角形即AE=EF，AEF=AFE=60所以CFE=120 （3分）又ADBC，B=60故BAD=120又DEC=60，AEF=60AED=FEC （1分）在ADE与FCE中，ADEFCEAD=FC （1分）则BC=AD+AE （1分）点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转
13、化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形解决问题9已知ABC的边BC上有两点D，E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE考点：三角形三边关系菁优网版权所有专题：证明题分析：先连接AF并延长至G，使FG=AF，其中F是BC的中点，连接GB，GC，GD，GE可知四边形ABGC，四边形ADGE是平行四边形，延长AD至H，交BG于H运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”即可进行证明解答：证明：连接AF并延长至G，使FG=AF，其中F是BC的中点，连接GB，GC，GD，GE，BD=CE，DF=EF，四边形ABGC，四边形ADGE是平行四边形，BG=AC，DG=AE，延长AD至H，交BG于H，A
14、B+BHAD+DH，DH+HGDG，AB+BH+DH+HGAD+DH+DG，AB+BGAD+DG，即AB+ACAD+AE点评：本题考查了三角形三边关系，将证明边的大小关系的问题转化为三角形三边关系问题是解题的关键本题借助辅助线DH起枢纽作用10已知：如图ABC中，A=60，BD、CE分别是ABC和ACB的平分线，相交于点F求证：（1）BFE=60；（2）FE=FD考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）证明EBF=CBF=，DCF=BCF=，求出+=60，证明BFE=+=60问题即可解决（2）证明A+EFD=180，得到A、E、F、D四点共圆；证明EA
15、F=DAF，故FE=FD解答：证明：（1）BD、CE分别是ABC和ACB的平分线，EBF=CBF=，DCF=BCF=；又A=60，2+2=18060=120，+=60，BFE=+=60（2）如图，连接AF；BFE=60，EFD=120，A+EFD=180，A、E、F、D四点共圆，设为O；由题意知在O中，EAF=DAF，FE=FD（相等的圆周角所对的弦相等）点评：该题主要考查了三角形角平分线的性质、三角形外角的性质、四点共圆的判定及其应用等几何知识点；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求11如图，在ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC于点G，DEAB于E，DFAC于F（1）证明
16、：BE=CF；（2）如果AB=12，AC=8，求AE的长考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质菁优网版权所有分析：（1）连接DB、DC，证明RtBDERtCFD即可得出结论；（2）由（1）可得出CF=BE，且AE=AF=AC+CF，而CF=BE=ABAE，代入可求得结果解答：（1）证明：连接DB、DC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，DE=DF，DGBC且平分BC于点G，DB=DC，在RtBDE和RtCFD中，RtBDERtCDF（HL），BE=CF；（2）解：由（1）知BE=CF，且在ADE和ADF中ADEADF（AAS），AE=AF=AC+CF，而CF=BE=ABAE，AE=AC
17、+ABAE，2AE=AC+AB=8+12=20，AE=10点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键12如图，点E为正方形ABCD的边AB上一点，点F为边BC上一点，EF=AE+CF，试求EDF的度数考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：由四边形ABCD为正方形，可得DA=DC，A=DCB=90，然后把DAE绕点D顺时针旋转90得到DCM，易证得DFMDFE（SSS），继而求得答案解答：解：四边形ABCD为正方形，DA=DC，A=DCB=90，把DAE绕点D顺时针旋转90得到DCM，如图，A=DCM=90，DE=DM，EDM=90，A
18、E=CM，点M在BC的延长线上，MF=CF+CM，EF=AE+CF，MF=EF，在DFM和DFE中，DFMDFE（SSS），MDF=EDF，EDF=EDM=45点评：此题考查了正方形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用13如图所示，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC（1）若D为BC的中点，过D作DMDN分别交AB、AC于M、N，求证：DM=DN；（2）若DMDN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有专题：常规题型分析：（1）连
19、接AD，可得ADM=CDN，可证AMDCND，可得DM=DN；（2）连接AD，可得ADM=CDN，可证AMDCND，可得DM=DN解答：解：（1）连接AD，D为BC中点，AD=BD，BAD=C，ADM+ADN=90，ADN+CDN=90，ADM=CDN，在AMD和CND中，AMDCND（ASA），DM=DN（2）连接AD，D为BC中点，AD=BD，BAD=C，ADM+MDC=90，MDC+CDN=90，ADM=CDN，MAD=MAC+DAC=135，NCD=180ACD=135在AMD和CND中，AMDCND（ASA），DM=DN点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性
20、质，本题中求证AMDCND是解题的关键14（2007牡丹江）已知四边形ABCD中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F当MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：根据已知可以利用SAS证明ABECBF，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出ABE=CBF=30
21、，BEF为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE+CF=EF同理图2可证明是成立的，图3不成立解答：解：ABAD，BCCD，AB=BC，AE=CF，在ABE和CBF中，ABECBF（SAS）；ABE=CBF，BE=BF；ABC=120，MBN=60，ABE=CBF=30，AE=BE，CF=BF；MBN=60，BE=BF，BEF为等边三角形；AE+CF=BE+BF=BE=EF；图2成立，图3不成立证明图2延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，在BAE和BCK中，则BAEBCK，BE=BK，ABE=KBC，FBE=60，ABC=120，FBC+ABE=60，FBC+KB
22、C=60，KBF=FBE=60，在KBF和EBF中，KBFEBF，KF=EF，KC+CF=EF，即AE+CF=EF图3不成立，AE、CF、EF的关系是AECF=EF点评：本题主要考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS等，这些方法要求学生能够掌握并灵活运用15在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN=60，BDC=120，BD=DC探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是
23、BM+NC=MN； 此时=；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：（1）由DM=DN，MDN=60，可证得MDN是等边三角形，又由ABC是等边三角形，CD=BD，易证得RtBDMRtCDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN，此时 ；（2）在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1可证
24、DBMDCM1，即可得DM=DM1，易证得CDN=MDN=60，则可证得MDNM1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1=BM，连接DM1，可证DBMDCM1，即可得DM=DM1，然后证得CDN=MDN=60，易证得MDNM1DN，则可得NCBM=MN解答：解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN此时 （2分）理由：DM=DN，MDN=60，MDN是等边三角形，ABC是等边三角形，A=60，BD=CD，BDC=120，BDC=DCB=30，MBD=NCD=90，DM=DN，BD=CD，RtBDMRtCDN，BDM=CDN=30，
25、BM=CN，DM=2BM，DN=2CN，MN=2BM=2CN=BM+CN；AM=AN，AMN是等边三角形，AB=AM+BM，AM：AB=2：3，=；（2）猜想：结论仍然成立 （3分）证明：在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1（4分）MBD=M1CD=90，BD=CD，DBMDCM1，DM=DM1，MBD=M1CD，M1C=BM，MDN=60，BDC=120，M1DN=MDN=60，MDNM1DN，MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，AMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，=；（3）证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1（4分）可证DBMDCM1，DM=DM1，（5分）可证M1DN=MDN=60，MDNM1DN，MN=M1N，（7分）NCBM=MN（8分）点评：此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法专心-专注-专业